，

(1.遼寧石油化工大學(xué) 信息與控制工程學(xué)院，遼寧 撫順 113001；2.哈爾濱工程大學(xué) 自動化學(xué)院，哈爾濱150001)

0 引言

激光陀螺的固態(tài)特性使其成為構(gòu)建高精度捷聯(lián)慣性導(dǎo)航系統(tǒng)的理想器件。憑借著瞬時啟動快、耐沖擊能力強(qiáng)、數(shù)字輸出、工作可靠、平均無故障時間長等諸多優(yōu)點[1]，激光陀螺被廣泛應(yīng)用于航海、航空、定位定向、陸地導(dǎo)航和航天火箭等領(lǐng)域[2-4]。作為高精度慣性器件，激光陀螺的隨機(jī)誤差特性是影響其精度提高的重要因素，因此，準(zhǔn)確且有效地分析和辨識出激光陀螺隨機(jī)誤差中的各種噪聲效應(yīng)，針對各效應(yīng)的影響的比重進(jìn)行有效地補(bǔ)償或改進(jìn)，是提高激光陀螺精度的一種有效途徑[5]。

Allan方差法是對激光陀螺的隨機(jī)誤差進(jìn)行辨識與分析中被普遍采用的有效手段之一[6-7]。然而文獻(xiàn)[8]指出Allan方差法沒有包含導(dǎo)航用的零偏不穩(wěn)定性項，并通過經(jīng)典方差法與Allan方差法之間的恒等關(guān)系指出角速度隨機(jī)游走項和速率斜坡項均為負(fù)值，且量化噪聲項也有負(fù)值情況出現(xiàn)的可能，而這與方差為正值的思想相悖。因此需以經(jīng)典方差法來評價激光陀螺的性能。文獻(xiàn)[9]采用阻尼振蕩的思想建立功率譜密度的數(shù)學(xué)模型，最終通過建立經(jīng)典方差法的擬合公式來完成漂移項的估計，解決了上述Allan方差法在分析過程中存在的不足，但經(jīng)典方差法的擬合精度要比Allan方差法的擬合精度差。文獻(xiàn)[10-12]提出的動態(tài)Allan方差法能夠全面和準(zhǔn)確地評價陀螺的性能，由于動態(tài)Allan方差法是由Allan方差法通過窗口截取得到的，其本質(zhì)是三維的Allan方差表現(xiàn)形式，所以Allan方差法中存在的諸多不合理之處都會直接引入到動態(tài)Allan方差法中。

為此，本文將阻尼振蕩法的分析思想和模型引入到動態(tài)Allan方差法中，建立了改進(jìn)動態(tài)Allan方差法的數(shù)學(xué)模型，并通過改進(jìn)Allan方差法對實際測量激光陀螺數(shù)據(jù)的誤差特性進(jìn)行了辨識與分析，仿真和分析結(jié)果驗證了改進(jìn)動態(tài)Allan方差法的正確性和有效性。

1 阻尼振蕩形式的隨機(jī)漂移模型

阻尼振蕩形式的隨機(jī)漂移模型是將噪聲項假設(shè)為各種阻尼振蕩形式，推導(dǎo)出其功率譜密度，并將其與量化噪聲項的功率譜密度結(jié)合起來形成隨機(jī)漂移的功率譜密度表達(dá)式，經(jīng)傅立葉逆變換后，得到時域上的經(jīng)典方差表達(dá)形式：

(1)

(2)

式中，m′代表慢漂類阻尼振蕩，m″代表快漂類阻尼振蕩，m代表不快不慢漂類阻尼振蕩。文獻(xiàn)[13]對此已經(jīng)給出了詳盡的定義及推導(dǎo)過程，本文在此便不再贅述。

式(1)和式(2)也可以分別簡化為如下所熟知的表達(dá)形式：

(3)

(4)

