廣東省廣州市駿景中學(xué)(510630) 陳穗芳

一、寫在最前

美國數(shù)學(xué)家哈爾莫斯說:“數(shù)學(xué)真正的組成部分應(yīng)該是問題和解,問題才是數(shù)學(xué)的心臟.”好的數(shù)學(xué)問題可以幫助教師開展思維含量較高的數(shù)學(xué)課堂,可以幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)、理解數(shù)學(xué).數(shù)學(xué)問題把學(xué)習(xí)知識的過程變成分析和解決問題的過程,讓學(xué)生在問題中學(xué)習(xí)成長.這需要設(shè)置一些聚焦型的開放性問題,以通過師生的專注求索,形成深刻認(rèn)識.但目前數(shù)學(xué)教學(xué)中存在一種傾向特征:即針對該問題事先確定一個并且只有一個正確答案,問題的設(shè)計也要保證其答案正確或者錯誤,并且正確答案是唯一確定的,稱這類問題為“完整的”或“封閉”的問題,使得教師只能以“漏斗型”的提問來完成認(rèn)知任務(wù).與之相比,稱那些有多種正確答案的問題為“不完全”或“開放式”的問題,這類問題滲透在我們的身邊,可讓教師通過聚焦型提問,在教學(xué)中要求學(xué)生專心地考慮不同的方式方法,從而獲得某個問題的答案,而不僅僅是找出這個問題的答案.

由此思考,基于開放性問題的聚焦型提問的教學(xué)如何開展呢?以下基于教學(xué)實例進(jìn)行闡述.

二、為何開展聚焦型提問

問題開放后,強(qiáng)調(diào)的不再是問題的答案,而是獲得某個答案的方法,而且不僅僅是一種方法,而是多種不同的方法.黃榮金教授等在中美兩節(jié)同課異構(gòu)的課例進(jìn)行課堂提問的比較,發(fā)現(xiàn)提問總次數(shù)相當(dāng),中國課使用更多事實性提問獲得教師期望的答案,而美國課中使用更頻繁的推理性問題(中國11%,美國34%)來激發(fā)學(xué)生思考并表達(dá)他們的想法,提出更多開放性問題(中國7%,美國12%)來鼓勵探索.研究發(fā)現(xiàn),美國課中的數(shù)學(xué)交流更為充分.因此,教學(xué)過程中,有必要開展聚焦型的提問,結(jié)合學(xué)生的知識、技能或思維方式,使用多種正確的問題解答,為學(xué)生在過程中發(fā)現(xiàn)新的知識提供基礎(chǔ),以此培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí)、學(xué)會創(chuàng)新、學(xué)會思考方面展示其獨特作用.教師需要注意立足理解數(shù)學(xué),不預(yù)設(shè)期待給學(xué)生回答“對錯或是否”的問題,也盡量避免預(yù)設(shè)靠記憶描述數(shù)學(xué)事實或解題過程的事實性和程序性問題,而是尋找和預(yù)設(shè)有意義的具體問題,即期待讓學(xué)生自己提出問題或?qū)ψ约旱牟孪虢忉屨f明與解題的推理性問題.以一種聚焦數(shù)學(xué)問題的對話式互動,讓學(xué)生充分展示他們的思維過程,避免了單向傳遞數(shù)學(xué)信息和意義的漏斗式交流.

在基于聚焦型問題提問的教學(xué)中,根據(jù)教材的內(nèi)容和學(xué)生的認(rèn)知水平,教師為學(xué)生提供一種問題情景,在這情景中答案或解答不是唯一的,教師就利用這種解決問題的多樣性,促進(jìn)學(xué)生聯(lián)系所學(xué)的知識和技能,發(fā)揮已有的數(shù)學(xué)思維方式,培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造能力.同時,學(xué)生會更積極地參與到課堂教學(xué)中,并且經(jīng)常表達(dá)自己的想法,從內(nèi)心被動員起來論證自己解決問題的方式方法.

三、如何開展聚焦型提問

開放式問題教學(xué)中關(guān)鍵在于問題的提出,在構(gòu)建開放式問題要考慮兩個問題:一是有目的性,要明確通過問題想學(xué)生掌握什么.問題是否含有豐富的數(shù)學(xué)內(nèi)容、在數(shù)學(xué)上是否有價值?這個問題應(yīng)該是鼓勵學(xué)生從不同角度進(jìn)行思考.然而,單單做到這一點還不夠,問題還應(yīng)該含有豐富的數(shù)學(xué)內(nèi)容,使得成績好者和成績差者都能通過不同的方法解決這個問題,每種方法都要有數(shù)學(xué)價值.二是難易適度.要反對兩種傾向,過份追求難度和提一些毫無思考價值的問題.問題的數(shù)學(xué)水平是否適合學(xué)生?當(dāng)學(xué)生解決開放式問題時,他們需要使用以前學(xué)過的數(shù)學(xué)知識與技能.如果教師認(rèn)為這個問題超出學(xué)生的能力,就不應(yīng)該在班級中使用這個問題,或?qū)Υ俗餍薷?

