雷 蕾，朱加發(fā)，周 茵，王懷相

（1.中國鐵道科學(xué)研究院研究生部，北京 100081；2.中國鐵道科學(xué)研究院運(yùn)輸及經(jīng)濟(jì)研究所，北京100081）

0 引言

隨著鐵路市場化改革進(jìn)程的推進(jìn)，高速動車組列車實(shí)行市場化定價(jià)成為必然趨勢。自 2016 年 1 月1 日起高速鐵路動車組列車票價(jià)放松管制以來，除新建客運(yùn)專線實(shí)行新運(yùn)價(jià)外，中國鐵路總公司對已經(jīng)開通的海南環(huán)島高速鐵路及東南沿海高速鐵路動車組列車票價(jià)進(jìn)行了調(diào)整，但總體票價(jià)改革較為緩慢。2017 年 4月，中國鐵路總公司下發(fā)的《中國鐵路總公司關(guān)于建設(shè)京滬高鐵標(biāo)準(zhǔn)示范線的指導(dǎo)意見》提出：有序推進(jìn)京滬高速鐵路標(biāo)準(zhǔn)示范線建設(shè)，努力創(chuàng)建世界一流水平高速鐵路。京滬高速鐵路應(yīng)充分利用國家對高速鐵路票價(jià)管理的新政策，加強(qiáng)市場化定價(jià)理論研究，建立市場化票價(jià)體系，有利于提升高速鐵路競爭力、增加鐵路運(yùn)營效益，為高速鐵路票價(jià)市場化提供研究支撐。

目前我國學(xué)者對鐵路定價(jià)方法的研究多數(shù)從運(yùn)輸企業(yè)角度出發(fā)，以提高企業(yè)盈利水平為目標(biāo)，其中雙層規(guī)劃模型在旅客運(yùn)輸定價(jià)方面的理論研究取得一定成效。四兵鋒等[1]建立了以運(yùn)輸企業(yè)利潤最大化和旅客廣義出行費(fèi)用最小化為上下層的雙層規(guī)劃模型，通過啟發(fā)式靈敏度分析法求解，并輔以算例驗(yàn)證了模型的有效性。陳建華等[2]為解決不同速度等級普通旅客列車及其他交通運(yùn)輸方式的競爭對客運(yùn)專線的影響，構(gòu)建了具有彈性需求特點(diǎn)的雙層規(guī)劃模型并對其進(jìn)行求解。劉玉敬[3]通過測算運(yùn)輸市場細(xì)分條件下的不同旅客廣義出行費(fèi)用，構(gòu)建了基于旅客出行選擇行為的高速鐵路客票定價(jià)模型，并驗(yàn)證了模型的有效性和合理性。劉立榮[4]通過對傳統(tǒng)客票定價(jià)方法的優(yōu)劣進(jìn)行分析，結(jié)合旅客時(shí)間價(jià)值因素構(gòu)建定價(jià)模型，以京津城際鐵路、武廣客運(yùn)專線、京滬高速鐵路為例進(jìn)行實(shí)證研究。程謙[5]運(yùn)用雙層規(guī)劃模型優(yōu)化城際動車組列車客票價(jià)格，對滬寧城際鐵路日收益率進(jìn)行了計(jì)算。袁任[6]基于不同停靠站方案、旅客到達(dá)率和客票銷售規(guī)則等因素，以企業(yè)收益最大化為上層、Logit 模型選擇客流分配為中層和客票銷售規(guī)則流程為下層建立三層規(guī)劃優(yōu)化模型，進(jìn)行模型求解的同時(shí)檢驗(yàn)算法的收斂性及穩(wěn)定性。姜達(dá)[7]從不同運(yùn)輸方式旅客票價(jià)、客運(yùn)收入和客運(yùn)量的角度出發(fā)，建立雙層規(guī)劃票價(jià)優(yōu)化模型，并采用改進(jìn)粒子群的雙層迭代算法對模型進(jìn)行求解。為此，基于市場環(huán)境下不同運(yùn)輸方式之間的競爭，采用雙層規(guī)劃模型對京滬高速鐵路市場化定價(jià)進(jìn)行實(shí)證分析，并提出相關(guān)發(fā)展建議。