對比式(3)和式(4)可以看出，式(4)的慢漂項中缺少了a0項，此項是由1/f噪聲引起的，通常稱之為零偏不穩(wěn)定性項，傳統(tǒng)Allan方差法并非缺少對此項的估計，而是在采用阻尼振蕩法之后，由經(jīng)典方差法表達(dá)式轉(zhuǎn)化Allan方差法表達(dá)式的過程中，此項中不包含相關(guān)時間而最終被消去。對于整個誤差項的估計需通過經(jīng)典方差法輔助Allan方差法來完成。實際上，只需完成經(jīng)典方差法的參數(shù)估計，再通過式(3)與式(4)之間系數(shù)的關(guān)系直接計算出精細(xì)的Allan方差法的各項系數(shù)，可省去對Allan方差法的估計過程。

在傳統(tǒng)Allan方差法中，各誤差項的方差為正值，因此，要求各誤差項均大于零。而采用阻尼振蕩形式的隨機(jī)漂移模型只要求這三類漂移分別大于零，而并未要求每類漂移中所包含的子誤差項均大于零，這便巧妙地避開了傳統(tǒng)Allan方差法中的量化噪聲項、角度隨機(jī)游走項和速率斜坡項出現(xiàn)負(fù)值卻無法給出合理解釋的情況。

由經(jīng)典方差法推得的Allan方差的擬合精度略遜于傳統(tǒng)的Allan方差法[8]。相比傳統(tǒng)Allan方差法，動態(tài)Allan方差法的擬合結(jié)果又更為精確些。所以，本文將阻尼振蕩法的經(jīng)典方差模型引入到動態(tài)Allan方差法之中，用以提高擬合結(jié)果的精細(xì)程度。

2 基于動態(tài)Allan方差的改進(jìn)Allan方差法

動態(tài)Allan法是Allan方差法的三維表現(xiàn)形式，能夠體現(xiàn)出慣性器件的瞬時穩(wěn)定性[14-15]，它的一個突出優(yōu)點就是能夠體現(xiàn)隨機(jī)誤差的非平穩(wěn)性變化。在動態(tài)Allan方差法中，通過一個以給定時刻t1為中心點，長度為T的矩形窗口來截取數(shù)據(jù)進(jìn)行Allan方差估計。然后窗口滑動到下一中心時刻t2，估計這一時刻矩形窗口數(shù)據(jù)的Allan方差。需要注意的是相鄰兩時刻的矩形窗口須有交疊部分。如此反復(fù)地進(jìn)行此項工作就能夠觀察出代表隨機(jī)誤差的Allan方差隨時間增長而不斷演變的過程，這也就是動態(tài)Allan方差法的形成過程。而改進(jìn)Allan方差法的形成過程與動態(tài)Allan方差法的形成過程是一致的，只是對窗口截取數(shù)據(jù)的Allan方差估計采用經(jīng)典方差法的式(3)來完成，其推導(dǎo)過程如下。

考慮連續(xù)時間的數(shù)據(jù)測量，假設(shè)x(t)為激光陀螺輸出的隨機(jī)誤差數(shù)據(jù)?？梢允褂么翱趨^(qū)間為t-T/2≤t′≤t+T/2的矩形窗口PT(t′)對隨機(jī)誤差數(shù)據(jù)x(t′)進(jìn)行截取，截取得到的數(shù)據(jù)為

xT(t,t′)=x(t′)PT(t-t′)

(5)

式中，xT(t,t′)就是截取所得的數(shù)據(jù)。長度為T的矩形窗口PT(t)有如下的定義形式：

(6)

對于任意一個窗口來說，時刻t是一個固定的參數(shù)，它代表著分析窗口PT(t-t′)的中心。t′代表著窗口內(nèi)流失的時間。由式(3)可得到t′時間內(nèi)經(jīng)典方差的估計窗口Aτ(t′)，通過截取的數(shù)據(jù)和Aτ(t′)進(jìn)行卷積運(yùn)算可建立一個增量過程Δ(t,t′,τ)。

(7)

式中，各變量的約束條件如下：

(8)

t-(T/2-τ)≤t′≤t+(T/2-τ)

(9)

0<τ≤τmax

(10)

其中，τmax是經(jīng)典方差估計窗口內(nèi)數(shù)據(jù)的最大的觀測時間間隔，可以選為

τmax=T/3

(11)

