王燕芬，楊 汝，元達(dá)鵬

（廣州大學(xué)物理與電子工程學(xué)院，廣州 510006）

近30年來，非線性動(dòng)力學(xué)與混沌在電路與系統(tǒng)理論方面已經(jīng)被廣泛關(guān)注，數(shù)學(xué)與系統(tǒng)理論在研究混沌發(fā)生及其產(chǎn)生的根源方面取得顯著的成果[1-5]。傳統(tǒng)DC/DC開關(guān)變換器的非線性動(dòng)力學(xué)研究主要集中在分岔和混沌，分岔通向混沌的過程一方面通過用Poincare截面畫出系統(tǒng)參數(shù)的分岔圖[6]，觀察周期分岔級(jí)聯(lián)的精細(xì)結(jié)構(gòu)；另一方面則從數(shù)學(xué)上提出穩(wěn)定性的判據(jù)和分岔產(chǎn)生的條件[7]。

符號(hào)動(dòng)力學(xué)是在有限精度下對(duì)動(dòng)力學(xué)過程實(shí)行嚴(yán)格描述的一套方法。應(yīng)用符號(hào)動(dòng)力學(xué)方法，可以把動(dòng)力系統(tǒng)極復(fù)雜的行為用簡(jiǎn)單的符號(hào)序列方法表示出來。符號(hào)動(dòng)力學(xué)及其在研究非線性系統(tǒng)周期和混沌運(yùn)動(dòng)中的應(yīng)用，已經(jīng)取得了很好的結(jié)果。符號(hào)動(dòng)力學(xué)提供一種嚴(yán)謹(jǐn)?shù)姆椒?，有助于理解周期和混沌的全局特性[8]、周期解的普適性[9]、混沌吸引子的結(jié)構(gòu)[10]、微分方程的分岔特性[11]等。

本文基于廣義合成律，用符號(hào)動(dòng)力學(xué)的基本內(nèi)容分析DC/DC開關(guān)變換器。周期3是混沌帶中最為明顯的一個(gè)周期窗口，也是很特殊的周期軌道。由切分岔定理[12]可知，開關(guān)變換系統(tǒng)發(fā)生切分岔是導(dǎo)致周期3和陣發(fā)混沌產(chǎn)生的根源，分析周期3窗口對(duì)研究非線性現(xiàn)象有重要的意義。華人學(xué)者李天巖和美國(guó)數(shù)學(xué)家Yorke[13]從數(shù)學(xué)的角度證明“周期3意味著混沌”，但其證明過程很抽象。本文用廣義合成律首次證明Boost變換系統(tǒng)中存在周期3，則存在任意周期n軌道，證明過程簡(jiǎn)單易懂，最后用仿真實(shí)驗(yàn)證明研究方法的可靠性。廣義合成律對(duì)“周期3意味著混沌”的深入證明，為探索和揭示非線性開關(guān)變換器系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)復(fù)雜行為提供了新的研究理論。

1 Boost變換器的動(dòng)力系統(tǒng)模型

1.1 1階動(dòng)力系統(tǒng)

電壓反饋控制的Boost變換器如圖1所示。電路參數(shù)為：輸入電壓E=16 V，輸出電壓X=25 V，開關(guān)周期T=333.33 μs，電感L=208 μH，負(fù)載電阻R= 12.5 Ω，電容C=222 μF，穩(wěn)態(tài)占空比Ds=0.287 4，反饋比例增益k=0.07～0.16。若電路工作于不連續(xù)電流模式 DCM（discontinuous current mode），在開關(guān)周期到來前，開關(guān)管S和二極管D都不導(dǎo)通，電感電流iL降到0，即iL（nT）=0，T為開關(guān)周期。以輸出電容電壓 vc為狀態(tài)變量 x，則有 xn=vc（tn）=vc（nT），可得到DCM Boost變換器1階離散時(shí)間映射[14]近似為

當(dāng)k=0.08時(shí)，式（1）的映射如圖2所示。由圖可見，DCM Boost變換器的1階離散時(shí)間映射是個(gè)倒單峰映射，稱之為單谷映射。因此，可以直接運(yùn)用倒單峰映射系統(tǒng)的排序和演化規(guī)律的符號(hào)動(dòng)力學(xué)來分析1階Boost開關(guān)動(dòng)力系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)。

