陳 唯

(復(fù)旦大學(xué) 物理系 物理實(shí)驗(yàn)教學(xué)中心，上海 200433)

1 實(shí)驗(yàn)方法與測(cè)量結(jié)果

把膠體溶液置于顯微鏡下，可觀察到膠體圖像. 連續(xù)拍攝膠體運(yùn)動(dòng)，通過(guò)計(jì)算機(jī)軟件可識(shí)別跟蹤顆粒，獲得典型的顆粒運(yùn)動(dòng)二維投影軌跡，如圖1所示. 圖1中，膠體直徑為1 μm，位移以μm為單位. 實(shí)心點(diǎn)為每個(gè)時(shí)刻的顆粒位置，以折線(xiàn)相連. 近鄰兩點(diǎn)的采樣時(shí)間間隔是0.2 s. 由圖1計(jì)算顆粒的平均平方位移(MSD)隨時(shí)間變化曲線(xiàn)，結(jié)果如圖2所示. 圖2中，黑色方形點(diǎn)和紅色菱形點(diǎn)分別代表x和y方向的平均平方位移分量的計(jì)算結(jié)果，兩者完全重合. 綠色三角點(diǎn)是二維平面上平均平方位移的測(cè)量結(jié)果，可對(duì)該曲線(xiàn)用式(1)擬合得到膠體擴(kuò)散系數(shù)的測(cè)量值. 通過(guò)線(xiàn)性擬合，可計(jì)算該曲線(xiàn)的斜率.

圖1 膠體顆粒運(yùn)動(dòng)的二維投影軌跡

圖2 平均平方位移(MSD)隨時(shí)間變化曲線(xiàn)

根據(jù)

〈r2〉=4Dt

(1)

得到膠體顆粒的擴(kuò)散系數(shù)D. (1)式中〈〉表示取系綜平均.

與愛(ài)因斯坦關(guān)系對(duì)比理論與測(cè)量值的差異，

(2)

分析具體實(shí)驗(yàn)條件對(duì)測(cè)量結(jié)果的影響. 式(2)中，η是水的黏度，a是膠體顆粒的半徑.

2 問(wèn)題和討論

2.1 為什么關(guān)心擴(kuò)散系數(shù)而非顆粒速度？

一般來(lái)說(shuō)，對(duì)于粒子運(yùn)動(dòng)體系人們第一個(gè)關(guān)心的參量通常是粒子的運(yùn)動(dòng)快慢. 在布朗運(yùn)動(dòng)里，用來(lái)刻畫(huà)運(yùn)動(dòng)快慢的物理量不是常用的速度，而是擴(kuò)散系數(shù).

先從數(shù)據(jù)出發(fā)，嘗試定義速度. 把圖1中的軌跡局部放大，取該粒子的軌跡片段如圖3實(shí)心點(diǎn)所示(圖3中藍(lán)色實(shí)心點(diǎn)的時(shí)間間隔是0.2 s，空心點(diǎn)的時(shí)間間隔是0.1 s).

十八世紀(jì)工業(yè)革命以來(lái)，電的發(fā)明具有劃時(shí)代的意義，電能也逐漸成為人類(lèi)生活和生產(chǎn)的最重要的能源之一。在全球化經(jīng)濟(jì)發(fā)展的背景下，伴隨著信息化時(shí)代的到來(lái)，我國(guó)電力事業(yè)的發(fā)展也在有條不紊地進(jìn)行著，而電網(wǎng)系統(tǒng)信息化運(yùn)營(yíng)也是電力發(fā)展的一個(gè)必要方向。我國(guó)電網(wǎng)企業(yè)正在努力建設(shè)“三集五大”體系，[1]這是電網(wǎng)企業(yè)信息化建設(shè)的重要戰(zhàn)略舉措，而運(yùn)監(jiān)系統(tǒng)是電網(wǎng)企業(yè)信息化建設(shè)的關(guān)鍵。此前電網(wǎng)運(yùn)營(yíng)監(jiān)測(cè)分析系統(tǒng)存在不完善、不可控、不能控的問(wèn)題，客戶(hù)對(duì)電能的需求和電力部門(mén)的服務(wù)標(biāo)準(zhǔn)也在不斷提高。因此，電網(wǎng)系統(tǒng)和電網(wǎng)企業(yè)必須針對(duì)原有運(yùn)監(jiān)系統(tǒng)應(yīng)用架構(gòu)進(jìn)行革新，以確保電網(wǎng)企業(yè)信息化建設(shè)目標(biāo)能夠順利實(shí)現(xiàn)。

