邱水金

培養(yǎng)學(xué)生解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力是數(shù)學(xué)教學(xué)的核心問(wèn)題，數(shù)學(xué)教學(xué)的根本目的是培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)意識(shí)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)知識(shí)的自我更新、自我增長(zhǎng)能力、創(chuàng)新能力，能夠用數(shù)學(xué)的眼光看待事物，能夠應(yīng)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)去解決一些實(shí)際問(wèn)題。

一、解決數(shù)學(xué)問(wèn)題能力的組成

1. 審題能力

審題是對(duì)題目條件和結(jié)論進(jìn)行全面的認(rèn)識(shí)，對(duì)與條件和結(jié)論有關(guān)的信息進(jìn)行分析研究，它是分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的前提。審題能力主要指：（1）充分理解題意，把握題目本質(zhì)特征；（2）分析和發(fā)現(xiàn)題目的隱含條件；（3）化簡(jiǎn)、轉(zhuǎn)化已知和結(jié)論的能力；（4）快捷、準(zhǔn)確地掌握題目的數(shù)形特征。對(duì)題目所給的條件和結(jié)論進(jìn)行轉(zhuǎn)化和發(fā)現(xiàn)隱含條件是解決問(wèn)題至關(guān)重要的因素。

2. 綜合應(yīng)用能力

高中數(shù)學(xué)知識(shí)包括函數(shù)、不等式、數(shù)列、三角函數(shù)、復(fù)數(shù)、立體幾何、解析幾何等內(nèi)容；數(shù)學(xué)思想包括數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程思想、分類(lèi)與討論和等價(jià)轉(zhuǎn)化等；數(shù)學(xué)方法包括待定系數(shù)法、換元法、數(shù)學(xué)歸納法、反證法、配方法等基本方法。只有理解和掌握數(shù)學(xué)基本知識(shí)、思想、方法，才能解決高中數(shù)學(xué)中的一些基本問(wèn)題，而合理選擇和應(yīng)用知識(shí)、思想、方法可以使問(wèn)題解決得更迅速、順暢。

例：設(shè)C1，C2，…，Cn，…是坐標(biāo)平面上的一列圓，它們的圓心都在x軸的正半軸上，且都與直線(xiàn)y= x相切，對(duì)每一個(gè)正整數(shù)n，圓Cn都與圓Cn+1相互外切，以rn表示Cn的半徑，已知{rn}為遞增數(shù)列。

（Ⅰ）證明：{rn}為等比數(shù)列；

（Ⅱ）設(shè)r1=1，求數(shù)列{ }的前n項(xiàng)和。

分析：本題考查等比數(shù)列的基本知識(shí)，利用錯(cuò)位相減法求和等基本方法，考察抽象概括能力以及推理論證能力。

（1）求直線(xiàn)傾斜角的正弦，設(shè)Cn的圓心為（λn，0），得λn=2rn，同理得λn+1=2rn+1，結(jié)合兩圓相切得圓心距與半徑間的關(guān)系，得兩圓半徑之間的關(guān)系，即{rn}中rn+1與的關(guān)系，證明{rn}為等比數(shù)列；（2）利用（1）的結(jié)論求{rn}的通項(xiàng)公式，代入數(shù)列 ，然后用錯(cuò)位相減法求和.

對(duì)于數(shù)列與幾何圖形相結(jié)合的問(wèn)題，通常利用幾何知識(shí)，并結(jié)合圖形，得出關(guān)于數(shù)列相鄰項(xiàng)an與an+1之間的關(guān)系，然后根據(jù)這個(gè)遞推關(guān)系，結(jié)合所求內(nèi)容變形，得出通項(xiàng)公式或其他所求結(jié)論。

3. 數(shù)學(xué)建模能力

“數(shù)學(xué)建?！笔沁\(yùn)用數(shù)學(xué)思想、方法和知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程，已經(jīng)成為不同層次數(shù)學(xué)教育重要的和基本的內(nèi)容。近幾年來(lái)，在高考數(shù)學(xué)試卷中，都涉及一些實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題，這給學(xué)生的分析和解決問(wèn)題的能力提出了挑戰(zhàn)。而數(shù)學(xué)建模能力是解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題的重要途徑和核心。

例：（2017年全國(guó)1卷）如圖，圓形紙片的圓心為O，半徑為5cm，該紙片上的等邊三角形ABC的中心為O，D、E、F為元O上的點(diǎn)，△DBC，△ECA，△FAB分別是一BC，CA，AB為底邊的等腰三角形，沿虛線(xiàn)剪開(kāi)后，分別以BC，CA，AB為折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D，E，F(xiàn)重合，得到三棱錐。當(dāng)△ABC的邊長(zhǎng)變化時(shí)，所得三棱錐體積（單位：cm3）的最大值為_(kāi)_____。

分析：本小題主要考查折疊問(wèn)題、等邊三角形的性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查數(shù)學(xué)建模能力、空間想象力、數(shù)學(xué)閱讀能力及解決實(shí)際問(wèn)題的能力。若學(xué)生能找出OG與BC的關(guān)系的這個(gè)關(guān)鍵，再利用體積公式，就不難找出自變量x與BC和DG的關(guān)系，從而就能建立數(shù)學(xué)模型。

在該題的解答中，這是一道較常見(jiàn)數(shù)學(xué)建模題，但學(xué)生若沒(méi)有一定的數(shù)學(xué)建模能力，正確解決此題實(shí)屬不易。若能建模，再利用導(dǎo)數(shù)這個(gè)工具就迎刃而解了。因此，建模能力是分析和解決問(wèn)題能力不可缺少的一個(gè)組成部分。

