李亞帥， 邵宗凱

(昆明理工大學(xué) 信息工程與自動化學(xué)院，云南 昆明 650500)

0 引 言

三自由度直升機(jī)是一種雙引擎，雙旋翼縱列排布的直升機(jī)機(jī)型。由于其飛行速度較快，運(yùn)載量大，環(huán)境適應(yīng)能力強(qiáng)并且可以垂直升降的優(yōu)點(diǎn)，在軍事戰(zhàn)爭中起到極其重要的輸送作用[1]。針對三自由度直升機(jī)系統(tǒng)的特點(diǎn)，作為控制理論的優(yōu)良研究平臺，近年來備受相關(guān)學(xué)者的青睞。Ahsene Boubakir設(shè)計(jì)了一種自整定PID控制器[2]；Madhumita Pal運(yùn)用離散二階滑模觀測器對狀態(tài)和未知輸入估計(jì)進(jìn)行了討論[3]；Liu Hao等人設(shè)計(jì)了一個(gè)位置和姿態(tài)魯棒控制器[4]；曾誠進(jìn)行了離散動態(tài)分析[5]。

本文提出了一種將自適應(yīng)模糊 混合靈敏度魯棒控制方法，并在三自由度直升機(jī)系統(tǒng)上進(jìn)行了在線實(shí)驗(yàn)。

1 三自由度直升機(jī)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)組成和模型建立

1.1 結(jié)構(gòu)組成

三自由度直升機(jī)系統(tǒng)主要由底座、支撐桿、平衡桿、旋轉(zhuǎn)節(jié)點(diǎn)、平衡塊、2個(gè)無刷電機(jī)、前后2個(gè)固定螺旋槳翼、直升機(jī)本體、集電環(huán)和數(shù)據(jù)采集卡組成。其結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 三自由度直升機(jī)結(jié)構(gòu)

通過控制無刷電機(jī)電壓，驅(qū)動改變前后2個(gè)螺旋槳的轉(zhuǎn)速，從而使直升機(jī)本體圍繞高度軸、俯仰軸和旋轉(zhuǎn)軸進(jìn)行轉(zhuǎn)動。集電環(huán)和數(shù)據(jù)采集卡安裝在底座部位，保證直升機(jī)的轉(zhuǎn)動不受影響。

1.2 機(jī)理模型

三自由度直升機(jī)的運(yùn)動特性是圍繞3個(gè)旋轉(zhuǎn)軸根據(jù)牛頓力學(xué)原理分別建立微分方程進(jìn)行描述[6]。

當(dāng)前后2個(gè)螺旋槳產(chǎn)生的升力之和大于直升機(jī)本體的重力時(shí)，直升機(jī)向上運(yùn)動，反之向下運(yùn)動。當(dāng)前后2個(gè)螺旋槳產(chǎn)生升力差時(shí)，直升機(jī)本體圍繞俯仰軸進(jìn)行俯仰轉(zhuǎn)動。直升機(jī)在俯仰運(yùn)動時(shí)所產(chǎn)生的水平分量將產(chǎn)生一個(gè)力矩使本體圍繞旋轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動。

高度軸

(1)

俯仰軸

(2)

旋轉(zhuǎn)軸

(3)

2 控制器設(shè)計(jì)

2.1 自適應(yīng)模糊控制器設(shè)計(jì)

對于給定的n階非線性系統(tǒng)

(4)

式中x∈R為輸入；y∈R為輸出；u為控制律；f和g為非線性函數(shù)[7]。

設(shè)理想輸出為ym，令

e=ym-y=ym-x,e=(e,e1,e2,…,e(n-1))T

(5)

選取K=(kn,k(n-1),…,k1)，確保多項(xiàng)式s(n)+k1s(n-1)+…+kn的根都在復(fù)平面的左平面上。選擇轉(zhuǎn)動角度的控制律

(6)

由式(4)和式(6)得到閉環(huán)控制系統(tǒng)的方程

e(n)+k1e(n-1)+…+kne=0

(7)

若f(x)和g(x)已知，由于外界隨機(jī)擾動和系統(tǒng)存在未知參量，轉(zhuǎn)動角度的控制律較難實(shí)現(xiàn)，由文獻(xiàn)[8]提出的萬能逼近定理，可以用模糊系統(tǒng)(x|θf)和逼近f(x)和g(x)，θf和θg為構(gòu)造的模糊集。采用以下步驟進(jìn)行模糊系統(tǒng)的構(gòu)造：

