傅鶴林，史越，龍燕，張加兵，黃震

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中主應(yīng)力系數(shù)對巖石強(qiáng)度準(zhǔn)則的影響

傅鶴林1, 2，史越1, 2，龍燕1, 2，張加兵1, 2，黃震1, 2

(1. 中南大學(xué)土木工程學(xué)院，湖南 長沙，410075；2. 中南大學(xué) 高速鐵路建造技術(shù)國家工程試驗室，湖南 長沙，410075)

為揭示真三軸條件下的巖石強(qiáng)度，基于Mohr?Coulomb準(zhǔn)則、Hoek?Brown準(zhǔn)則、Drucker?Prager準(zhǔn)則、Mogi?Coulomb準(zhǔn)則、統(tǒng)一強(qiáng)度理論等不同本構(gòu)模型，引入中主應(yīng)力系數(shù)，推導(dǎo)不同強(qiáng)度準(zhǔn)則關(guān)于的計算公式；結(jié)合Mogi對Dunham白云巖試樣的試驗結(jié)果，將該問題等效為不同本構(gòu)模型在變化下的比選問題。研究結(jié)果表明：隨著增加，當(dāng)3較小時，統(tǒng)一強(qiáng)度理論比較適用，在統(tǒng)一強(qiáng)度理論計算峰值與試驗峰值之間Mogi?Coulomb準(zhǔn)則和Hoek?Brown準(zhǔn)則比較適合；當(dāng)3較大時，Mogi?Coulomb準(zhǔn)則失效，Hoek?Brown準(zhǔn)則較為安全；采用統(tǒng)一強(qiáng)度理論在巖石強(qiáng)度峰值之后能較好地擬合試驗曲線；Drucker?Prager外接圓準(zhǔn)則主要適用于一般三軸條件下或較小情況下的計算。

中主應(yīng)力系數(shù)；巖石強(qiáng)度；本構(gòu)模型；強(qiáng)度準(zhǔn)則

1 基本理論

1.1 中主應(yīng)力系數(shù)

定義中主應(yīng)力系數(shù)為

在彈塑性理論中，常以Lode參數(shù)表示應(yīng)力參數(shù)：

不難證明，和之間滿足如下關(guān)系：

1.2 Mohr?Coulomb準(zhǔn)則

1900年提出的Mohr?Coulomb(簡稱M?C)準(zhǔn)則實際上只考慮了1個剪應(yīng)力及其面上正應(yīng)力，沒有考慮中主應(yīng)力對土抗剪強(qiáng)度的影響或者說中主應(yīng)力對土抗剪強(qiáng)度無關(guān)。單剪強(qiáng)度理論是各種可能外凸理論的 下限。

在平面應(yīng)力狀態(tài)下，M?C屈服準(zhǔn)則可表示為：

1.3 Hoek?Brown準(zhǔn)則

Hoek和Brown于1980年針對完整、黏聚力很強(qiáng)的巖石和巖體提出了Hoek?Brown(簡稱H?B)強(qiáng)度準(zhǔn)則[11?12]，為了使其更具普遍性與適用性，于1997年又提出了廣義H?B準(zhǔn)則[13]：

其中：

1998年SINGH等[14]提出修正的H?B準(zhǔn)則：

結(jié)合式(1)和(8)為

1.4 Drucker?Prager準(zhǔn)則

在主應(yīng)力空間，M?C屈服面為一不規(guī)則六棱錐面；在π平面內(nèi)，為一不等角六邊形。由于Drucker?Prager(簡稱D?P)屈服面在π平面內(nèi)為一簇光滑圓曲線，表述簡潔且計算效率高，因此，常用D?P系列準(zhǔn)則逼近M?C準(zhǔn)則。