圖1 電壓模式控制的Boost變換器Fig.1 Voltage-mode controlled Boost converter

圖2 1階迭代映射（xn+1-xn）Fig.2 First-order iterative map（xn-xn+1）

倒單峰映射周期軌道（LR…C）的特點(diǎn)字母是最大值R的前一點(diǎn)對(duì)應(yīng)最小值L，而最小值L的前一點(diǎn)對(duì)應(yīng)C或其近鄰的R或L，參照C的數(shù)值大小來確定其他軌道點(diǎn)xn所對(duì)應(yīng)的字母，確定其周期軌道窗口。用此方法可確定一系列周期窗口的符號(hào)序列。以反饋比例增益k為分岔參數(shù)，則1階Boost開關(guān)動(dòng)力系統(tǒng)的符號(hào)序列和窗口參數(shù)如表1和圖3所示。

表1 以k為分岔參數(shù)的周期窗口Tab.1 Periodic windows with k as bifurcation parameter

圖3 1階Boost開關(guān)動(dòng)力系統(tǒng)分岔參數(shù)及部分符號(hào)序列Fig.3 Bifurcation and partial symbolic sequences of the first-order Boost switching dynamical system

1.2 2階動(dòng)力系統(tǒng)

峰值電流模式控制的Boost變換器的2階離散系統(tǒng)如圖4所示，開關(guān)管S狀態(tài)改變，變換器的電路拓?fù)湟舶l(fā)生變化。選取合適的電路參數(shù)，L=1 mH，C=12 μF，R=15 Ω，Vin=10 V，fs=10 kHz，Iref=1～6.0 A，變換器工作于連續(xù)電流模式CCM（continuous current mode），系統(tǒng)在兩種電路拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)之間切換，對(duì)應(yīng)的狀態(tài)方程分別為

式中：vc為電容輸出電壓；iL為電感電流。

當(dāng)Iref=4.3 A時(shí)，對(duì)變換器系統(tǒng)按驅(qū)動(dòng)周期進(jìn)行采樣，得到變換器系統(tǒng)Poincare截面（iL（n），vc（n））,再取（iL（n），iL（n+1））或（vc（n），vc（n+1））構(gòu)成電流或電壓首歸映射，如圖5所示。

圖4 峰值電流模式控制的Boost變換器原理Fig.4 Schematic of peak current-mode controlled Boost converter

圖5 電流的首歸映射iL（n）→iL（n+1）Fig.5 Return map current iL（n）→iL（n+1）

圖5顯示出折疊和非一維的結(jié)構(gòu)，但是因?yàn)榉?hào)動(dòng)力學(xué)的分析方法本來就是粗?；手灰糯钟^察精度，仍然相當(dāng)于接近一維[16]，而且是1個(gè)單峰映射。因此，可以直接運(yùn)用單峰映射系統(tǒng)的排序和演化規(guī)律的符號(hào)動(dòng)力學(xué)來分析2階Boost開關(guān)動(dòng)力系統(tǒng)的一些動(dòng)力學(xué)性質(zhì)。

單峰映射周期軌道（RL…C）的特點(diǎn)字母是最小值L的前一點(diǎn)對(duì)應(yīng)最大值R，而最大值R的前一點(diǎn)對(duì)應(yīng)C或其近鄰的R或L，參照C的數(shù)值大小來確定其他軌道點(diǎn)in所對(duì)應(yīng)的字母，這樣就確定周期軌道窗口。用這種方法可以確定一系列周期窗口的符號(hào)序列，2階Boost開關(guān)動(dòng)力系統(tǒng)的符號(hào)序列和窗口參數(shù)范圍見表2和圖6。

1.3 周期3的誕生

1階和2階Boost開關(guān)動(dòng)力系統(tǒng)的分岔參數(shù)在混沌區(qū)域內(nèi)出現(xiàn)一個(gè)較大的周期3窗口，其局部分岔如圖3和圖6所示，周期窗口中周期3軌道遍歷相似的倍周期分岔后通向混沌通道，并在周期窗口結(jié)束，發(fā)生混沌危機(jī)，引發(fā)混沌狀態(tài)的突變。混沌危機(jī)的出現(xiàn)是由于不穩(wěn)定周期軌道與次級(jí)混沌帶相遇，引發(fā)混沌帶中的軌道充斥于整個(gè)混沌區(qū)域[15]。

