李雨眠

摘要：我們?cè)诟咧袑W(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程中，反證法是作為一種特殊的解題技巧來(lái)使用的，通過(guò)對(duì)反證法的學(xué)習(xí)和研究，了解了反證法的使用方法以及使用的情形，并引發(fā)了本人對(duì)反證法的思考和總結(jié)。本文簡(jiǎn)單的介紹了反證法的概念，邏輯特點(diǎn)，重點(diǎn)分析了反證法的使用技巧。

關(guān)鍵詞：反證法；邏輯特點(diǎn)；技巧；數(shù)學(xué)

一、反證法的概述

反證法，又稱背理法，即假設(shè)原命題結(jié)論的不成立，然后從這個(gè)假設(shè)開始，根據(jù)題中給出的條件，進(jìn)行論證，最后推出與原命題相悖的結(jié)果。反證法最重要的部分在于歸謬，根據(jù)假設(shè)的情況的多少，反證法可以分為兩類，即歸謬反證法和窮舉反證法，歸謬反證法是結(jié)論的反面只存在一種情況，而窮舉反證法是結(jié)論的反面不單單只有一種情況。

二、反證法的邏輯特點(diǎn)

間接證明是反證法的邏輯特點(diǎn)，它從命題結(jié)論的反面對(duì)命題進(jìn)行論證，通常第一步是假設(shè)原命題的不成立，第二步是從結(jié)論出發(fā)，推理論證，得出矛盾，最后得出假設(shè)不成立，肯定原命題正確的結(jié)論，是一種逆向思維的證明方式，間接證明是相對(duì)直接證明來(lái)說(shuō)的，當(dāng)我們遇到某一道數(shù)學(xué)題時(shí)，若我們很難用直接證明，從已知推出結(jié)論，那么，假設(shè)結(jié)論，由結(jié)論推出，也未嘗不是一種好的方法，這樣數(shù)學(xué)問(wèn)題就會(huì)變得簡(jiǎn)單、明了。在解數(shù)學(xué)題的過(guò)程中，常使用反證法證明，不僅能夠提高學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)，鞏固學(xué)生的所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)，而且能夠培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思辨能力，對(duì)學(xué)生的長(zhǎng)遠(yuǎn)發(fā)展有著重要的影響。

三、反證法的使用技巧

1、證明結(jié)論反面比結(jié)論更為簡(jiǎn)單。正如一句古話說(shuō)的好，正難則反，當(dāng)一個(gè)事情的正面很難得到證明時(shí)，那么從事情的反面進(jìn)行證明會(huì)更容易一些，而在數(shù)學(xué)中，反證法一般用于條件不是特別多，關(guān)系不是特別容易把握時(shí)，從反面證明比較容易上手的情況。

例如，在平面和直線相交的證明題中，求證：若兩條平行直線a，b中的一條與平面m相交，則另一條也與平面m相交。

證明：不妨假設(shè)直線a與平面m相交，b與a平行，從而證明b也與平面m相交，假設(shè)b不與平面m相交，則必有兩種情況：

（1）b在平面m內(nèi)，因?yàn)閍//b，a不在平面m，所以a//平面m，與題設(shè)矛盾。

（2）b//平面m，則平面m內(nèi)有直線b1，使b//b1.因?yàn)閍//b，所以a//b1，因?yàn)閍不存在平面m，這與題設(shè)矛盾。所以，b與平面m只能相交。

在這道題中，直接證明直線與平面相交是比較困難的，然而運(yùn)用反證法，通過(guò)假設(shè)，對(duì)命題的證明就比較容易。

2、證明結(jié)論中出現(xiàn)“至少、至多、唯一、不能同時(shí)等字樣的命題。當(dāng)一個(gè)命題中出現(xiàn)至少、至多、唯一、不能同時(shí)的字樣時(shí)，直接證明會(huì)比反證法困難。當(dāng)題目中出現(xiàn)“不能同時(shí)”的情況時(shí)，采用直接證明會(huì)出現(xiàn)一個(gè)、兩個(gè)、三個(gè)等不同的情況，而采用反證法，否定結(jié)論，就是“同時(shí)存在多種相同情況“，這樣證明起來(lái)就方便很多了。因此，在做題中要特別注意命題中出現(xiàn)至多……，不都……、都不……、沒(méi)有……，不能同時(shí)……等關(guān)鍵性詞語(yǔ)。

