王文忠??

摘 要：解析幾何在江蘇數(shù)學高考中占21分左右，解答題常常以直線與橢圓的問題出現(xiàn)。直線與橢圓題型多樣、綜合性強、解題方法靈活、運算量大，能夠較好地考查學生掌握基礎知識的程度，也能夠考查出學生對數(shù)學思想方法、運算能力，要求學生具備較扎實基礎知識及較強綜合能力。本文將重點分析下直線與橢圓中常見題型，使學生更好地掌握解析幾何中常見的題型。

關鍵詞：橢圓；高考；常見題型

圓錐曲線是高中解析幾何的核心內(nèi)容及研究對象，代數(shù)方法解決幾何問題是解析幾何最基本的思想，學生通過圓錐曲線的學習，培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合思想及解決實際問題和運算的能力，養(yǎng)成良好的解題心態(tài)。圓錐曲線的考查在歷年高考中常以橢圓為主，橢圓的考查常常涉及橢圓的標準方程和性質(zhì)，而直線與橢圓的位置關系似乎是必考內(nèi)容，因為直線與橢圓的關系能夠考查學生的基礎知識、解題技巧、運算能力，橢圓知識的考查大致上能分為以下幾種情況。

一、 橢圓幾何性質(zhì)的應用

高中數(shù)學中橢圓的性質(zhì)主要包括：范圍、對稱性、頂點、焦點、離心率、準線、共同性質(zhì)等，考查橢圓基本性質(zhì)就是各個知識點間聯(lián)系，尤其是基本量a，b，c，e之間的關系，這類題一般屬于容易題，主要是構造基本量之間的等量關系或不等關系。

例1 （2017·浙江卷）橢圓 x29+y24=1的離心率是（ ）

A. 133

B. 53

C. 23

D. 59

二、 求曲線方程或軌跡問題

求曲線方程或軌跡方程是解析幾何中數(shù)學的重點和難點，求曲線方程通常先確定曲線的類型（定型）是圓、橢圓、雙曲線還是拋物線，再確定曲線的位置（定位）——圓錐曲線的焦點在哪個軸上或拋物線的開口方向性，再確定基本量的取值（定量），最后寫出曲線的方程。求軌跡方程則需要挖掘已知條件，將動點滿足的規(guī)律（一般是等量關系）找出來，并將規(guī)律用動點的坐標表示成等式再化簡整理即可。

橢圓解答題中出現(xiàn)頻率最高的是求橢圓方程，而且常常放在大題第一小題，常常根據(jù)曲線具有性質(zhì)來求解曲線方程，或者是根據(jù)已知條件找出平面內(nèi)動點運動規(guī)律或滿足的條件求軌跡方程。求軌跡方程主要還有以下幾種題目類型：兩曲線交點、弦中點、焦點弦、切線等為條件求軌跡方程。

例2 （2017·山東卷）在平面直角坐標系xOy中，橢圓E：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的離心率為22，焦距為2。

（1）求橢圓E的方程。

例3 （2015·廣東卷）已知過原點的動直線l與圓C：x2+y2-6x+5=0相交于不同的兩點A，B.（1）求圓C1的圓心坐標；（2）求線段AB的中點M的軌跡C的方程。

例4 （2017·新課標Ⅱ卷）設O為坐標原點，動點M在橢圓C：x22+y2=1上，過M做x軸的垂線，垂足為N，點P滿足NP=2NM，（1）求點P的軌跡方程。

三、 有關定值與定點問題

定值與定點問題主要是從橢圓的一些性質(zhì)得出的，常涉及直線與橢圓、兩直線、點與橢圓的位置等關系。根據(jù)社會對人才的需要，高考越來越重視考查考生的綜合能力，而橢圓的定點、定值問題能有效地考查考生的綜合能力，因為這類試題解法多樣、注重整體的解題思路、需要良好的解決問題的心態(tài)等特點。結(jié)合近幾年高考試題，定點或定值問題常以以下四種形式呈現(xiàn)：有關角或直線的斜率是定值、多個量的運算結(jié)果是定值、曲線過定點或點在曲線上、直線過某定點或點在某定直線上。

例5 （2017·新課標Ⅰ卷）已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0），四點P1（1，1），P2（0，1），P3-1，32，P41，32中恰有三點在橢圓C上。

（1）求C的方程；（2）設直線l不經(jīng)過P2點且與C相交于A，B兩點.若直線P2A與直線P2B的斜率的和為-1，證明：l過定點。

在歷年各地的高考數(shù)學試卷中，橢圓題目分值一直保持穩(wěn)定，題型多樣，方法靈活，綜合性強，一般作為把關題或壓軸題。第一小題常?？疾闄E圓的基本性質(zhì)或求方程，屬于容易題，而第二小題則時常考查最值或定點定值問題，一般與函數(shù)、不等式、向量、三角函數(shù)等相結(jié)合，呈現(xiàn)出考查方法靈活多樣，運算量大，靈活考查考生對基礎知識的掌握程度，考生靈活運用數(shù)學思想和方法綜合解決問題的能力，所以常為命題者所青睞，故而在平時的教學和訓練中多多體會橢圓題中的數(shù)形結(jié)合，以代數(shù)方法來解決幾何問題，通過解橢圓題來提升自身的運算能力和規(guī)范的解題習慣。

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作者簡介：

王文忠，江蘇省泰州市，泰州市第三高級中學。endprint