經(jīng)典方差法的實質(zhì)是先對一組陀螺輸出信號求取均值，通過陀螺輸出信號與均值作差，得到的差值序列即被認(rèn)定為隨機(jī)誤差，最后對隨機(jī)誤差序列平方的總體取均值，其簡化形式可寫成

(12)

式中，Δ(tk,τ)就是tk時刻，相關(guān)時間為τ時的隨機(jī)誤差。符號<·>代表對時間序列的總體取均值。

將式(7)中的增量過程代入式(12)，可得

(13)

=E[<Δ2(t,t',τ)>]

(14)

(15)

此外，需要指出的是選擇不同的分析窗口類型可以有效地改進(jìn)其性能，例如選擇海明、漢寧、高斯或者三角窗口等。本文旨在對阻尼振蕩形式的動態(tài)Allan方差法進(jìn)行驗證與分析，因此，本文中僅采用了單一的矩形分析窗口，而并未過多地對其他窗口進(jìn)行深入研究。但若需進(jìn)一步提高改進(jìn)動態(tài)Allan方差法的表現(xiàn)性能，窗口的選擇是后續(xù)值得進(jìn)一步深入研究的。

3 激光陀螺零偏數(shù)據(jù)的誤差特性分析

本文對實驗室內(nèi)現(xiàn)有的某型激光陀螺的零偏數(shù)據(jù)進(jìn)行了實際測量。并分別采用了基于阻尼振蕩的Allan方差法和改進(jìn)動態(tài)Allan方差法對采集的激光陀螺零偏數(shù)據(jù)進(jìn)行了辨識與對比分析。

試驗數(shù)據(jù)采集過程中，將激光陀螺固定在靜止的速率轉(zhuǎn)臺之上，由速率轉(zhuǎn)臺為其提供一個水平基準(zhǔn)。采樣時間為10多個小時，采樣頻率為1Hz。采樣得到的激光陀螺數(shù)據(jù)如圖1所示。

圖1 X軸激光陀螺輸出Fig.1 The output of X axis Laser gyro

對采集的數(shù)據(jù)進(jìn)行功率譜密度分析，功率譜密度的低頻和高頻部分分別如圖2和圖3所示。

從低頻部分圖2中可以估計出頻帶的弛豫時間τm為1個多小時，較采樣周期τ大很多，即τ/τm?1，因此可以看作慢漂類漂移。因此在式(3)中應(yīng)包含慢漂類漂移。而從高頻部分圖3中可以看出，激光陀螺的零偏數(shù)據(jù)中只含有快漂類漂移，而不含有不快不慢類漂移。所以對此次采集的激光陀螺零偏數(shù)據(jù)的誤差項估計應(yīng)采用下面的經(jīng)典方差擬合公式。

(16)

圖2 激光陀螺輸出數(shù)據(jù)的低頻部分Fig.2 Low frequency part of the laser gyro output data

圖3 激光陀螺輸出數(shù)據(jù)的高頻部分Fig.3 High frequency part of the laser gyro output data

設(shè)定改進(jìn)Allan方差法的矩形窗口長度T為3600s。由式(16)可以得到激光陀螺數(shù)據(jù)的Allan方差法和改進(jìn)Allan方差法的曲線擬合結(jié)果如圖4和圖5所示。圖4中紅色曲線為激光陀螺輸出零偏數(shù)據(jù)的Allan方差曲線，藍(lán)色曲線為其擬合曲線。

圖4 基于阻尼振蕩法的Allan方差雙對數(shù)擬合圖Fig.4 Double logarithmic fitting of Allan variancebased on damped oscillation method

圖5 激光陀螺輸出數(shù)據(jù)的改進(jìn)Allan方差曲線Fig.5 Improved Allan variance curve of laser gyro output data