以應(yīng)力不變量表示D?P準(zhǔn)則[6]：

國外大型有限元軟件(如ANSYS、MARC)通常把M?C外角點外接圓準(zhǔn)則作為D?P準(zhǔn)則，如圖1所示。

圖1 π平面上M?C準(zhǔn)則與D?P外接圓準(zhǔn)則的關(guān)系

這時，有[15]

在真三軸情況下，結(jié)合式(1)和(11)，式(10)為

在一般三軸情況下(=0)，

化簡可知，式(13)為M?C準(zhǔn)則。

1.5 Mogi?Coulomb準(zhǔn)則

將Mogi經(jīng)驗強(qiáng)度準(zhǔn)則與Coulomb強(qiáng)度準(zhǔn)則相結(jié)合，AL-AJMI等[16]建立了Mogi?Coulomb(簡稱Mogi?C)強(qiáng)度準(zhǔn)則：

其中：

結(jié)合式(1)和(16)，整理式(15)得[17]：

其中：

如上得到巖石強(qiáng)度與中主應(yīng)力系數(shù)之間的關(guān)系式。π平面上M?C準(zhǔn)則與Mogi?C準(zhǔn)則的關(guān)系如圖2所示，Mogi?C強(qiáng)度準(zhǔn)則極限線為外接于M?C強(qiáng)度準(zhǔn)則極限線的曲邊六邊形，在軸對稱的三軸壓縮狀態(tài)(=0)和三軸拉伸狀態(tài)(=1)即不考慮中主應(yīng)力影響時，兩準(zhǔn)則的極限線重合。

圖2 π平面上M?C準(zhǔn)則與Mogi?C準(zhǔn)則的關(guān)系

1.6 統(tǒng)一強(qiáng)度理論

1985年，俞茂宏等[7?8]建立了雙剪強(qiáng)度理論，1997年，魯祖統(tǒng)等[18]在數(shù)學(xué)上證明了單剪與雙剪強(qiáng)度理論分別為各種屈服準(zhǔn)則的內(nèi)外包絡(luò)線。

室內(nèi)試驗表明[19]，圓柱形巖石試樣軸向壓縮強(qiáng)度與圍壓大致成線性關(guān)系(和均為強(qiáng)度準(zhǔn)則參數(shù))：

若以相同的參數(shù)進(jìn)行線性插值，則得到

由式(20)分別整理得

兩式對比得

式(23)也為統(tǒng)一強(qiáng)度理論參數(shù)提供了算法，即為真三軸試驗狀態(tài)下巖石破壞時關(guān)于中主應(yīng)力系數(shù)β的比值。

易得

此時巖石強(qiáng)度為

2 本構(gòu)模型計算對比分析

表1 Mohr?Coulomb強(qiáng)度計算值

由1.2節(jié)及表1可知：M?C準(zhǔn)則計算結(jié)果僅與小主應(yīng)力有關(guān)，不隨中主應(yīng)力的改變而發(fā)生變化。隨著中主應(yīng)力的增加，保守性越來越明顯，有必要通過多軸強(qiáng)度準(zhǔn)則來進(jìn)一步挖掘巖石強(qiáng)度的安全儲備。

根據(jù)H?B準(zhǔn)則相關(guān)參數(shù)回歸分析的結(jié)果[20]，強(qiáng)度隨中主應(yīng)力系數(shù)計算結(jié)果如圖3所示。M?C與H?B準(zhǔn)則區(qū)別在于前者的破壞線在主應(yīng)力空間的π平面及子午面上均為直線，而后者為曲線，因此，H?B準(zhǔn)則可以很好地描述巖石強(qiáng)度的非線性特征，但難以確定準(zhǔn)則中參數(shù)，特別是巖石各向異性明顯時更限制了它的使用。