例如，若0

證明：因?yàn)?0

同理，4-b>0，4-c>0

假設(shè)（4-a）b，（4-b）c，（4-c）a，同時(shí)大于2

即（4-a）b>2，（4-b）c>2，（4-c）a>2

由①+②+③得，6>6，矛盾

所以假設(shè)不成立，所以（4-a）b，（4-b）c，（4-c）a，不能同時(shí)大于2。

四、反證法應(yīng)當(dāng)注意的問(wèn)題

在運(yùn)用反證法的過(guò)程中，我們應(yīng)當(dāng)注意一些問(wèn)題，主要是以下幾點(diǎn)：

1、我們要正確的分清題中的條件和結(jié)論，并正確的否定命題中的結(jié)論，正確的否定結(jié)論是證明結(jié)論成功的第一步，因?yàn)橹挥性诖_定大前提正確的前提下，才能確保接下來(lái)推理的正確。

2、在推理的過(guò)程中，要運(yùn)用題中的條件，形成清晰的邏輯推理過(guò)程，并保證正確無(wú)誤，正確的推理過(guò)程是一道題中最重要的部分，它包含了做題者的思想和邏輯推理能力，是做題者思維和意識(shí)的的表達(dá)。

3、得出正確的結(jié)論。在反證法的推理過(guò)程中，不同的題型會(huì)有不同的結(jié)論，我們要做好的就是分清不同的矛盾種類，進(jìn)而得出不同的結(jié)論。這樣，一道數(shù)學(xué)題才能算是完整的解答出來(lái)，在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程中，我們需要的是百倍的耐心和細(xì)心，因?yàn)?，?shù)學(xué)本身是一門非常嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)科，它容不得絲毫的馬虎，正如，用反證法證明習(xí)題時(shí)，習(xí)題的每一步都需要仔仔細(xì)細(xì)的進(jìn)行計(jì)算，每一個(gè)小數(shù)點(diǎn)或者符號(hào)，都要標(biāo)在它應(yīng)該存在的位置上，只有這樣才能保證最后得出的結(jié)論的正確。也只有這樣我們才能在數(shù)學(xué)上取得成就。

五、結(jié)語(yǔ)

反證法在數(shù)學(xué)證明題中是非常常見(jiàn)的一種證明手法，然而它的運(yùn)用不單單只局限于數(shù)學(xué)中，在生活中，我們也可以看到它的影子，當(dāng)我們路過(guò)一家餐廳判斷餐廳的食物的好壞，可以從餐廳的生意來(lái)判斷，假設(shè)餐廳的食物很難吃，那么一定沒(méi)有顧客，而餐廳卻是人滿為患，于是矛盾，所以假設(shè)不成立，所以餐廳的飯好吃。筆者作為高中生，通過(guò)對(duì)高中反證法的學(xué)習(xí)和了解，進(jìn)而思考了反證法在其他科目中的運(yùn)用，并做了深入的研究和分析。反證法對(duì)于數(shù)學(xué)中的問(wèn)題的解決是至關(guān)重要的，學(xué)好反證法，可以化繁為簡(jiǎn)，很好的解決一些復(fù)雜的難題。作為高中生來(lái)說(shuō)，熟悉的掌握反證法，在一些數(shù)學(xué)的證明過(guò)程能夠比較得心應(yīng)手的運(yùn)用它，這樣我們?cè)谟龅絾?wèn)題時(shí)，就能夠靈活的準(zhǔn)確的解決難題，提高我們的學(xué)習(xí)能力。然而，反證法的學(xué)習(xí)是不易的，因此，在學(xué)習(xí)反證法的過(guò)程中，要好好學(xué)習(xí)，勤于思考，只有這樣，我們才能理解它，掌握它，并且正確的運(yùn)用它。

參考文獻(xiàn)

[1] 李丹丹.反證法在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用[J] 鞍山市信息工程學(xué)校.2013，（3）.

[2] 王業(yè)雙.淺談反證法的原理及在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用[J].教育教學(xué)論壇.2014，（2）.