基于這兩點考慮,以下列舉幾種不同類型的開放式問題教學(xué)活動設(shè)計.

(一)基于生活經(jīng)驗的問題設(shè)計

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一要求學(xué)生具備用數(shù)學(xué)思想方法分析和解決實際問題的基本能力,利用生活中的例子提出問題,可以擺脫數(shù)學(xué)的枯燥無味和呆板.通過問題情景設(shè)計,讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)、提出、分析和解決問題,同時讓學(xué)生知道學(xué)習(xí)新知識的必要性、重要性.

案例三角函數(shù)應(yīng)用的學(xué)習(xí),提出問題:如何去度量學(xué)校旗桿的高度?并結(jié)合所學(xué)數(shù)學(xué)知識說明理由.爬上去量,缺乏可操作性.再追問和思考討論,期間,老師經(jīng)常會得到意想不到的收獲,有學(xué)生提出先把旗桿拍成相片,利用比例來解決問題.也有學(xué)生提出構(gòu)造30°角或45°角的直角三角形,等等,學(xué)生找到很多方法,有可行的,也有不可行的.最后,在學(xué)生的這些方案中,教師引導(dǎo)他們把旗桿看作線段,進(jìn)行一般化而定構(gòu)造直角三角形,引入利用三角函數(shù)的方法.學(xué)生的智慧是無限的,利用生活問題引起學(xué)生學(xué)習(xí)的需要和產(chǎn)生解決問題的欲望,在可行性中發(fā)現(xiàn)好方法,發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的魅力和實用性.

(二)基于協(xié)作探究的問題設(shè)計

新課程標(biāo)準(zhǔn)理念下更加重視學(xué)生的自主學(xué)習(xí)和發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí),在課本的基礎(chǔ)上,在學(xué)生獨立自主學(xué)習(xí)討論為前提,在老師提供的充分自由空間中,通過探究發(fā)現(xiàn)、得到所學(xué)知識.

案例人教版八年級上冊的《三角形三邊關(guān)系》這節(jié)課,設(shè)計這樣一個探究活動,給每個學(xué)習(xí)小組四根長竹簽,分別長2cm、4cm、5cm、7cm,從中任意選取三條,動手試一試能否構(gòu)成三角形?

提問:通過試驗,你發(fā)現(xiàn)了什么?

學(xué)生通過動手操作,直觀發(fā)現(xiàn)并不是任意三條線段都能構(gòu)成三角形.

在此基礎(chǔ)上,進(jìn)一步追問:給定兩支長度分別是3cm和5cm竹簽,利用直尺探索第三條邊的長度范圍.(1)任選三個數(shù)分別作為第三邊長度,用直尺做實驗,判定能否構(gòu)成一個三角形?(2)設(shè)第三邊長為a,則能拼成三角形時,a的取值范圍是多少?

繼續(xù)追問:任意給三支竹簽,這三支竹簽要滿足什么樣的條件才一定能構(gòu)成一個三角形?

問題的設(shè)計,從三個定量,到兩個定量和一個變量,再到三個變量,層層遞進(jìn),從課堂現(xiàn)場效果看,用直尺代替牙簽作為第三邊探索,使學(xué)生從固定數(shù)值選擇轉(zhuǎn)向開放的數(shù)值選擇,從整數(shù)選擇拓展為小數(shù)的選擇,而減少牙簽數(shù)量也意味著減少實驗因誤差造成的錯誤結(jié)論,實施時,教師在黑板上畫出一條數(shù)軸,將實驗數(shù)值標(biāo)記,變?yōu)橐粋€更全面更開放的實驗,減少了以偏蓋全的可能性實驗結(jié)論.

(三)基于活用教材的問題設(shè)計

教材編寫方式給學(xué)生的思維帶來一定的局限性,教材歸根到底必須由教師自主編制或?qū)ΜF(xiàn)成教材的進(jìn)行再加工,這是一線教師擁有的權(quán)利.因此,可以根據(jù)學(xué)生的實際情況及認(rèn)知規(guī)律對教材進(jìn)行重組,設(shè)計問題.與其老師給學(xué)生一口一口的喂,不如把知識通過問題提供給學(xué)生,讓學(xué)生去“吃”,“吃”其能“吃”的;吃其想“吃”的;吃其沒“吃”過的;甚至是吃別人覺得“好吃”的.然后老師再幫助他們通過練習(xí),慢慢消化.通過教材重組,學(xué)生通過問題探究性的學(xué)習(xí),加強(qiáng)了研究性,同時滲透隱性目標(biāo),使知識更有系統(tǒng)性.