σ3：1—25；2—45；3—65；4—85；5—105；6—125；7—145。

σ3：1—25；2—45；3—65；4—85；5—105；6—125；7—145。

圖5所示為Mogi?Coulomb準(zhǔn)則強(qiáng)度曲線。根據(jù)巖石真三軸強(qiáng)度的統(tǒng)一強(qiáng)度理論參數(shù)(=298.9 MPa，=0.47)[19]，計算得到白云巖強(qiáng)度隨變化曲線如圖6所示。對比圖5和圖6可知：Mogi?C強(qiáng)度準(zhǔn)則、統(tǒng)一強(qiáng)度理論考慮了中主應(yīng)力作用效應(yīng)及其作用的區(qū)間性，符合前述存在轉(zhuǎn)折點的特征。但兩強(qiáng)度準(zhǔn)則在=0與=1時強(qiáng)度計算結(jié)果相等，這與試驗結(jié)果不相符。其主要原因是兩準(zhǔn)則此時退化為不考慮中主應(yīng)力效應(yīng)的M?C準(zhǔn)則。

σ3：1—25；2—45；3—65；4—85；5—105；6—125；7—145。

σ3：1—25；2—45；3—65；4—85；5—105；6—125；7—145。

3 算例分析

3.1 試驗數(shù)據(jù)分析

圖7 Dunham 白云巖的真三軸試驗數(shù)據(jù)

σ3：1—25；2—45；3—65；4—85；5—105；6—125；7—145。

σ3：1—25；2—45；3—65；4—85；5—105；6—125；7—145。

3.2 中主應(yīng)力系數(shù)β的影響

β：1—0；2—0.08；3—0.10；4—0.22；5—0.35。

1—實驗值；2—H?B準(zhǔn)則；3—D?P準(zhǔn)則；4—Mogi?C準(zhǔn)則；5—統(tǒng)一強(qiáng)度理論。

1—實驗值；2—H?B準(zhǔn)則；3—D?P準(zhǔn)則；4—Mogi?C準(zhǔn)則；5—統(tǒng)一強(qiáng)度理論。

從圖11和12可知：D?P外接圓準(zhǔn)則在較低地應(yīng)力場且中主應(yīng)力效應(yīng)較小(圖11，0＜＜0.10)時才能反映出巖石強(qiáng)度。

根據(jù)巖石強(qiáng)度隨中主應(yīng)力系數(shù)變化規(guī)律及上述討論，在達(dá)到巖石最大強(qiáng)度對應(yīng)的前(Dunham 白云巖的在0.35~0.40之間)，真三軸本構(gòu)模型相比于目前大量應(yīng)用的不考慮中主應(yīng)力作用效應(yīng)的M?C模型，能夠更好反映出巖石強(qiáng)度變化規(guī)律，滿足設(shè)計要求。

3.3 小主應(yīng)力σ3的影響

根據(jù)前述試驗數(shù)據(jù)的分析，巖石強(qiáng)度隨小主應(yīng)力的增大顯著增大，擬合曲線為直線，Dunham 白云巖試驗強(qiáng)度最大值對應(yīng)范圍在0.35~0.40之間。在這里分別取為0，0.10，0.22和0.40，用擬合曲線來比對試驗值與不同的多軸本構(gòu)模型計算值，如圖13~16所示。

在一般三軸條件下(圖13，=0)，M?C準(zhǔn)則、D?P外接圓準(zhǔn)則、Mogi?C準(zhǔn)則、統(tǒng)一強(qiáng)度理論計算值相同，在低地應(yīng)力場條件下小于試驗值；隨著增大(圖14，=0.1)，D?P外接圓準(zhǔn)則計算值在低地應(yīng)力場內(nèi)能夠較準(zhǔn)確的估算巖石強(qiáng)度，這與圖10所示結(jié)果相吻合，反映出大部分有限元軟件所內(nèi)嵌的D?P外接圓模型較適合于一般三軸條件下的低地應(yīng)力場計算。

1—實驗值；2—M?C準(zhǔn)則；3—H?B準(zhǔn)則；4—D?P準(zhǔn)則；5—Mogi?C準(zhǔn)則；6—統(tǒng)一強(qiáng)度理論。