1 高速鐵路旅客票價(jià)制定雙層規(guī)劃模型的建立

雙層規(guī)劃模型考慮了上下層決策者在追求利益過程中的作用及表現(xiàn)，并依據(jù)對方的反應(yīng)而做出決策。其中，運(yùn)輸企業(yè)為上層決策者，旅客為下層決策者。運(yùn)輸企業(yè)可以通過政策或管理改變服務(wù)和運(yùn)輸成本來影響旅客的出行選擇行為，基于運(yùn)輸企業(yè)和旅客 2 個(gè)方面分析，采用雙層規(guī)劃模型對旅客票價(jià)制定過程進(jìn)行描述，得出運(yùn)輸企業(yè)在供需均衡狀態(tài)的最優(yōu)票價(jià)。

1.1 模型構(gòu)建

雙層規(guī)劃模型包含上、下 2 層規(guī)劃模型，其中上層問題是以下層問題為約束條件的規(guī)劃問題。針對運(yùn)輸定價(jià)問題，上層規(guī)劃模型可以描述為不同運(yùn)輸方式的企業(yè)運(yùn)營效益最大化，下層規(guī)劃模型可以描述為不同運(yùn)輸方式均衡配流狀態(tài)下的旅客廣義出行費(fèi)用最小化。其中，以運(yùn)輸企業(yè)效益最大化為目標(biāo)函數(shù)的上層規(guī)劃模型[8]為

式中：R為各種運(yùn)輸方式的運(yùn)營總利潤；qk為第k種運(yùn)輸方式的客運(yùn)量；pk為第k種運(yùn)輸方式的票價(jià)；ck為第k種運(yùn)輸方式的單位旅客運(yùn)輸成本；pkmin，pkmax分別為旅客運(yùn)輸?shù)钠骄鶈挝贿\(yùn)輸成本和最高限價(jià)；k為旅客運(yùn)輸方式；K為不同交通運(yùn)輸方式的集合。

旅客在實(shí)際出行過程中，總是愿意選擇廣義費(fèi)用最小的出行方式，最終達(dá)到用戶均衡狀態(tài)[9-10]，則基于旅客選擇行為的下層規(guī)劃模型為

式中：Z為 OD 間不同運(yùn)輸方式下的旅客廣義出行費(fèi)用之和；f(x) 為 OD 間第k種運(yùn)輸方式的廣義費(fèi)用函數(shù)；Qk為 OD 間不同運(yùn)輸方式的總客運(yùn)量。

采用對數(shù)函數(shù)形式描述廣義費(fèi)用函數(shù)[11]

式中：Vk第k種交通運(yùn)輸方式能夠觀測到的效用值。

影響旅客出行方式選擇的因素較多，主要有經(jīng)濟(jì)性、快速性、便捷性、舒適性、安全性、準(zhǔn)時(shí)性及個(gè)人偏好等。由于準(zhǔn)時(shí)性和個(gè)人偏好等因素對效用值影響較小，而且難以量化，因而主要考慮前 5個(gè)因素對廣義費(fèi)用的影響。經(jīng)濟(jì)性費(fèi)用為旅客出發(fā)和達(dá)到城市市內(nèi)銜接交通工具，以及 OD 間所選交通方式的費(fèi)用之和；快速性費(fèi)用為旅客乘坐第k種交通工具過程中所花費(fèi)的時(shí)間乘以旅客的平均單位時(shí)間價(jià)值；便捷性費(fèi)用主要考慮旅客在選擇某種運(yùn)輸方式過程中乘坐市內(nèi)銜接交通工具時(shí)間、購票時(shí)間、車站排隊(duì)等待時(shí)間、不同交通運(yùn)輸方式之間的中轉(zhuǎn)時(shí)間及列車開行密度等因素；舒適性費(fèi)用表現(xiàn)為不同運(yùn)輸方式旅客恢復(fù)疲勞所需時(shí)間與旅客時(shí)間價(jià)值的乘積；安全性效用為影響效用函數(shù)整體的因素，采用乘法原則表示，當(dāng)安全性與其他服務(wù)屬性同時(shí)較優(yōu)時(shí)，總體效用才表現(xiàn)最優(yōu)。不同運(yùn)輸方式的可觀測費(fèi)用是效用函數(shù)值的相反數(shù)。

