， ，，

(北京自動(dòng)化控制設(shè)備研究所，北京 100074)

0 引言

PnP(Perspective-n-Point)問(wèn)題是1981年首先由Fischler和Bolles[1]提出的，即給定n個(gè)空間點(diǎn)與圖像點(diǎn)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，確定物體坐標(biāo)系與攝像機(jī)坐標(biāo)系的剛體變換關(guān)系[2]。該問(wèn)題主要被用來(lái)決定攝像機(jī)與目標(biāo)物體之間的相對(duì)距離和姿態(tài)。近年來(lái)又在圖像分析和自動(dòng)制圖學(xué)、計(jì)算機(jī)視覺(jué)、機(jī)器視覺(jué)與機(jī)器人學(xué)及攝影測(cè)量學(xué)等領(lǐng)域中廣受關(guān)注的攝像機(jī)定位問(wèn)題中重新提出[3-5]。

Fishler和Bolles在文獻(xiàn)[1]中指出，要獲得一個(gè)封閉形式的解，最少需要3個(gè)控制點(diǎn)，因而提出了P3P(Perspective-3-Point)問(wèn)題，并指出P3P問(wèn)題最多有4個(gè)解，且解的上界是可以達(dá)到的。周鑫等證明了當(dāng)3個(gè)特征點(diǎn)為等腰三角形，且特征點(diǎn)與攝像機(jī)間滿足某些約束條件時(shí)，P3P問(wèn)題具有唯一解[3,6]。

無(wú)人機(jī)等飛行器著陸過(guò)程中，機(jī)場(chǎng)跑道左邊線、右邊線、起始線在機(jī)載成像裝置中將成像為一個(gè)三角形，在跑道標(biāo)定信息、成像設(shè)備焦距等參數(shù)已知的情況下，由該三角形可唯一確定機(jī)場(chǎng)跑道與攝像機(jī)之間的相對(duì)位置與相對(duì)姿態(tài)，即確定該具體應(yīng)用中P3P問(wèn)題的唯一解。本文從物像共軛關(guān)系出發(fā)，提出了一種確定著陸導(dǎo)航P3P問(wèn)題唯一解的方法。與傳統(tǒng)求解方法不同，該方法沒(méi)有直接根據(jù)點(diǎn)與點(diǎn)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，而是間接從線與線之間的共軛關(guān)系入手確定攝像機(jī)運(yùn)動(dòng)參數(shù)。

1 坐標(biāo)系及其轉(zhuǎn)換

1.1 坐標(biāo)系及其旋轉(zhuǎn)變換

1.1.1 坐標(biāo)系定義

本文主要涉及世界坐標(biāo)系、攝像機(jī)坐標(biāo)系、圖像坐標(biāo)系[7,8]，如圖1所示，其中跑道的半長(zhǎng)為L(zhǎng)，跑道的半寬為l。

圖1 著陸導(dǎo)航坐標(biāo)系Fig.1 Landing navigation coordinates

世界坐標(biāo)系(w系)：以跑道中心線的中心為原點(diǎn)ow；xw軸平行于跑道起始線，右向?yàn)檎?；yw軸沿跑道中心線，向后為正；zw軸垂直于跑道平面，向下為正；owxwywzw構(gòu)成右手坐標(biāo)系。

攝像機(jī)坐標(biāo)系(c系)：以光學(xué)系統(tǒng)的像方主點(diǎn)為原點(diǎn)oc；當(dāng)正對(duì)光學(xué)系統(tǒng)觀察時(shí)，xc軸平行于成像平面坐標(biāo)系的橫軸，左向?yàn)檎?；yc軸平行于成像平面坐標(biāo)系的縱軸，下向?yàn)檎?；zc軸指向觀察者，并與xc軸和yc軸構(gòu)成右手坐標(biāo)系。

圖像坐標(biāo)系(i系)：建立在攝像機(jī)光敏面所在平面內(nèi)的一個(gè)二維平面坐標(biāo)系，以圖像左上角為原點(diǎn)，沿圖像水平方向向右為圖像坐標(biāo)系的c軸，沿圖像垂直方向向下為圖像坐標(biāo)系的r軸，圖像坐標(biāo)系的單位是像素。

1.1.2 坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)變換原理

本文涉及坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)變換，為了便于后文描述，簡(jiǎn)要介紹坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)變換的基本方法如下。

設(shè)(x,y,z)為原坐標(biāo)系下的坐標(biāo)，(x′,y′,z′)為坐標(biāo)系繞某軸旋轉(zhuǎn)θ角之后的坐標(biāo)[9-10]，則

(1)

其中，坐標(biāo)系分別繞X軸、Y軸、Z軸旋轉(zhuǎn)的坐標(biāo)變換基為

(2)

1.2 視覺(jué)相對(duì)姿態(tài)角定義

視覺(jué)相對(duì)姿態(tài)角(簡(jiǎn)稱相對(duì)姿態(tài)角)由相對(duì)滾動(dòng)角γr，相對(duì)航向角ψr，相對(duì)俯仰角θr組成，描述了世界坐標(biāo)系w與攝像機(jī)坐標(biāo)系c之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系。相對(duì)姿態(tài)角(γr，ψr，θr)的定義如下：

相對(duì)航向角ψr：以yc軸射向觀察者，繞該軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)為正方向，范圍(-180°,+180°]；

相對(duì)俯仰角θr：以xc軸射向觀察者，繞該軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)為正方向，范圍[-90°，+90°]；