圖3 膠體顆粒運(yùn)動(dòng)的二維投影軌跡

由此軌跡可定義在每個(gè)時(shí)間間隔內(nèi)的平均速度為v=〈r〉/dt，這里dt=0.2 s，r是在dt時(shí)間內(nèi)顆粒位移大小.

想象一下，另外1臺(tái)照相機(jī)也同時(shí)拍攝這個(gè)顆粒的運(yùn)動(dòng)，但是其照相速率增加1倍(dt=0.1 s)，則所得顆粒運(yùn)動(dòng)會(huì)如圖3中空心點(diǎn)連接的軌跡所示. 對(duì)于該軌跡用同樣方法計(jì)算每個(gè)時(shí)間間隔內(nèi)的平均速度. 根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊，所得的速度會(huì)有vdt=0.1 s

由圖4可見(jiàn)，平均位移隨時(shí)間間隔增大并非線(xiàn)性增大， 即該曲線(xiàn)的各處斜率并不一致，沒(méi)有辦法定義一致的運(yùn)動(dòng)速率. 對(duì)數(shù)據(jù)做具體擬合分析可發(fā)現(xiàn)，平均位移隨時(shí)間間隔滿(mǎn)足〈r〉～dt0.5(如圖4中實(shí)線(xiàn)所示). 由此擬合結(jié)果可知，隨時(shí)間間隔線(xiàn)性變化的空間物理量可以是〈r2〉. 所以好的表達(dá)顆粒運(yùn)動(dòng)快慢的物理量應(yīng)正比于〈r2〉/dt，該物理量的量綱是L2/T，即面積/時(shí)間，而非長(zhǎng)度/時(shí)間，這正是式(1)中引入的擴(kuò)散系數(shù)D.

圖4 平均位移〈r〉隨時(shí)間間隔dt的變化曲線(xiàn)(根據(jù)圖1計(jì)算)

從布朗粒子位移軌跡r(t)的特征本身也能看出為什么不能定義布朗粒子的瞬時(shí)速度. 速度的定義是位移的時(shí)間導(dǎo)數(shù)，這要求位移曲線(xiàn)是光滑的. 如圖1或圖3所示， 布朗粒子的軌跡在每一點(diǎn)上都不光滑. 因此處處不可導(dǎo)，自然也就沒(méi)有速度可言. 對(duì)這一點(diǎn)，后面會(huì)做更多討論.

2.2 擴(kuò)散系數(shù)D的物理意義

擴(kuò)散系數(shù)D的量綱是面積/時(shí)間. 那么D的物理意義是否的確是單位時(shí)間擴(kuò)散的面積呢？

想象把1滴墨水滴到了面巾紙上，墨點(diǎn)洇開(kāi)的過(guò)程可以看作墨水分子在二維空間擴(kuò)散的過(guò)程，如圖5所示.