因此，建立的可觀測費(fèi)用函數(shù)形式為

式中：ω1，ω2，ω3，ω4分別經(jīng)濟(jì)性、快速性、便捷性和舒適性的權(quán)重系數(shù)；Pk，F(xiàn)k，Tk，Ak和Sk分別表示經(jīng)濟(jì)性費(fèi)用、快速性費(fèi)用、便捷性費(fèi)用、舒適性費(fèi)用和安全性效用。

OD 間的客運(yùn)需求量受城市發(fā)展水平、人口規(guī)模、居民收入水平等因素影響，通常采用的需求函數(shù)形式如下。

式中：Qmax為 OD 間客運(yùn)需求總量；AO，BD是 OD點(diǎn)兩端節(jié)點(diǎn)的相關(guān)參數(shù)；h(μ) 是關(guān)于旅客出行費(fèi)用μ的單調(diào)遞減函數(shù)。

1.2 模型轉(zhuǎn)化

上層規(guī)劃模型考慮了不同運(yùn)輸方式客運(yùn)市場需求的分擔(dān)模式，可以用來解決 OD 間不同運(yùn)輸方式單一運(yùn)營企業(yè)客運(yùn)產(chǎn)品的定價(jià)問題，因而客運(yùn)市場中第k種運(yùn)輸方式下運(yùn)輸企業(yè)總的利潤為

式中：Rk為 OD 間第k種運(yùn)輸方式的運(yùn)營總利潤。

旅客出行需求總量總是隨著廣義費(fèi)用的變化而變化，但其大小受各種運(yùn)輸方式運(yùn)輸能力的限制，考慮該需求彈性問題，則下層規(guī)劃模型可以轉(zhuǎn)化為具有能力約束的需求彈性模型。

式中：D-1(x) 為需求函數(shù)的反函數(shù)；Ck為第k種交通運(yùn)輸方式的運(yùn)輸能力。

通過引入超量需求法，將原彈性需求問題轉(zhuǎn)換為固定需求問題[12]。假設(shè)Qmax表示參與市場競爭的各種運(yùn)輸方式的運(yùn)輸能力之和，空余能力e可以表示為

通過定積分換元法[13]可以將下層旅客選擇目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)換為

擴(kuò)展反函數(shù)D-1(Q)，建立超量變量e的廣義費(fèi)用函數(shù)R(e)

結(jié)合擴(kuò)展函數(shù)，目標(biāo)函數(shù)最終改進(jìn)為

假設(shè)在 OD 點(diǎn)之間增設(shè)一條虛擬運(yùn)輸方式，且客流量為e，則參與競爭的運(yùn)輸方式由K種增加為K+ 1 種，當(dāng)各種運(yùn)輸方式之間的客流量達(dá)到均衡狀態(tài)時(shí)，其目標(biāo)函數(shù)可以表示為

通過對上述模型進(jìn)行求解，即可獲得在既定決策目標(biāo)下的高速鐵路最優(yōu)票價(jià)。

2 高速鐵路旅客票價(jià)制定雙層規(guī)劃模型求解

利用靈敏度分析法求解雙層規(guī)劃模型，將下層決策變量對上層決策變量的反應(yīng)函數(shù)q(p) 進(jìn)行簡化，對不同交通運(yùn)輸方式客運(yùn)量與旅客票價(jià)進(jìn)行求導(dǎo)，并通過泰勒展開式對反應(yīng)函數(shù)進(jìn)行線性近似，進(jìn)而求解雙層規(guī)劃模型。

首先將雙層規(guī)劃下層模型中的用戶均衡配流問題通過變分不等式[12]表示。

式中：q∈ {q|Q=HTq，q≥0}；HT為關(guān)聯(lián)矩陣；q*表示下層規(guī)劃模型的均衡解。

將旅客票價(jià)p作為變分不等式的擾動項(xiàng)，同時(shí)其他影響因素如快速性、舒適度、便捷性等均保持不變。q*(p) 為p的函數(shù)，將其轉(zhuǎn)化為