1—實驗值；2—H?B準(zhǔn)則；3—D?P準(zhǔn)則；4—Mogi?C準(zhǔn)則；5—統(tǒng)一強(qiáng)度理論。

1—實驗值；2—H?B準(zhǔn)則；3—Mogi?C準(zhǔn)則；4—統(tǒng)一強(qiáng)度理論。

1—實驗值；2—H?B準(zhǔn)則；3—Mogi?C準(zhǔn)則；4—統(tǒng)一強(qiáng)度理論。

根據(jù)巖石所處地應(yīng)力場高低、強(qiáng)度峰前峰后、中主應(yīng)力效應(yīng)大小等條件，合理選擇與轉(zhuǎn)換不同的多軸本構(gòu)模型，能夠更進(jìn)一步利用巖石的塑性儲備。

4 結(jié)論

1) 基于中主應(yīng)力系數(shù)定義，結(jié)合Hoek?Brown準(zhǔn)則、統(tǒng)一強(qiáng)度理論，推導(dǎo)本構(gòu)模型隨變化的計算公式；并引用Drucker?Prager準(zhǔn)則、Mogi?Coulomb準(zhǔn)則計算模型隨變化的計算公式，為真三軸條件下巖石強(qiáng)度隨中主應(yīng)力系數(shù)變化研究提供了理論依據(jù)。

2) 得到統(tǒng)一強(qiáng)度理論中參數(shù)的又一計算方法，即真三軸試驗下巖石破壞時關(guān)于的比值，也說明了該系數(shù)的又一實用意義。

3) 對比真三軸條件下常用巖石本構(gòu)模型隨中主應(yīng)力系數(shù)變化的計算曲線，在不考慮中主應(yīng)力影響時，Drucker?Prager準(zhǔn)則、Mogi?Coulomb準(zhǔn)則、統(tǒng)一強(qiáng)度理論將退化為Mohr?Coulomb準(zhǔn)則，計算值一致，Hoek?Brown準(zhǔn)則計算值較小，反映出它的安全性。

4) 在低地應(yīng)力場、很小時，各本構(gòu)模型基本能夠反映出巖石強(qiáng)度規(guī)律；在低地應(yīng)力場，統(tǒng)一強(qiáng)度理論計算峰值之前(0.10＜＜0.20)，統(tǒng)一強(qiáng)度理論具有一定優(yōu)越性；在統(tǒng)一強(qiáng)度理論峰值與試驗強(qiáng)度峰值之間(0.20＜＜0.35)，Mogi?Coulomb準(zhǔn)則和Hoek? Brown準(zhǔn)則比較適用；在高地應(yīng)力場復(fù)雜狀態(tài)下，在巖石強(qiáng)度達(dá)到峰值之前(0＜＜0.35)，應(yīng)用Hoek? Brown準(zhǔn)則計算是偏于安全的；在巖石強(qiáng)度峰值之后(＞0.35)，統(tǒng)一強(qiáng)度理論能較好地擬合強(qiáng)度的變化。

5)廣泛應(yīng)用于有限元計算的Drucker?Prager外接圓準(zhǔn)則僅在低地應(yīng)力場一般三軸條件下或較小時(0＜＜0.10)才能較好地預(yù)測巖體強(qiáng)度，反映出該準(zhǔn)則應(yīng)用于巖土體計算的局限性。

6) 本文僅基于白云巖的試驗數(shù)據(jù)，未對其他種類巖石展開分析，準(zhǔn)則轉(zhuǎn)換節(jié)點還需精確算核，因此，本文結(jié)論存在一定前提條件和局限性，有待進(jìn)一步 探討。

[1] MOGI K. Effect of the intermediate principal stress on rock failure[J]. Journal of Geophysics Research, 1967, 72: 5117?5131.

[2] MOGI K. Fracture and flow of rocks under high triaxial compression[J]. Journal of Geophysics Research, 1971, 76(5): 1255?1269.