由上述兩種方法的擬合結(jié)果得到的快漂項和慢漂項及其展開得到的各子誤差項的結(jié)果如表1所示。

表1 兩種分析方法辨識結(jié)果的對比

表1中的Q、N、B、K和R分別為激光陀螺的量化噪聲項、隨機(jī)游走項、零偏不穩(wěn)定性項和角速率隨機(jī)游走項和速率斜坡項。Allan方差法是由經(jīng)典方差法經(jīng)恒等關(guān)系式推導(dǎo)出來的，其誤差項直接由辨識系數(shù)經(jīng)單位轉(zhuǎn)換得到，而改進(jìn)動態(tài)Allan方差法的誤差項是由擬合后得到的經(jīng)典方差系數(shù)a0～a4經(jīng)式(4)得到Allan方差系數(shù)，再由Allan方差系數(shù)經(jīng)單位轉(zhuǎn)換得到的。表1中的K項的辨識結(jié)果均為零，說明在此激光陀螺輸出的零偏信號中不存在馬爾科夫過程。N項和B項都很小，說明該激光陀螺的諧振腔的品質(zhì)較高。

在對表1結(jié)果的整體對比中可以看出，Allan方差法與改進(jìn)Allan方差法辨識出的快漂類和慢漂類漂移結(jié)果基本保持一致，只是在部分誤差項的辨識結(jié)果中，改進(jìn)動態(tài)Allan方差法的辨識結(jié)果顯得更為精細(xì)些。這是因為DAVAR是由多個固定長度的Allan方差所組成的，其擬合結(jié)果為多個Allan方差的擬合結(jié)果的平均，反映的是多次計算所得的各誤差系數(shù)的平均水平。因此，在隨機(jī)信號為平穩(wěn)信號的情況下，改進(jìn)動態(tài)Allan方差法的辨識結(jié)果就顯得更為精確些。

改進(jìn)Allan方差法的另一個優(yōu)勢是從它的分析圖中能夠觀察出隨機(jī)信號受污染的情況，特別是受溫度、濕度等環(huán)境干擾的情況。從圖5中可以看出，該隨機(jī)信號是較為平穩(wěn)的，受環(huán)境影響較小。

為了進(jìn)一步說明改進(jìn)Allan方差法對非平穩(wěn)信號的分析能力。本文通過溫箱控制激光陀螺的工作環(huán)境溫度變化，采集了近30h的激光陀螺零偏數(shù)據(jù)，為了提高改進(jìn)Allan方差法的運(yùn)行效率，對采集的激光陀螺零偏數(shù)據(jù)進(jìn)行了百秒平滑，平滑后的結(jié)果及溫箱溫度變化情況如圖6所示。

圖6 變溫環(huán)境采集的激光陀螺數(shù)據(jù)Fig.6 Laser gyro data collected in achanging temperature environment

由于圖6中的激光陀螺輸出信號為非平穩(wěn)信號，而Allan方差法只能對平穩(wěn)信號進(jìn)行辨識，因此本文僅給出了改進(jìn)Allan方差法的辨識結(jié)果。設(shè)定矩形窗口長度T為330，得到變溫環(huán)境下的激光陀螺零偏數(shù)據(jù)的改進(jìn)Allan方差如圖7所示。

圖7 變溫環(huán)境下激光陀螺數(shù)據(jù)的改進(jìn)Allan方差圖Fig.7 Improved Allan variance curve for laser gyrodata in changing temperature environment

從圖7中可以很清晰地看出動態(tài)誤差信號隨時間發(fā)生的周期性變化，即該方法能夠表現(xiàn)出激光陀螺的隨機(jī)誤差特性受溫度影響而變化所體現(xiàn)出的時變特性。因此，從上述對改進(jìn)Allan方差法的辨識和分析結(jié)果中可以看出，改進(jìn)Allan方差法對激光陀螺的誤差特性進(jìn)行辨識與分析是有效和可行的，不僅能夠?qū)す馔勇葺敵龅钠椒€(wěn)信號進(jìn)行辨識與分析，還能夠完成在變化環(huán)境下所采集到數(shù)據(jù)的非平穩(wěn)信號分析。