1)對變量xi(i=1,2,…,n)，定義pi個(gè)模糊集合Ali(li=1,2,…,pi)。

(8)

(9)

(10)

(11)

采用模糊系統(tǒng)逼近f和g，控制律(6)變?yōu)?/p>

(12)

引入模糊向量η(x)，則有

(13)

設(shè)計(jì)如下自適應(yīng)律

(14)

(15)

式中γ1和γ2為正常數(shù)。

將式(12)帶入式(4)，可得到如下模糊控制控制系統(tǒng)的閉環(huán)動態(tài)方程

(16)

令

(17)

則動態(tài)方程(16)可以寫作向量式

(18)

設(shè)置最優(yōu)參數(shù)為

(19)

(20)

式中Ωf和Ωg分別為θf和θg的集合。

定義最小逼差誤差為

(21)

由式(13)、式(18)和式(21)可得閉環(huán)系統(tǒng)的動態(tài)方程

(22)

定義Lyapunov函數(shù)

(23)

式中γ1和γ2為正常數(shù);P為一個(gè)正定矩陣且滿足Lyapunov方程

ΛTP+PΛ=-Q

(24)

式中Q為任意n×n的正定矩陣;Λ已由式(17)給出。取

(25)

(26)

(27)

令

(28)

則式(22)變?yōu)?/p>

(29)

(30)

即

(31)

將自適應(yīng)律式(14)和式(15)代入式(31)，得

(32)

2.2 H∞混合靈敏度魯棒控制

2.2.1混合靈敏度

三自由度直升機(jī)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為[9]

(33)

標(biāo)準(zhǔn)H∞控制問題為通過設(shè)計(jì)一個(gè)控制器K(s)使得廣義被控對象G(s)穩(wěn)定，且某特定和的閉環(huán)性能指標(biāo)H∞范數(shù)取得極小值[10]。問題描述如圖2所示，圖中的w(s)為外部輸入信號，u(s)為控制輸入信號，y(s)為觀測量，z(s)為被控輸出信號。

圖2 標(biāo)準(zhǔn)H∞控制

H∞混合靈敏度魯棒控制的描述如圖3所示。圖中人r為參考輸入，e為跟蹤誤差，u為控制輸入，d為干擾輸入，y為系統(tǒng)輸出，WS為性能加權(quán)函數(shù)，WR為控制器輸出加權(quán)函數(shù)，WT為魯棒加權(quán)函數(shù)。

圖3 H∞混合靈敏度魯棒控制

從參考輸入r到跟蹤誤差e、控制輸入u和系統(tǒng)輸出y的閉環(huán)傳遞函數(shù)定義為

S(s)=(I+L(S))-1

(34)

R(s)=K(s)(I+L(s))-1

(35)

T(s)=I-S(s)

(36)

式中S(s)為靈敏度函數(shù)；T(s)為補(bǔ)靈敏度函數(shù)；R(s)為控制靈敏度函數(shù)；I=S(s)+T(s);L(s)=G(s)K(s)。

靈敏度函數(shù)S(s)的H∞范數(shù)越小，控制系統(tǒng)抑制干擾信號的能力就越強(qiáng)；補(bǔ)靈敏度函數(shù)T(s)的H∞范數(shù)越小，控制系統(tǒng)的魯棒性就越強(qiáng)[11]。而S(s)和T(s)互相矛盾，一者小，另一者就會大，為了選取合理的靈敏度函數(shù)，一般要求

(37)

2.2.2加權(quán)函數(shù)的討論

H∞魯棒控制理論是依托于頻域衍生而來，由伯德積分定理可知，很難在各個(gè)頻段選擇統(tǒng)一的指標(biāo)，來保證控制系統(tǒng)既能較好地跟蹤控制信號增加系統(tǒng)的抑制未知擾動的能力，又能增加控制系統(tǒng)的穩(wěn)定魯棒性[12]。這就要求矛盾加權(quán)函數(shù)的折中，性能指標(biāo)進(jìn)行重塑，尋求到最優(yōu)控制系統(tǒng)[13]。