圖5 墨點(diǎn)在紙上逐漸洇開(kāi)的過(guò)程

自然的想法是應(yīng)該計(jì)算每個(gè)時(shí)刻墨點(diǎn)的面積，然后看其隨時(shí)間的變化是否呈線(xiàn)性即可. 但實(shí)際做后就知道，這種方法的困難在于沒(méi)有好的辦法來(lái)計(jì)算墨點(diǎn)面積. 墨點(diǎn)的邊界是不整齊的，而具體到更精細(xì)的空間尺度上會(huì)更明顯看到墨水邊界處顏色是由濃到淡連續(xù)過(guò)渡，并沒(méi)有清晰邊界. 而墨水顏色的深淺對(duì)應(yīng)的是所在位置墨水分子的濃度. 由此本質(zhì)上刻畫(huà)墨水?dāng)U散程度的是墨水分子在空間的濃度分布，而非面積. 對(duì)于1個(gè)墨點(diǎn)，墨點(diǎn)顏色總是中間深，遠(yuǎn)處淺. 對(duì)應(yīng)于墨水分子的濃度中間高，遠(yuǎn)處低，同樣是中心對(duì)稱(chēng)的濃度分布.

我們可用膠體顆粒實(shí)驗(yàn)的數(shù)據(jù)重現(xiàn)這一過(guò)程. 找足夠多顆粒的軌跡，把所有顆粒的軌跡起點(diǎn)都平移到圓心. 可以計(jì)算在這些顆粒的空間分布隨時(shí)間的變化. 考慮到擴(kuò)散是各向同性的，對(duì)于圓對(duì)稱(chēng)的中心分布，可以只計(jì)算徑向上的分布. 實(shí)驗(yàn)上數(shù)據(jù)的計(jì)算結(jié)果如圖6所示,真實(shí)的計(jì)算方法里并不需要平移軌跡起點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn). 只要計(jì)算每時(shí)間間隔dt里顆粒的位移， 再對(duì)每個(gè)相同dt里的位移畫(huà)出直方圖.

圖6 膠體顆粒給定時(shí)間間隔的位移統(tǒng)計(jì)分布曲線(xiàn)

對(duì)圖6曲線(xiàn)擬合可知，這些分布曲線(xiàn)都滿(mǎn)足高斯分布：

(3)

圖7 平均平方位移〈r2〉隨時(shí)間變化曲線(xiàn)與擴(kuò)散圖像的對(duì)比圖

2.3 愛(ài)因斯坦關(guān)系：對(duì)擴(kuò)散系數(shù)的更多理解

半徑為a的小球在黏度為η的水中所受到的黏滯阻力F通常與小球的運(yùn)動(dòng)速度v成正比. 具體的表述由斯托克斯力描述，即

F=6πηav,

(4)

所以6πηa可以作為刻畫(huà)小球在水中的運(yùn)動(dòng)阻礙程度的參量. 與愛(ài)因斯坦關(guān)系[式(2)]相對(duì)比，可以看到膠體顆粒的擴(kuò)散系數(shù)D與6πηa成反比， 代表阻礙越大運(yùn)動(dòng)越慢.

式(2)中擴(kuò)散系數(shù)D與kBT成正比.kBT是水分子熱運(yùn)動(dòng)對(duì)應(yīng)的能量，對(duì)應(yīng)水分子對(duì)顆粒的驅(qū)動(dòng)程度. 溫度越高，驅(qū)動(dòng)程度越強(qiáng)，擴(kuò)散越快. 因此物理上愛(ài)因斯坦關(guān)系描述的是：布朗粒子的擴(kuò)散是系統(tǒng)中的驅(qū)動(dòng)kBT和阻礙6πηa兩者相互競(jìng)爭(zhēng)的結(jié)果.