[3] YAO Yangping, HU Jing, ZHOU Annan, et al. Unified strength criterion for soils, gravels, rocks, and concretes[J]. Acta Geotechnica, 2015, 10: 749?759.

[4] 許東俊, 耿乃光. 巖石強(qiáng)度隨中間主應(yīng)力的變化規(guī)律[J]. 固體力學(xué)學(xué)報, 1985, 6(1): 72?80. XU Dongjun, GENG Naiguang. The variation law of rock strength with increase of intermediate principal stress[J]. Acta Mechanica Solida Sinica, 1985, 6(1): 72?80.

[5] FU Helin, ZHANG Jiabing, HUANG Zhen, et al. A statistical model for predicting the triaxial compressive strength of transversely isotropic rocks subjected to freeze-thaw cycling[J]. Cold Regions Science and Technology, 2018, 145: 237?248.

[6] DRUNKER D C, PRAGER W. Soil mechanics and plastic analysis in limit design[J]. Quarterly of Applied Mathematics, 1952, 10: 157?165.

[7] 俞茂宏. 線性和非線性的統(tǒng)一強(qiáng)度理論[J]. 巖石力學(xué)與工程學(xué)報, 2007, 26(4): 662?669. YU Maohong. Linear and nonlinear unified strength theory[J]. Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering, 2007, 26(4): 662?669.

[8] 昝月穩(wěn), 俞茂宏. 巖石廣義非線性統(tǒng)一強(qiáng)度理論[J]. 西南交通大學(xué)學(xué)報, 2013, 48(4): 616?624. ZAN Yuewen, YU Maohong. Generalized nonlinear unified strength theory of rock[J]. Journal of Southwest Jiaotong University, 2013, 48(4): 616?624.

[9] 張傳慶, 馮夏庭, 周輝. 巖石多軸與常規(guī)三軸強(qiáng)度的關(guān)系[J]. 固體力學(xué)學(xué)報, 2011, 32(3): 228?234. ZHANG Chuanqing, FENG Xiating, ZHOU Hui. Relationship between polyaxial strength and conventional triaxial strength for rock[J]. Chinese Journal of Solid Mechanics, 2011, 32(3): 228?234.

[10] 劉運思, 傅鶴林, 饒軍應(yīng), 等. 基于 Hoek?Brown 準(zhǔn)則對板巖抗拉強(qiáng)度研究[J]. 巖土工程學(xué)報, 2013, 35(6): 1172?1177. LIU Yunsi, FU Helin, RAO Junying, et al. Tensile strength of slate based on Heok?Brown criterion[J]. Chinese Journal of Geotechnical Engineering, 2013, 35(6): 1172?1177.

[11] HOEK E, BROWN E T. Empirical strength criterion for rock masses[J]. Journal of Geotechnical and Geoenvironmental Engineering, ASCE, 1980, 106(9): 1013?1035.

[12] HOEK E, BROWN E T. Underground excavation in rocks[M]. London: Institution of Mining and Metallurgy, 1980: 527.

[13] HOEK E, BROWN E T. Practical estimates of rock mass strength[J]. International Journal of Rock Mechanics and Mining Science, 1997, 34(8): 1165?1186.

[14] SINGH B, GOELRK, MEHROTRA V K, et al. Effect of intermediate principal stress on strength of anisotropic rock mass[J]. Tunnelling and Under-ground Space Technology, 1998, 13(1): 71? 79.

[15] 唐芬, 鄭穎人. 強(qiáng)度儲備安全系數(shù)不同定義對穩(wěn)定系數(shù)的影響[J]. 土木建筑與環(huán)境工程, 2009, 31(3): 61?65. TANG Fen, ZHENG Yingren. Effect on safety factors in different definitions based on strength margin[J]. Journal of Civil, Architectural & Environmental Engineering, 2009, 31(3): 61?65.