式中：所有q∈ (q(p) |Q=HTq(p)，q(p)≥0)。

如果變分不等式在p=p(0)時(shí)有唯一解，此時(shí)引入拉格朗日乘子向量μ，則p=p(0)時(shí)的必要條件為

令y(p) = [q*(p)，μ(p)]T，用Jy(p) 表示對于p的雅各比矩陣，則有

假設(shè)p*1(0)為 OD 對間鐵路旅客票價(jià)的初始值，且其他交通運(yùn)輸方式的票價(jià)為固定不變，即可以通過對下層模型求解得到 OD 對間鐵路旅客運(yùn)量q*1(0)(p*1(0))，并求出鐵路客運(yùn)量對票價(jià)的偏導(dǎo)數(shù)?q1/ ?p1，通過泰勒展開式即可得到反應(yīng)函數(shù)q(p) 的線性近似形式。

將其代入上層規(guī)劃模型，則上層問題轉(zhuǎn)化成為非線性優(yōu)化問題，上層問題的最優(yōu)解即最優(yōu)票價(jià)。

模型求解具體步驟如下[14]。

步驟 1：初始化。確定各運(yùn)輸方式的初始票價(jià){pk(0)|k∈K+ 1}、廣義費(fèi)用函數(shù)相關(guān)參數(shù)、虛擬運(yùn)輸方式的反需求函數(shù)形式、平均客運(yùn)成本和需求上限Qmax等，并記迭代次數(shù)j= 0，設(shè)定迭代精度ε*。

步驟 2：在 {pk(j)|k∈K+ 1} 的條件下 (虛擬運(yùn)輸方式無需定價(jià))，求解下層規(guī)劃模型，得到客運(yùn)量分配方案 {|k∈K+ 1}，包括用戶均衡配流模型的均衡解{}。

步驟 3：用靈敏度分析法求出第k種運(yùn)輸方式的客運(yùn)量對擾動參數(shù) (鐵路客運(yùn)價(jià)格) 的導(dǎo)數(shù) ?qk/ ?pk(k∈K+ 1)，求出反應(yīng)函數(shù)的線性近似表達(dá)式。

步驟 4：將反應(yīng)函數(shù)代入上層規(guī)劃模型，采用非線性優(yōu)化求解算法得到新的鐵路客運(yùn)價(jià)格{p1(j+1)|k∈K+ 1}，求解時(shí)需避免所求解為上層目標(biāo)函數(shù)的局部最優(yōu)解。

步驟 5：收斂判斷。若 |p1(j+1)-p1(j)|≤ε*，滿足迭代精度要求，則算法停止；否則令j=j+ 1，返回步驟 2 繼續(xù)迭代，直至滿足迭代精度要求。

3 實(shí)例分析

以京滬高速鐵路 (北京南—上海虹橋) 為例，通過雙層規(guī)劃模型對市場競爭條件下的高速鐵路票價(jià)制定過程進(jìn)行探討，對其二等座執(zhí)行票價(jià)水平進(jìn)行測算?？紤]該 OD 間主要存在高速鐵路、普通旅客列車、民航 3 種運(yùn)輸方式的競爭，各運(yùn)輸方式的旅客廣義費(fèi)用函數(shù)形式f(qk) 為

式中：k= 1，2，3，分別代表高速鐵路、普通旅客列車和民航 3 種運(yùn)輸方式；β為待定參數(shù)，Vk為第k種交通運(yùn)輸方式的效用函數(shù)。

假設(shè) OD 間總運(yùn)輸需求量上限已知且為固定值，且普通旅客列車和民航票價(jià)水平及服務(wù)屬性不變，各種交通運(yùn)輸方式的屬性參數(shù)如表1 所示。

表1 各種交通運(yùn)輸方式的屬性參數(shù)Tab.1 Attributes parameters for different transport modes