初讀愛(ài)因斯坦關(guān)系可能產(chǎn)生的疑問(wèn)是：為什么這里沒(méi)有包含小球的質(zhì)量(或者密度). 式(2)的表達(dá)意味著只要是相同大小的鐵球和塑料球，它們的擴(kuò)散系數(shù)相同. 考慮到顆粒的布朗運(yùn)動(dòng)來(lái)源于水分子的撞擊，慣性質(zhì)量較大的鐵球應(yīng)該比慣性質(zhì)量較小的塑料球擴(kuò)散得慢才對(duì). 實(shí)驗(yàn)表明愛(ài)因斯坦關(guān)系是正確的：顆粒的擴(kuò)散系數(shù)只與顆粒大小有關(guān)，與顆粒質(zhì)量無(wú)關(guān). 考慮顆粒慣性質(zhì)量m的原始意義：物體維持自身運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的能力. 對(duì)于任何有慣性質(zhì)量的粒子，在足夠小的時(shí)間間隔dt前后(比如dt小于水分子的平均自由飛行時(shí)間)其速度變化一定是連續(xù)的. 在這樣的時(shí)間精度內(nèi)顆粒的位移軌跡也是連續(xù)的. 在這個(gè)時(shí)間尺度內(nèi)，粒子的運(yùn)動(dòng)服從彈道運(yùn)動(dòng)規(guī)律. 因此在短時(shí)間內(nèi)才需要考慮質(zhì)量和速度；長(zhǎng)時(shí)間后初始速度已經(jīng)被遺忘，這時(shí)需要考慮的是擴(kuò)散系數(shù). 這個(gè)遺忘時(shí)間可以按如下方法估算.

所以“布朗運(yùn)動(dòng)的質(zhì)量消失”問(wèn)題和最開(kāi)始的問(wèn)題“為什么布朗粒子不能定義速度”是聯(lián)系在一起的. 在較大的時(shí)間間隔下(時(shí)間間隔的大小是和粒子的特征時(shí)間τ相比)，粒子的初始速度被遺忘了，由此繪出運(yùn)動(dòng)的軌跡如圖1所示，處處連續(xù)但是處處不可導(dǎo)(這正是慣性質(zhì)量消失的特征). 普通物理力學(xué)教材中關(guān)于瞬時(shí)速度的定義是軌跡的時(shí)間一階導(dǎo)數(shù)，對(duì)于布朗粒子的軌跡(如圖1)處處為折線(xiàn)，既然到處不能求導(dǎo)，當(dāng)然也就不可能有好的速度的定義.

〈r2〉∝t2,

(5)

稱(chēng)為彈道運(yùn)動(dòng)部分. 所以完整的粒子運(yùn)動(dòng)方程用郎之萬(wàn)方程描述，即

(6)

一般的教科書(shū)在計(jì)算平均平方位移時(shí)把質(zhì)量項(xiàng)忽略掉，通過(guò)計(jì)算速度的自相關(guān)來(lái)得到[1].

圖8 平均平方位移隨時(shí)間變化曲線(xiàn)

3 結(jié) 論

本文從數(shù)據(jù)分析和物理圖像2個(gè)方面來(lái)解釋布朗運(yùn)動(dòng)的粒子運(yùn)動(dòng)快慢一般由擴(kuò)散系數(shù)來(lái)刻畫(huà)的原因及不選擇速度來(lái)刻畫(huà)的原因. 討論結(jié)果與愛(ài)因斯坦關(guān)系中并不出現(xiàn)粒子的質(zhì)量或是密度是一致的. 事實(shí)上只有在足夠小的觀測(cè)時(shí)間間隔內(nèi)才可以看到慣性質(zhì)量的貢獻(xiàn). 希望通過(guò)本文，讀者能夠建立起構(gòu)建系統(tǒng)特征參量來(lái)刻畫(huà)動(dòng)力學(xué)體系的概念. 這類(lèi)的系統(tǒng)特征參量一般是由體系里2個(gè)相互競(jìng)爭(zhēng)的因素相除得到，代表各自的消長(zhǎng)貢獻(xiàn). 如果這個(gè)系統(tǒng)特征參量的量綱是時(shí)間或是長(zhǎng)度，就會(huì)提供很好的時(shí)間或空間標(biāo)度.

[1] Risken H,Frank T. The Fokker-Planck equation: Methods of solutions and applications [M]. Berlin:Springer-Verlag, 2001.

[2] 丁望峰. 布朗運(yùn)動(dòng)仿真實(shí)驗(yàn)的設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn)[J]. 物理實(shí)驗(yàn)，2014，34(10)：38-40,44.