戴德業(yè)

(江蘇省溧水高級中學,211200)

本文以一道圓中三角形面積最值問題為例,從三角形面積計算的常見途徑入手，通過多種解法,展示圓錐曲線最值問題的常用求解策略.

一、試題呈現(xiàn)

試題如圖1，已知圓C：(x-1)2+y2=1，過原點O作直線l1,l2分別交圓C于A，B兩點(A在x軸上方),若直線l1,l2的斜率之積為-2,求?ABC的面積S的最大值.

二、求解策略

策略1函數(shù)思想

當直線AB的斜率不存在時,由圓心C在x軸上,可設直線AB的方程為x=m,點A(m,y0),B(m,-y0),其中m>0.

解法2由題易知直線AB的斜率不為0,可設直線AB的方程為x=my+t,點A(x1,y1),B(x2,y2).

于是?ABC的面積

策略2不等式思想

本題中的圓錐曲線是圓,由于圓的半徑是已知的,所以只需要求出圓心角的正弦值范圍.

解法3設直線l1,l2的斜率分別為k1,k2,則k1k2=-2.

策略3數(shù)形結(jié)合思想

解法4設直線l1,l2的斜率分別為k1,k2,則k1k2=-2.

tan∠AOB=tan(α+β)

=-(tanα+tanβ).

評注本解法運用基本不等式求出圓周角正切值的取值范圍,利用平面幾何中圓心角是圓周角的2倍的知識,進一步求得圓心角正弦值的范圍.與前面3種解法相比,此解法運算量最小體現(xiàn)了不等式思想、數(shù)形結(jié)合思想和函數(shù)思想的綜合運用策略.

綜上,圓錐曲線中的最值問題的主要策略是函數(shù)思想和不等式思想.若能根據(jù)圖形特征利用平面幾何知識,則運算過程簡捷明快,因此數(shù)形結(jié)合思想也是這類問題的一個重要求解策略.