4 結(jié)論

傳統(tǒng)Allan方差法對各誤差項的分析存在不足，而阻尼振蕩方法在對各誤差項的分析較為合理，但其通過經(jīng)典方差法擬合的結(jié)果導(dǎo)致擬合精度稍差。因此，本文在阻尼振蕩法的基礎(chǔ)上引入了動態(tài)Allan方差法，將阻尼振蕩模型與動態(tài)Allan方差法模型結(jié)合起來進(jìn)行改進(jìn)，并給出了改進(jìn)Allan方差法的具體推導(dǎo)過程。通過實測的激光陀螺零偏數(shù)據(jù)對Allan方差法和改進(jìn)Allan方差法進(jìn)行了辨識結(jié)果的對比和分析。分析結(jié)果驗證了改進(jìn)Allan方差法的有效性和可行性。通過對變溫環(huán)境下的激光陀螺零偏數(shù)據(jù)進(jìn)行對比分析可知，改進(jìn)Allan方差法同時具備平穩(wěn)信號和非平穩(wěn)隨機(jī)信號的處理分析能力。

[1] 唐百勝，江騰飛. 基于貝葉斯理論的激光陀螺可靠性評估[J]. 導(dǎo)航與控制，2016,15(2): 51-56.

[2] 周冉輝. 艦用高精度激光陀螺慣導(dǎo)內(nèi)桿臂誤差分析及補(bǔ)償方法研究[J]. 艦船科學(xué)技術(shù)，2016,38(7): 120-123.

[3] 楊建強(qiáng)，劉燦，尹中鋒，等. 激光陀螺定位定向系統(tǒng)工作模式機(jī)理分析[J]. 激光與紅外，2017,47(3): 332-336.

[4] 李龍，梁可，陳林峰，等. 基于菲涅爾透鏡的零閉鎖激光陀螺抗輻照方案[J]. 中國慣性技術(shù)學(xué)報，2017,25(1): 115-118.

[5] 李漢舟. 基于激光捷聯(lián)慣導(dǎo)的實時高精度動態(tài)姿態(tài)測量系統(tǒng)研究[D]. 西安: 西北工業(yè)大學(xué)，2015.

[6] 楊鴻波，臧強(qiáng)，高晶敏，等. 四頻差動激光陀螺隨機(jī)誤差建模與濾波研究[J]. 壓電與聲光， 2015,37(4): 558-560.

[7] 魏建倉，郭岳山，劉東娜. 船用光學(xué)陀螺動態(tài)隨機(jī)誤差特性分析方法[J]. 水道港口，2016,37(6): 657-662.

[8] 張梅, 張文. 激光陀螺漂移的研究方法(一)[J]. 中國慣性技術(shù)學(xué)報, 2009,17(3): 210-213.

[9] 張梅, 張文. 激光陀螺漂移的研究方法(二)[J]. 中國慣性技術(shù)學(xué)報, 2009,17(3): 350-355.

[10] 魏國, 龍興武. 基于動態(tài)Allan方差的機(jī)抖激光陀螺隨機(jī)誤差研究[J]. 中國激光, 2010,37(12): 2975-2979.

[11] 張謙，王瑋，王蕾，等. 基于動態(tài)Allan方差的光纖陀螺隨機(jī)誤差分析及算法改進(jìn)[J]. 光學(xué)學(xué)報，2015,35(4): 57-63.

[12] 汪立新，朱戰(zhàn)輝，李瑞. 動態(tài)Allan方差改進(jìn)算法及其在FOG啟動信號分析中的應(yīng)用[J]. 紅外與激光工程, 2016 , 45(7): 261-268.

[13] 高伯龍, 王關(guān)根. 陀螺數(shù)據(jù)的數(shù)學(xué)處理[J]. 國防科學(xué)技術(shù)大學(xué)學(xué)報, 1979(1): 91-106.

[14] Galleani L， Tavella P. The dynamic Allan variance V: recent advances in dynamic stability analysis[J]. IEEE Transactions on Ultrasonics, Ferroelectrics, and Frequency Control, 2016,63(4): 624-635.

[15] Draganová K， Moucha V， Volěko T, et al. Non-stationary noise analysis of magnetic sensors using Allan variance[J]. Acta Physica Polonica A, 2017,131(4): 1126-1128.