表2 以Iref為分岔參數(shù)的周期窗口Tab.2 Periodic windows with Irefas bifurcation parameter

圖6 2階Boost開關(guān)動(dòng)力系統(tǒng)的分岔參數(shù)及部分符號(hào)序列Fig.6 Bifurcation parameter and partial symbolic sequences of the second-order Boost switching dynamical system

由圖2可見，當(dāng)參數(shù)k增大到1.352 6附近時(shí)，1階Boost開關(guān)動(dòng)力系統(tǒng)產(chǎn)生切分岔，引發(fā)陣發(fā)混沌，出現(xiàn)周期3。圖7給出在k=1.352 6附近的3次迭代曲線，與對(duì)角線相切，產(chǎn)生了3個(gè)切口A、B、C和一個(gè)不穩(wěn)定的交點(diǎn)D。3個(gè)切點(diǎn)形成了穩(wěn)定的周期軌道和3條不穩(wěn)定軌道，3條不能觀察到的不穩(wěn)定軌道在窗口結(jié)束處與次級(jí)混沌帶相遇，從而引發(fā)混沌危機(jī)。同理，對(duì)于2階Boost開關(guān)動(dòng)力系統(tǒng)系統(tǒng)，當(dāng)參數(shù)Iref增大到5.804附近時(shí)，Boost變換器產(chǎn)生切分岔，引發(fā)陣發(fā)混沌。

圖7 1階Boost開關(guān)動(dòng)力系統(tǒng)的3次迭代曲線Fig.7 Cubic iterative curve of the first-order Boost switching dynamical system

2 廣義合成律分析周期3

2.1 廣義合成律的變換規(guī)則

符號(hào)動(dòng)力學(xué)指出，滿足同一拓?fù)溆成涞膭?dòng)力學(xué)系統(tǒng)，其對(duì)應(yīng)的揉序列排序具有普適性[17]。通常，把一個(gè)動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)、滿足允字條件的符號(hào)序列由小到大排列，稱為“MSS序列”[18]。截至周期6的單峰映射和倒單峰映射的MSS表分別如表3和表4所示。

表3 周期6以內(nèi)的倒單峰映射MSSTab.3 Inverted unimodal map MSS up to period 6

表4 周期6以內(nèi)的單峰映射MSSTab.4 Unimodal map MSS up to period 6

廣義合成律是運(yùn)用符號(hào)序列對(duì)不同周期軌道間進(jìn)行有據(jù)變換的一種粗?；臄?shù)學(xué)工具，具體的證明見文獻(xiàn)[16]。廣義合成律的變換規(guī)則如下：

除了L∞外的任意符號(hào)序列字，做滿足以下3條件的變換后所得的符號(hào)序列仍為符號(hào)序列字。

（1）ρ為奇，而λ為偶，其中ρ和λ為R和L組成的有限長(zhǎng)度符號(hào)序列；

（2）ρ＞λ；

（3）ρ|C、ρλ|C和ρλ∞均為揉序列字。

2.2 1階Boost變換器周期3符號(hào)動(dòng)力學(xué)分析

如果存在周期3，無論系統(tǒng)穩(wěn)定或非穩(wěn)定，則必存在任意周期n的軌道。這就是“周期3意味著混沌”這一說法的意義。

對(duì)于Boost變換器的一階動(dòng)力系統(tǒng)，穩(wěn)定周期3由序列（LRL）∞開始，如果寫成

則取ρ=L和λ=RLL時(shí)，ρ和λ滿足廣義合成律的3條件。還可以寫成

這時(shí)ρ'=LR和λ'=LLR也滿足上述3條件。

因?yàn)榉?hào)序列（LRn）∞跟（LRm+1LL）∞都是表 1里面的序列，故根據(jù)式（9）和式（10），可由R和L的允許序列生成新的允許序列，即

則式（10）的周期分別3n+1，3n+2和3n，于是，可以得到周期任意長(zhǎng)的符號(hào)序列。由此驗(yàn)證“周期3意味著混沌”這一說法的意義。

周期3發(fā)生之前，存在短暫的陣發(fā)混沌，借助符號(hào)動(dòng)力學(xué)，也可較深刻地理解陣發(fā)混沌。在小于（LRL）∞一側(cè)，可找到隨參數(shù)k增大，周期間歇長(zhǎng)度遞增的符號(hào)序列系列[ρ（LRL）m]∞，m=1，2，…，當(dāng)m→∞時(shí)，變成ρ（LRL）∞，是一個(gè)周期3軌道。

