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        奇妙的自循環(huán)數(shù)

        2020-09-10 03:32:46黑馬三
        關(guān)鍵詞:定義探究

        黑馬三

        提起81這個(gè)數(shù),大家立刻能聯(lián)想到:乘法口訣表中最后一句9 × 9 = 81;我國四大名著之一《西游記》講述了唐僧師徒四人赴西天取經(jīng),途中經(jīng)歷九九八十一難,最終取得真經(jīng)的故事。而下面對81的介紹,則是出自數(shù)學(xué)家的眼光和剖析。

        兩位數(shù)81是一個(gè)奇妙的“自循環(huán)數(shù)”。它的特殊之處在于:81恰好等于它兩個(gè)數(shù)位上的數(shù)字8與1之和的平方,即81=(8 + 1)2。簡單直觀地表示,就是從81 → 8+l → (8+1)2 → 81,形成了一個(gè)“隱而再現(xiàn)”的循環(huán)圈。

        數(shù)學(xué)家們開始探尋其他具有類似特性的數(shù),并稱其為“自循環(huán)數(shù)”。其具體敘述如下: “自循環(huán)數(shù)”是指n位數(shù)N恰好等于它n個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和的n次方。顯然,81是一個(gè)兩位“自循環(huán)數(shù)”。除此之外,還有其他兩位“自循環(huán)數(shù)”嗎?

        根據(jù)定義不妨假設(shè): 所求的兩位數(shù)是N2,它的兩個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和為S2,則有S22 = N2;

        由S22是兩位數(shù)可知9

        因?yàn)?02 = 100,所以S2<10;又因?yàn)?2 = 9,所以S2>3。

        于是可知? 3

        對這六種可能逐一進(jìn)行計(jì)算檢驗(yàn),可知:

        42 = 16,1+6 ≠ 4;52 = 25,2+5 ≠ 5;

        62 = 36,3+6 ≠ 6;72 = 49,4+9 ≠ 7;

        82 = 64,6+4 ≠ 8;92 = 81,8+1 = 9。

        由此可知,兩位“自循環(huán)數(shù)”只有81這一個(gè)。

        同理可探究三位“自循環(huán)數(shù)”。

        根據(jù)定義假設(shè):所求的三位數(shù)是N3,它的三個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和為S3,則有S33 = N3;

        由S33是三位數(shù)可知99

        因?yàn)?03 = 1000,所以S3<10,又因?yàn)?3 = 64 < 99,所以S3>4;

        于是可知? 4

        對這五種可能逐一進(jìn)行計(jì)算檢驗(yàn),可知:

        53 = 125,1+2+5 ≠ 5;63 = 216,2+1+6 ≠ 6;

        73 = 343,3+4+3 ≠ 7;83 = 512,5+1+2 = 8;

        93 = 729,7+2+9 ≠ 9。

        由此可知,三位“自循環(huán)數(shù)”只有512這一個(gè)。

        而對于四位“自循環(huán)數(shù)”,有興趣的同學(xué)不妨自己探究一番。四位“自循環(huán)數(shù)”也是唯一的,那就是2401。至于此數(shù)從何而來,已經(jīng)無須贅述,你應(yīng)該懂得喲!

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