摘 要：弦長(zhǎng)問(wèn)題是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容，如何引導(dǎo)學(xué)生用正確的方法求直線(xiàn)與曲線(xiàn)相交的弦長(zhǎng)，方法不唯一，但是每種方法適用的條件把握不清，往往是學(xué)生走入解題誤區(qū)的重要原因之一。本文就一道關(guān)于直線(xiàn)參數(shù)方程與圓的弦長(zhǎng)習(xí)題解答過(guò)程進(jìn)行分析。

關(guān)鍵詞：弦長(zhǎng)；參數(shù)方程；條件

直線(xiàn)與曲線(xiàn)（圓、圓錐曲線(xiàn)等）相交于兩點(diǎn)，則兩點(diǎn)之間的距離稱(chēng)為弦長(zhǎng)。在高中教學(xué)中，弦長(zhǎng)問(wèn)題是重點(diǎn)，也是高考的熱點(diǎn)之一，但求弦長(zhǎng)的方法根據(jù)已知條件的不同而選擇不同。如何把握條件、發(fā)展條件和分析條件是解決這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵，現(xiàn)以教學(xué)中一道關(guān)于直線(xiàn)參數(shù)方程與圓的弦長(zhǎng)習(xí)題解答，用兩種方法進(jìn)行求解，但是答案卻出現(xiàn)兩個(gè)。

問(wèn)題：已知直線(xiàn)x=2-12t

y=-1+12t（t為參數(shù)）與圓x2+y2=4相交于A、B兩點(diǎn)，求弦AB的長(zhǎng)。

分析：該問(wèn)題是一個(gè)常規(guī)的問(wèn)題，難度不是很大，而解答的方法很多，下面分別用兩種方法進(jìn)行求解。

解法一：把x=2-12t

y=-1+12t代入x2+y2=4得

（2-12t）2+（-1+12t）2=4

整理得t2-6t2+2=0 （1）

設(shè)方程（1）的兩根為t1、t2，得

t1+t2=--61=6，t1t2=21=2

所以|AB|=|t1-t2|=27

所以弦AB的長(zhǎng)為27。

解法二：如圖，直線(xiàn)x=2-12t

y=-1+12t化為普通方程得x+y-1=0，與圓x2+y2=4相交于A、B兩點(diǎn)，圓x2+y2=4圓心坐標(biāo)為（0，0），半徑r=2，過(guò)圓心O（0，0）作直線(xiàn)OP⊥AB于P點(diǎn)，連接AO，則

OP=|0×1+0×1-1|12+12=22

所以在Rt△OAP中，由勾股定理得

AP=72=142

由垂徑定理得AB=2AP

所以弦AB的長(zhǎng)為14。

以上兩種解法得到不同的答案，從思路上看，兩種解法幾乎沒(méi)問(wèn)題，那么哪一種解法是正確的呢，解法二屬于常規(guī)解法，答案是肯定正確的，解法一的思路是應(yīng)用人教版選修44第二講第三節(jié)“直線(xiàn)的參數(shù)方程”。探究（1）的結(jié)論，是哪一步出現(xiàn)了錯(cuò)誤導(dǎo)致結(jié)果錯(cuò)誤呢？下面具體對(duì)直線(xiàn)參數(shù)方程與曲線(xiàn)參數(shù)方程求弦長(zhǎng)問(wèn)題進(jìn)行分析。

已知直線(xiàn)l的傾斜角為α，過(guò)定點(diǎn)（x0，y0），則直線(xiàn)的參數(shù)方程為x=x0+tcosα

y=y0+tsinα（α為參數(shù)），直線(xiàn)l與曲線(xiàn)f（x，y）=0相交于M1，M2兩點(diǎn)，對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2，則曲線(xiàn)的弦M1M2的長(zhǎng)是多少？

分析：根據(jù)上述問(wèn)題的已知條件，可設(shè)M1，M2兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（x0+t1cosα，y0+t1sinα）、（x0+t2cosα，y0+t2sinα），則根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式可得

M1M2=（x0+t1cosα）-（x0+t2cosα）2+（y0+t1sinα）-（y0+t2sinα）2

=cos2α（t1-t2）2+sin2α（t1-t2）2

=（t1-t2）2（cos2α+sin2α）

因?yàn)閏os2α+sin2α=1，（t1-t2）2=|t1-t2|

所以M1M2=|t1-t2|

現(xiàn)在再觀察解法一的過(guò)程不難看出，錯(cuò)誤點(diǎn)在默認(rèn)為只要是直線(xiàn)x=x0+at

y=y0+bt（t為參數(shù)）與曲線(xiàn)f（x，y）=0相交于M1，M2兩點(diǎn)，對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2，則曲線(xiàn)的弦M1M2=|t1-t2|，這種觀點(diǎn)顯然是錯(cuò)誤的，因?yàn)榉抡辗治龅耐茖?dǎo)過(guò)程容易得M1M2=（t1-t2）2（a2+b2）=|t1-t2|a2+b2。

在已知習(xí)題中，a=-12，b=12，|t1-t2|由解法一得27，所以AB=27×-122+122=27×22=14。

根據(jù)上述的分析過(guò)程，對(duì)直線(xiàn)x=x0+at

y=y0+bt（t為參數(shù)）與曲線(xiàn)f（x，y）=0相交于M1，M2兩點(diǎn)，對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2，則曲線(xiàn)的弦M1M2=（t1-t2）2（a2+b2）=|t1-t2|a2+b2，經(jīng)過(guò)驗(yàn)證該結(jié)論是正確的，因此解法一的錯(cuò)誤之處即是默認(rèn)為a2+b2=1，而實(shí)際a2+b2=-122+122=12≠1。

以上是就一個(gè)習(xí)題的錯(cuò)誤解法進(jìn)行分析，在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，首先要把握好條件，在方法的選擇上嚴(yán)格把握滿(mǎn)足條件的方法，不能只從形式上定方法，習(xí)題中的解法一就是因?yàn)橹粡男问缴隙ǚ椒◤亩鴮?dǎo)致錯(cuò)誤。數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決，主要由已知條件入手，由已知條件確定方法，這樣就會(huì)減少結(jié)果錯(cuò)誤的幾率，由此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，重要的不是給學(xué)生講解多少習(xí)題，而是幫助學(xué)生如何分析條件和發(fā)展條件，確定解決問(wèn)題的方法，從而達(dá)到做一個(gè)題會(huì)一類(lèi)題的效果。

作者簡(jiǎn)介：

李加發(fā)，貴州省黔西南布依族苗族自治州，貴州省安龍縣第四中學(xué)。endprint