圖8 k=0.135 20時(shí)1階Boost開關(guān)動(dòng)力系統(tǒng)陣發(fā)混沌Fig.8 Intermittent chaos of the first-order Boost switching dynamical system with k=0.135 20

圖9 k=0.135 23時(shí)1階Boost開關(guān)動(dòng)力系統(tǒng)陣發(fā)混沌Fig.9 Intermittent chaos of the first-order Boost switching dynamical system with k=0.135 23

此[ρ（LRL）m]∞型的粗?；煦缦盗斜憩F(xiàn)出陣發(fā)混沌，并且冪次m刻畫周期間歇的長(zhǎng)度，如圖8和圖9所示，參數(shù)k越大，周期間隔越長(zhǎng)，最后形成穩(wěn)定周期3軌道。

2.3 2階Boost的變換器周期3符號(hào)動(dòng)力學(xué)分析

同理，對(duì)于Boost變換器的2階動(dòng)力系統(tǒng)，穩(wěn)定周期3由序列（RLR）∞開始，如果寫成

則取ρ=R和λ=LRR時(shí)，ρ和λ滿足廣義合成律的3條件。還可以寫成

這時(shí)ρ'和λ'也滿足上述3條件。

圖10 Iref=5.530 30時(shí)2階Boost開關(guān)動(dòng)力系統(tǒng)陣發(fā)混沌Fig.10 Intermittent chaos of the second-order Boost switching dynamical system with Iref=5.530 30

圖11 Iref=5.530 56時(shí)2階Boost開關(guān)動(dòng)力系統(tǒng)陣發(fā)混沌Fig.11 Intermittent chaos of the second-order Boost switching dynamical system with Iref=5.530 56

根據(jù)式（12）和式（13），可由R和L的允許序列生成新的允許序列，即則式（13）的周期分別3n+1，3n+2和3（n+1），于是，可以得到周期任意長(zhǎng)的符號(hào)序列。

在小于（RLR）∞一側(cè)，可找到隨m增大周期間歇長(zhǎng)度遞增的符號(hào)序列系列[ρ（LRR）m]∞，m=1，2，…。當(dāng)m→∞時(shí)，變成ρ（LRR）∞，這也是一個(gè)周期3軌道，[ρ（LRR）m]∞型的粗?；煦缦盗斜憩F(xiàn)出陣發(fā)混沌，并且冪次m刻畫周期間歇的長(zhǎng)度，如圖8和圖9所示，參數(shù)k越大，周期間隔越長(zhǎng)，最后形成穩(wěn)定周期3軌道。

3 仿真實(shí)驗(yàn)

基于式（7）和式（8）的分段線性模型，按照上述2階變換系統(tǒng)的電路參數(shù)，對(duì)峰值電流模式控制Boost變換器進(jìn)行了電路實(shí)驗(yàn)，得到穩(wěn)定周期3以及發(fā)生切分岔前的陣發(fā)混沌的電感電流iL和電容電壓uc的時(shí)域波形和Poincare截面，如圖12所示。其中圖（b）和（d）是151個(gè)采樣點(diǎn)的Poincare截面。

圖12 Boost變換器的電感電流和電容電壓特性Fig.12 Inductor current and capacitor voltage characteristics of Boost converter

4 結(jié)語

本文分別以1階和2階Boost開關(guān)動(dòng)力系統(tǒng)為例，首先證明周期3發(fā)生的根源是系統(tǒng)發(fā)生切分岔；其次從符號(hào)動(dòng)力學(xué)的角度用廣義合成律具體舉例證明“周期3意味著混沌”這一說法的符號(hào)含義；接著用符號(hào)序列的冪次代表陣發(fā)混沌發(fā)生的周期間隔，并分別附圖證明隨著參數(shù)k和Iref增大，1階和2階的變換系統(tǒng)陣發(fā)混沌發(fā)生的周期間隔也越長(zhǎng)；最后形成穩(wěn)定周期3軌道。分析混沌帶中的周期3以及“周期3意味著混沌”的深入證明，對(duì)了解Boost變換器非線性全局穩(wěn)定性具有重要意義。

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