為了保證系統(tǒng)能抑制存在于低頻段的干擾信號，使系統(tǒng)能夠有較強(qiáng)的抗干擾能力，一般WS在低頻段有較大的幅值。模型的未知函數(shù)一般由忽略高頻特征引起，故在高頻段必須保證WT幅值較大[14]。在確定了WS和WT后，WR一般選取適當(dāng)?shù)某?shù)，保證在中頻段，控制系統(tǒng)有較強(qiáng)的穩(wěn)定性和魯棒性。

3 實(shí)驗(yàn)和結(jié)果分析

取以下5種隸屬函數(shù)

用于逼近的模糊規(guī)則有25條，隸屬度函數(shù)如圖4所示。

圖4 xi的隸屬度函數(shù)

為了保證控制系統(tǒng)有較強(qiáng)的穩(wěn)定性和魯棒性的同時(shí)，在較大帶寬內(nèi)減少維數(shù)，保證信號的正常跟蹤，對于加權(quán)函數(shù)的選擇為

WR(s)=10-5

性能加權(quán)函數(shù)WS(s)和魯棒加權(quán)函數(shù)WT(s)的奇異值如圖5所示。從圖中可以看出：WS(s)在低頻段有較大的奇異值，即在低頻段WS(s)起主導(dǎo)作用，系統(tǒng)有較強(qiáng)的抗干擾能力；WT(s)在高頻段有較大的奇異值，即在高頻段WT(s)起主導(dǎo)作用，系統(tǒng)有較強(qiáng)的抵抗未知函數(shù)擾動的穩(wěn)定能力。故二者符合選擇要求。

圖5 加權(quán)函數(shù)奇異值

三自由度直升機(jī)系統(tǒng)的部分電氣參數(shù)如表1所示。

表1 三自由度直升機(jī)系統(tǒng)電氣參數(shù)

本文三自由度控制系統(tǒng)是基于MATLAB中的Simulink工具箱搭建。為了驗(yàn)證系統(tǒng)的穩(wěn)定性和魯棒性，加入圖6所示的干擾信號。

圖6 角度干擾信號

圖7為加入干擾信號后三自由度直升機(jī)系統(tǒng)，分別在所述的自適應(yīng)模糊H∞混合靈敏度魯棒控制下和基于LQR的PID控制下的飛行的實(shí)時(shí)輸出響應(yīng)對比圖。從圖中可以分析：2種控制方法都能使直升機(jī)穩(wěn)定運(yùn)行，但自適應(yīng)模糊H∞混合靈敏度魯棒控制方法具有更佳的控制效果。圖7(a)可以看出自適應(yīng)模糊H∞混合靈敏度魯棒控制下的系統(tǒng)收斂時(shí)間大幅縮短，且超調(diào)量較小。從圖(a)和(b)看出，在高度過度階段和加入干擾角度后，自適應(yīng)模糊H∞混合靈敏度魯棒控制有較強(qiáng)的擾動抑制能力，保證了直升機(jī)的平穩(wěn)飛行，也顯示了該控制方法增強(qiáng)了系統(tǒng)的穩(wěn)定性和魯棒性。

圖7 三自由度直升機(jī)系統(tǒng)輸出響應(yīng)對比

4 結(jié) 論

本文對三自由度直升機(jī)系統(tǒng)的飛行控制進(jìn)行了研究。針對系統(tǒng)的未知擾動，提出了自適應(yīng)模糊H∞混合靈敏度魯棒控制方法，用間接自適應(yīng)模糊理論在線逼近了非線性模型的未知參數(shù)，通過獲取適當(dāng)?shù)募訖?quán)函數(shù)對直升機(jī)進(jìn)行了H∞混合靈敏度優(yōu)化，用Laypunov證明了系統(tǒng)的全局穩(wěn)定性。通過與基于LQR的PID控制方法進(jìn)行的對比實(shí)驗(yàn)表明：2種方法都有較好的控制效果，但是自適應(yīng)模糊H∞混合靈敏度魯棒控制方法縮短了系統(tǒng)的響應(yīng)時(shí)間，減少了系統(tǒng)的跟蹤誤差，降低了超調(diào)量，并且減少了外界攝動，有很強(qiáng)的穩(wěn)定性和魯棒性。

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