[16] AL-AJMI A M, ZIMMERMAN R W. Relation between the Mogi and the Coulomb failure criteria[J]. International Journal of Rock Mechanics and Mining Science, 2005, 42(3): 431?439.

[17] 呂彩忠. 基于Mogi?Coulomb強(qiáng)度準(zhǔn)則的隧道圍巖理想彈塑性解答[J]. 土木建筑與環(huán)境工程, 2014, 36(6): 54?59. Lü Caizhong. Elastic-perfectly plastic solution of tunnel surrounding rocks using Mogi?Coulomb strength criteria[J]. Journal of Civil, Architectural & Environmental Engineering, 2014, 36(6): 54?59.

[18] 魯祖統(tǒng), 龔曉南.關(guān)于穩(wěn)定材料屈服條件在π平面內(nèi)的屈服曲線存在內(nèi)外包絡(luò)線的證明[J].巖土工程學(xué)報, 1997, 19(5): 1?5. LU Zutong, GONG Xiaonan. Verification of inner and outer envelopes for the yield curve of stable material in π-plane[J]. Chinese Journal of Geotechnical Engineering, 1997, 19(5): 1?5.

[19] 尤明慶. 統(tǒng)一強(qiáng)度理論的試驗數(shù)據(jù)擬合及評價[J]. 巖石力學(xué)與工程學(xué)報, 2008, 27(11): 2193?2204. YOU Mingqing. Fitting and evaluation of test data using unified strength theory[J]. Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering, 2008, 27(11): 2193?2204.

[20] 許宏發(fā), 王發(fā)軍, 江淼, 等. 巖石考慮中間主應(yīng)力Hoek?Brown強(qiáng)度參數(shù)分析[J]. 解放軍理工大學(xué)學(xué)報, 2012, 13(6): 636?639. XU Hongfa, WANG Fajun, JIANG Miao, et al. Parameters in Hoek?Brown’s failure criterion considering intermediate principal stress of rock[J]. Journal of PLA University of Science and Technology, 2012, 13(6): 636?639.

(編輯 楊幼平)

Influence of intermediate principle stress coefficient on rock strength criterion

FU Helin1, 2, SHI Yue1, 2, LONG Yan1, 2, ZHANG Jiabing1, 2, HUANG Zhen1, 2

(1. School of Civil Engineering, Central South University, Changsha 410075, China; 2. National Engineering Laboratory for High Speed Railway Construction, Central South University,Changsha 410075, China)

To reveal the rock strength in the condition of true triaxial test, the intermediate principle stress coefficient was applied based on Hoek?Brown, Drucker?Prager, Mogi?Coulomb criterion and unified strength theory. With the modified strength criterion formulas referred toand the Dunham dolomite experiment data by Mogi, the problem was equivalent to contrasting and selecting different constitutive models appropriately. The results show that: With the increase of, the unified strength theory is suitable when the3is small, while Mogi?Coulomb criterion and Hoek?Brown criterion are appropriate when the related value ofranges between peak value calculated by unified strength theory and that of experiment; When the3is large, Mogi?Coulomb criterion is invalid and Hoek?Brown criterion is superior. After peak value of experiment condition, the unified strength theory is preferable in fitting the experiment value. Only in case of general triaxial or less value ofcan the Drucker?Prager circumcircle criterion fit experiment data better.

intermediate principle stress coefficient; rock strength; constitutive model; strength criterion

TU452

A

1672?7207(2018)01?0158?09

10.11817/j.issn.1672-7207.2018.01.021

2017?02?25；

2017?05?05

國家自然科學(xué)基金資助項目(51578550)；國家自然科學(xué)重點基金資助項目(51538009) (Project(51578550) supported by the National Natural Science Foundation of China; Project(51538009) supported by the State Key Program of National Natural Science of China)

史越，博士研究生，從事巖石力學(xué)和隧道工程等研究；E-mail: yueshi@csu.edu.cn