周 林

（連云港開放大學(xué)學(xué)工處，江蘇連云港222006）

文獻(xiàn)［1］中討論了單位圓盤上從混合模空間到加權(quán)型空間的積分算子的有界性與緊性，文獻(xiàn)［2］中討論了單位球上從Zygmund空間到Bloch型空間的積分算子的有界性與緊性，文獻(xiàn)［3］中討論了單位球上Bloch型空間上積分算子的有界性與緊性，文獻(xiàn)［4］中討論了單位圓盤上有界解析函數(shù)空間與Bloch空間到Zygmund空間積分算子的有界性與緊性，文獻(xiàn)［5］中討論了單位圓盤上混合?？臻g到Bloch型空間的積分算子有界性與緊性.文獻(xiàn)［6］中討論了單位圓盤上混合?？臻g到Zygmund空間的加權(quán)微分復(fù)合算子的有界性與緊性，與文獻(xiàn)［6］不同，文中討論了混合?？臻g到Zygmund空間的積分算子的有界性與緊性.文中將要討論的算子定義如下.文中字母C是一個正常數(shù)，不同的地方可以不同.

1 預(yù)備知識

H（D）表示D上所有的解析函數(shù)的集合.對于0＜p,q＜∞，φ為正規(guī)函數(shù),若f∈H（D）且：

引理 1［6］設(shè) 0＜p,q＜∞，φ 是正規(guī)函數(shù)，f∈H（p，q，φ）,那么對于任意自然數(shù) n，存在一個與 f無關(guān)的正常數(shù)C，使得：

由M ont el定理及緊算子定義，可以得出下面的引理.

引理2設(shè),u∈H（D），φ是D上的解析自映射，0＜p,q＜∞，φ是正規(guī)函數(shù)，則算子是緊算子的充要條件是是有界算子且對于H（p，q，φ）中在D的緊子集上一致收斂于0的任意有界列

2 主要定理及證明

定理1設(shè)0＜p,q＜∞，φ是正規(guī)函數(shù)，u∈H（D）,φ是D上的解析自映射，則算子Cn，uφ:H（p，q，φ）→Z是有界算子的充要條件為：

證首先假設(shè)（1）,（2）成立，那么對于任意f∈H（p，q，φ），由引理1可得：

由上式兩式以及（3），（4）可知（1）,（2）成立.

證畢.

定理2設(shè)0＜p,q＜∞，φ是正規(guī)函數(shù)，u∈H（D）,φ是D上的解析自映射，則算子是緊算子的充要條件為是有界算子且：

由（7）～（10）可知當(dāng) i＞i0時，有：

在以上兩式兩邊令i→∞，可得：

故（5），（6）成立.

證畢.

［1］Stevic＇S.Generalized composition operators between mixed-norm and weighted-type spaces[J].Numerical Functional Analysis and Optimization,2008,29(7-8):959-978.

［2］Stevic＇S.On an integral operator from the Zygmund space to the Bloch-type space on the unit ball[J].Bull Science Mathematics,2010,134(4):329-339.

［3］Stevic＇S.On an integral operator between Bloch-type spaces on the unit ball[J].Glasg Mathematics,2009,51(2):275-287.

［4］LI Songxiao,Stevic＇S.Products of Volterra type operator and composition operator from and Bloch spaces to Zygmund spaces[J].Journal of Mathematics Analysis and Application,2008,345:40-52.

［5］曹成堂，黃興華.從混合?？臻g到加權(quán)Bloch空間的積分算子的有界性與緊性[J].淮海工學(xué)院學(xué)報（自然科學(xué)版）,2012,21(1):11-14.

［6］LIU Yongmin,YU Yanyan.Weighted differentiation composition Operators from mixed-norm spaces to Zygmund spaces[J].Numerical Functional Analysis and Optimization,2010,31(8):936-954.

［7］Abdul Quddus,Al-Hadhrami LM.The product of differentiation and multiplication operator from the mixed-norm to the Bloch-type space[J].Acta Mathematics Science,2012,32A（1）:68-79.