二、培養(yǎng)學(xué)生解決數(shù)學(xué)問(wèn)題能力的方法策略

1. 重視基礎(chǔ)知識(shí)，建立良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)

引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)審題、解題，是日常教學(xué)中最基本也是最重要的一環(huán)，是最基本的，也是我們?cè)诂F(xiàn)實(shí)教學(xué)中最容易忽視的環(huán)節(jié)。正如在新課程改革中提出“淡化知識(shí)”，于是便又忽略必要的知識(shí)傳授一樣。而恰恰相反，只有給學(xué)生傳授一定相應(yīng)的知識(shí)，并引導(dǎo)學(xué)生掌握審題、解題的基本方法，經(jīng)過(guò)反復(fù)訓(xùn)練，激發(fā)潛能，才可以形成能力，使學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣獲得保持和發(fā)展，達(dá)到教是為了不教的教學(xué)目的，這正是授之以“漁”的教學(xué)策略具體化的體現(xiàn)。在高三的復(fù)習(xí)中，特別是面對(duì)要用到好幾個(gè)知識(shí)點(diǎn)才能解決的問(wèn)題時(shí)，建立良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)尤為重要。

2. 重視策略化知識(shí)，建構(gòu)不同的知識(shí)點(diǎn)

高中數(shù)學(xué)知識(shí)面廣，高考的范圍大。從2017年考綱來(lái)看，舊的知識(shí)基本不變，新課標(biāo)以能力立意，將知識(shí)、能力和素質(zhì)融為一體，全面檢測(cè)考生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，如何把數(shù)學(xué)的思想方法融入到教學(xué)中，把不同的知識(shí)點(diǎn)有機(jī)的結(jié)合起來(lái)，課程標(biāo)準(zhǔn)指出：數(shù)學(xué)的發(fā)展既有內(nèi)在的動(dòng)力，也有外在的動(dòng)力，在高中數(shù)學(xué)的教學(xué)中，要注重?cái)?shù)學(xué)的不同分支和不同內(nèi)容之間的聯(lián)系，數(shù)學(xué)與日常生活的聯(lián)系，數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的聯(lián)系。我們只有在教學(xué)過(guò)程中不斷地把這些思想和方法，用不同的題目訓(xùn)練學(xué)生，讓學(xué)生理解和掌握了數(shù)學(xué)基本知識(shí)、基本思想和基本方法，才能解決高中數(shù)學(xué)中的一些基本問(wèn)題，進(jìn)而能合理地選擇和運(yùn)用知識(shí)、思想和方法，使問(wèn)題解決得迅速、流暢，才能在高考中占有一席之地。

3. 加強(qiáng)應(yīng)用題的教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生從實(shí)際問(wèn)題中概括數(shù)學(xué)問(wèn)題

建模能力是解題者對(duì)各種能力的綜合應(yīng)用，它涉及文字理解能力，對(duì)實(shí)際的熟悉程度，對(duì)相關(guān)知識(shí)的掌握程度，良好的心理素質(zhì)，創(chuàng)新精神和創(chuàng)造能力，以及觀察、分析、綜合、比較、概括等各種科學(xué)思維方法的綜合應(yīng)用。為此，在應(yīng)用教學(xué)中，師生應(yīng)組成“共同體”，在老師的點(diǎn)撥指導(dǎo)下，以小組為單位開(kāi)展建模活動(dòng)，提高學(xué)生獨(dú)立工作和相互合作的能力，教師重點(diǎn)在科學(xué)的思維方法上給予點(diǎn)撥和總結(jié)。讓學(xué)生培養(yǎng)善于從實(shí)際問(wèn)題中識(shí)別出數(shù)學(xué)模式，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)、歸納各種應(yīng)用題的數(shù)學(xué)模型，這樣學(xué)生才能有的放矢，合理運(yùn)用數(shù)學(xué)思想和方法分析解決實(shí)際問(wèn)題。

4. 積極反思，查缺補(bǔ)漏，確保解題的合理性和正確性

解數(shù)學(xué)題時(shí)，有時(shí)由于審題不確，概念不清，忽視條件，套用相近知識(shí)，考慮不周或計(jì)算出錯(cuò)，難免產(chǎn)生這樣或那樣的錯(cuò)誤，即學(xué)生解數(shù)學(xué)題，不能保證一次性正確和完善。所以解題后，必須對(duì)解題過(guò)程進(jìn)行回顧和評(píng)價(jià)，對(duì)結(jié)論的正確性和合理性進(jìn)行驗(yàn)證，引導(dǎo)學(xué)生不斷地對(duì)問(wèn)題進(jìn)行觀察分析、歸納類(lèi)比、抽象概括，對(duì)問(wèn)題中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)思想進(jìn)行不斷地思考并做出新的判斷，讓學(xué)生體會(huì)解題帶來(lái)的樂(lè)趣，享受探究帶來(lái)的成就感。長(zhǎng)此以往，逐步養(yǎng)成學(xué)生獨(dú)立思考、積極探究的習(xí)慣，這是學(xué)好數(shù)學(xué)的必要條件，更是以后進(jìn)行分析和解決問(wèn)題的基礎(chǔ)。

總之，教學(xué)實(shí)踐是一個(gè)復(fù)雜的過(guò)程，理論是不可能完全應(yīng)用于實(shí)踐中的，這就需要教師在今后的教學(xué)實(shí)踐中大膽嘗試，細(xì)心領(lǐng)會(huì)，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，積極尋求解決問(wèn)題的方法，培養(yǎng)提高學(xué)生解決問(wèn)題的能力。

責(zé)任編輯 李少杰