其中，p1為高速鐵路單位里程運(yùn)價(jià)率，其范圍為 0.308 6～0.73 元/人公里，0.308 6 元/人公里為速度 200 km/h 動車組列車二等座公布票價(jià)率，0.73元/人公里取全路高速鐵路最高運(yùn)價(jià)率，即廣深鐵路單位里程運(yùn)價(jià)率；以無空調(diào)普通旅客列車硬座票價(jià)率 0.058 61 元/人公里為基準(zhǔn)，北京至上海特快空調(diào)列車硬座票價(jià)水平為 177.5 元；民航票價(jià)為中國國際航空公司、中國東方航空公司和中國南方航空公司三大航空公司北京至上海 2017 年 11 月經(jīng)濟(jì)艙最低平均票價(jià) 645.25 元 (含國內(nèi)航線機(jī)場建設(shè)費(fèi) 50元)；北京至上海高速鐵路、普通旅客列車及民航平均花費(fèi)時(shí)間分別為 5.52 h、15.13 h、2.29 h；高速鐵路、普通旅客列車和民航兩端中轉(zhuǎn)時(shí)間分別取 1.4 h、1.0 h、2.4 h；時(shí)間價(jià)值取 2016 年北京和上海職工平均工資 42.46 元/h；同時(shí)進(jìn)行舒適性費(fèi)用計(jì)算[15]。

OD 對之間的廣義費(fèi)用權(quán)重系數(shù)如表2 所示。

表2 OD 對之間的廣義費(fèi)用權(quán)重系數(shù)Tab.2 Generalized cost weighting coefficients between OD pairs

假設(shè)D-1(Qk) = 1 000-0.1Qk，Qmax= 10 000 人/次，得到虛擬運(yùn)輸方式的阻抗函數(shù)f4(q4) = 0.1q4，靈敏度分析的迭代精度ε*= 0.000 1。利用 Matlab2015b軟件中的非線性優(yōu)化求解函數(shù)對雙層規(guī)劃模型進(jìn)行求解，將高速鐵路票價(jià)的初始值分別設(shè)為 0.5，0.6和 0.7，雖然迭代次數(shù)不同，但最優(yōu)解都為 0.483 8元/人公里。

通過求解雙層模型，得出北京至上海高速鐵路二等座單位里程運(yùn)價(jià)率最優(yōu)為 0.483 8 元/人公里，此時(shí)票價(jià)為 637.7 元，高速鐵路市場分擔(dān)比例為51.42%?？紤]到鐵路現(xiàn)場實(shí)際售票過程實(shí)際，對模型結(jié)果取整為 640 元。北京至上海高速鐵路二等座640 元票價(jià)與現(xiàn)行票價(jià)水平相比，漲幅達(dá)到 15.7%，結(jié)合北京及上海職工 2016 年工資水平及運(yùn)輸市場競爭環(huán)境，高速鐵路的票價(jià)在合理范圍內(nèi)。

4 結(jié)束語

基于運(yùn)輸企業(yè)利潤最大、旅客廣義費(fèi)用最小為目標(biāo)，建立考慮旅客均衡配流的雙層規(guī)劃模型，利用靈敏度分析法對模型進(jìn)行求解，并以北京至上海高速鐵路二等座票價(jià)為例進(jìn)行測算，得出最優(yōu)票價(jià)。對于高速鐵路，一是應(yīng)優(yōu)化票價(jià)結(jié)構(gòu)，構(gòu)建多級票價(jià)體系，調(diào)整當(dāng)前單一化的票價(jià)水平結(jié)構(gòu)，構(gòu)建基于服務(wù)質(zhì)量、列車速度等級、運(yùn)營時(shí)段、市場競爭等因素的差異化票價(jià)體系，依據(jù)市場變化及時(shí)調(diào)整高速鐵路執(zhí)行票價(jià)水平，以實(shí)現(xiàn)利益最大化，引導(dǎo)運(yùn)輸市場合理分工、優(yōu)化資源配置，實(shí)現(xiàn)企業(yè)健康可持續(xù)發(fā)展；二是豐富票種形式，實(shí)行票價(jià)優(yōu)惠策略，基于有效的運(yùn)輸市場細(xì)分，構(gòu)建旅客出行數(shù)據(jù)庫，建立與旅客相關(guān)的票價(jià)優(yōu)惠形式，實(shí)行常旅客優(yōu)惠、預(yù)訂車票優(yōu)惠、空鐵/地鐵聯(lián)程優(yōu)惠等豐富多變的票價(jià)策略，以滿足不同層次人群出行服務(wù)需求。

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