案例在講授《平行四邊形的性質(zhì)》時,按課本進(jìn)度需兩至三節(jié)課完成,每節(jié)課學(xué)習(xí)一種特征,然后是相關(guān)練習(xí),這種方式大大限制了學(xué)生的思維,為什么不能大膽的讓他們自己去發(fā)現(xiàn)特征呢?完全可以用一節(jié)課的時間讓學(xué)生通過自己畫圖探究出平行四邊形的所有特征,使學(xué)生在思維上有一個整體的認(rèn)識,并能產(chǎn)生一定的聯(lián)系,在接下來的兩節(jié)課中通過循環(huán)練習(xí),發(fā)現(xiàn)問題、解決問題、不斷加深鞏固.這樣充分激活了學(xué)生的思維,提高了學(xué)生綜合解題能力和判斷力,在今后遇到類似問題時,不再依賴他人,而是能做到自己給自己提出問題,自己給自己指明思考的方向.2015年廣州市中考第24題第一問,就是讓學(xué)生探究箏形對角線之間的位置關(guān)系,并證明結(jié)論.這與本節(jié)課的研究路線是相似的.

(四)基于思維發(fā)掘的問題設(shè)計

造成學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)困難之一是思維分散,不能很好形成一條思考的線索,“順藤摸瓜”的教學(xué)有助彌補(bǔ)學(xué)生這一劣勢.由教師通過問題提供“藤”,學(xué)生通過思考問題摸到“瓜”,問題串的設(shè)計則能更好的把一節(jié)課串聯(lián)起來.

案例人教版八年級上《全等三角形的判定》學(xué)習(xí)中,設(shè)計以下問題串,

問題1:怎樣的兩個三角形全等?

問題2:“重合”在兩個全等三角形中具體指的是什么?

問題3:三邊相等,三角相等能否簡化,如何用最少的等量判定兩個三角形全等?

三個問題的連續(xù)提出,為學(xué)生明確研究方向,即研究三角形的邊與角,也進(jìn)一步指明了研究的最終目標(biāo)是用最少的量判定全等.

問題串的引入,有助學(xué)生形成解決問題的思考路徑,這個方法同樣能用在九年級點與圓的位置關(guān)系學(xué)習(xí)中.學(xué)生學(xué)習(xí)了三種位置關(guān)系后,教師畫一個圓O和一個看似圓上的點A.

問題1:點A與圓O有什么位置關(guān)系?

問題2:肉眼無法準(zhǔn)確判斷,我們用什么方法能準(zhǔn)確判斷點A與圓O的位置關(guān)系?

問題3:位置關(guān)系可以通過研究數(shù)量關(guān)系,圖中有哪些量?

問題4:其中哪個是定量?哪個是變量?(圓心和半徑是定量,一個定點,一個定長r,點A是動點,一個變量d)

問題5:比較定量r與變量d,找出判斷點與圓的位置關(guān)系的方法.

這一問題串,不僅告訴學(xué)生如何判斷點與圓的位置關(guān)系,還引導(dǎo)學(xué)生思考了d的來源,為什么用比較d、r能判斷,也提供給學(xué)生一種數(shù)學(xué)的思維方法,即“定”與“變”的比較.

上述四點表明,在問題設(shè)計上需要重視問題與現(xiàn)實生活的聯(lián)系,重視問題探究的余地,重視學(xué)生通過問題思考獲得知識的過程體驗.對此,在實施時,活動的形式要多樣(類比、歸納、實驗等),學(xué)生活動時間、空間要松動,師生之間的互動形式要貼切、追求實效,教師要備各種可能性.同時要關(guān)注學(xué)生活動的狀態(tài),注意收集學(xué)生反饋的信息,根據(jù)學(xué)生的實際情況再次進(jìn)行適當(dāng)?shù)慕虒W(xué)活動改變.這樣可以真正的把課堂還給學(xué)生,充分調(diào)動了學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性和興趣.同時,體現(xiàn)了“以學(xué)生為主體,教師為主導(dǎo),發(fā)展為主線”的教學(xué)思想,以利于學(xué)生自主學(xué)習(xí)和思維的發(fā)展.

四、寫在最后

開放式問題是否包含某些導(dǎo)致未來數(shù)學(xué)發(fā)展的數(shù)學(xué)特征?在學(xué)生對開放式問題的各種回答中,有些回答可能與較高級的數(shù)學(xué)概念相聯(lián)系,或者能夠進(jìn)一步發(fā)展成高級數(shù)學(xué)思維.這些在教學(xué)過程設(shè)計中也需引起足夠重視.以解決問題為背景的開放式數(shù)學(xué)教學(xué),不僅僅使學(xué)生掌握數(shù)學(xué)知識,形成數(shù)學(xué)技能,培養(yǎng)思維能力,而且還使學(xué)生學(xué)會發(fā)現(xiàn)與創(chuàng)建新知識,進(jìn)行一定的創(chuàng)造性數(shù)學(xué)活動.

[1]邵瑞珍.學(xué)與教的心理學(xué)[M],上海:華東師范大學(xué)出版社,1990.

[2]黃榮金,吳平生,劉永東.相同課題,不同學(xué)習(xí)機(jī)會——基于中美兩節(jié)示范課的比較研究[J],數(shù)學(xué)教學(xué),2014,10:1-5+37.

[3]劉永東,“傾聽+串聯(lián)”的數(shù)學(xué)交流方法探析[J],中國數(shù)學(xué)教育,2017,11:3-6.