相對(duì)滾動(dòng)角γr：以zc軸射向觀察者，繞該軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)為正方向，范圍(-180°,+180°]。

則世界坐標(biāo)系w可由攝像機(jī)坐標(biāo)系c按Z?Y?X的旋轉(zhuǎn)順序，分別旋轉(zhuǎn)-γr?-ψr?(-π/2-θr)而得，由此可得c系到w系的轉(zhuǎn)換關(guān)系為[11]

(3)

2 成像特性分析

當(dāng)飛行器降落過(guò)程中，跑道在前下視成像設(shè)備中將成像為一個(gè)三角形，如圖2所示。其中跑道起始線ls與左邊線ll相交于點(diǎn)A，跑道起始線ls與右邊線lr相交于點(diǎn)B，左右邊線的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)C。在世界坐標(biāo)系中，AB兩點(diǎn)的地理定位是顯而易見(jiàn)的，而C點(diǎn)位于跑道中心線上無(wú)窮遠(yuǎn)處，因此可將P3P問(wèn)題由點(diǎn)對(duì)點(diǎn)轉(zhuǎn)化成線對(duì)線，下面分別從圖像坐標(biāo)系與世界坐標(biāo)系中對(duì)三條特征邊線進(jìn)行描述。

圖2 跑道成像特性分析Fig.2 Characteristics of the runway imaging

2.1 圖像坐標(biāo)系下的跑道邊線

跑道左邊線ll、跑道右邊線lr、跑道起始線ls在圖像坐標(biāo)系中的方程可描述為

r+kic+qi=0 (i=l，r，s)

(4)

其中，r與c分別為像素點(diǎn)在圖像坐標(biāo)系中行與列坐標(biāo)值，ki與qi分別為直線方程的斜率與截距，(l,r,s)分別代表跑道左邊線、右邊線、起始線，寫(xiě)成矩陣的形式即

(5)

2.2 世界坐標(biāo)系下的跑道邊線

(6)

其中：

(7)

(8)

在式(4)兩邊同時(shí)左乘1×3矩陣[1kiqi]，并令

(9)

可得

(10)

(11)

即

(12)

代入式(9)，可得

(13)

(14)

代入式(9)，可得

(15)

3 相對(duì)姿態(tài)求解

通過(guò)機(jī)場(chǎng)跑道特征提取，得到跑道左邊線ll、跑道右邊線lr、跑道起始線ls三條直線，世界坐標(biāo)系與攝像機(jī)坐標(biāo)系之間的3個(gè)相對(duì)姿態(tài)角的求解以此三條直線為依據(jù)，其求解方法如下。

相對(duì)滾動(dòng)角γr：機(jī)場(chǎng)與飛行器之間的相對(duì)滾動(dòng)在成像時(shí)將反映在跑道起始線ls的斜率上，因此可通過(guò)對(duì)該直線的斜率求反正切的方式求得。

γr=arctan(ks)

(16)

相對(duì)航向角ψr：兩條跑道線的交點(diǎn)為C，機(jī)場(chǎng)與飛行器之間的相對(duì)航向在成像時(shí)將反映在C點(diǎn)與圖像中心點(diǎn)的水平偏差Δc(單位：像素)上。在相對(duì)姿態(tài)角定義時(shí)，是右航為正的，右航時(shí)C點(diǎn)偏左，Δc為負(fù)值。因此

(17)

相對(duì)俯仰角θr：機(jī)場(chǎng)與飛行器之間的相對(duì)俯仰在成像時(shí)將反映在C點(diǎn)與圖像中心點(diǎn)的垂直偏差Δr(單位：像素)上，因此

(18)

4 相對(duì)位置求解

將左跑道邊線方程xw=-l與右跑道邊線方程xw=l代入式(13)，整理得

(19)

將跑道起始線的方程yw=L代入式(15)，整理得

(20)

根據(jù)式(6)，可以獲得飛行器與機(jī)場(chǎng)之間的相對(duì)位置

(21)

5 結(jié)論

本文對(duì)飛行器著陸過(guò)程中機(jī)載成像設(shè)備的成像特性進(jìn)行了分析，將此過(guò)程中飛行器與跑道之間相對(duì)位置姿態(tài)的求解問(wèn)題抽象為P3P問(wèn)題，并結(jié)合著陸過(guò)程特點(diǎn)提出了一種P3P問(wèn)題唯一解的求解方法。該方法從物像的共軛關(guān)系出發(fā)，提出了先進(jìn)行相對(duì)姿態(tài)求解再進(jìn)行相對(duì)位置求解的策略?？梢钥闯?，在相對(duì)姿態(tài)明確的基礎(chǔ)上，通過(guò)跑道左右邊線可以唯一確定飛行器與跑道之間的側(cè)向、垂向偏移，通過(guò)跑道的起始線可唯一確定飛行器與跑道之間的徑向偏移。由于飛行器一般都配備有慣性導(dǎo)航設(shè)備，因此可將其與機(jī)載成像設(shè)備組成慣性/視覺(jué)組合導(dǎo)航系統(tǒng)，在跑道事先標(biāo)定的基礎(chǔ)上，由慣性導(dǎo)航設(shè)備提供相對(duì)姿態(tài)輔助視覺(jué)導(dǎo)航；與此同時(shí)視覺(jué)導(dǎo)航提供相對(duì)位置修正慣導(dǎo)誤差，形成相互修正的慣性/視覺(jué)深度組合機(jī)制。

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