方朋杰 喬曉利,2

(1.紹興文理學(xué)院 元培學(xué)院,浙江 紹興 312000;2.浙江大學(xué) 電氣工程學(xué)院,浙江 杭州 310027)

0 引言

數(shù)控機(jī)床正在朝著高速度、高精度、高效、高智能化的方向發(fā)展.機(jī)床高速化是繼數(shù)控加工技術(shù)之后制造技術(shù)的又一次革命性飛躍，已成為現(xiàn)代制造技術(shù)發(fā)展的重要方向，具有切削速度高、運轉(zhuǎn)平穩(wěn)、切削效率高、散熱快、表面精度高等優(yōu)點.

作為支承高速高檔機(jī)床電主軸的主動磁懸浮支承技術(shù)，被公認(rèn)為是當(dāng)前世界上的高新技術(shù)之一.主動磁懸浮軸承利用磁場力將主軸部件懸浮于空間，即轉(zhuǎn)子與定子無直接接觸，工作時不產(chǎn)生機(jī)械摩擦,具有零潤滑、零振動、無噪聲及溫升小等優(yōu)點.人們可通過改變控制器參數(shù)的方法來調(diào)整主動磁軸承的支承剛度和阻尼，從而改變其對電主軸轉(zhuǎn)子的支承特性，進(jìn)而改變電主軸轉(zhuǎn)子的動力學(xué)特性.

電主軸轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速的升高使得磁懸浮電主軸的運行穩(wěn)定性變差,這是由于在高速情況下，電主軸轉(zhuǎn)子表現(xiàn)出來的柔性特性，使得電主軸切削系統(tǒng)的動態(tài)性能復(fù)雜化，從而使切削系統(tǒng)穩(wěn)定性變差.鑒于此，對主動磁軸承支撐的柔性電主軸轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動力學(xué)特性的研究被很多學(xué)者關(guān)注.近幾年也有不少的學(xué)者研究柔性電主軸的動態(tài)特性，如Zhang Lingling,Wan Min等人借用ANSYS軟件分析了柔性電主軸的動態(tài)特性[1-2].關(guān)于磁懸浮柔性電主軸動態(tài)特性的研究還較少.2014年，Xie Zhenyu研究了主動磁軸承結(jié)構(gòu)對柔性電主軸的影響[3],Xu Xin等人研究了低損耗的磁懸浮柔性電主軸[4]等.文獻(xiàn)[5]研究了主軸及磁軸承缺陷對磁懸浮電主軸系統(tǒng)動態(tài)特性的影響.文獻(xiàn)[6]主要對磁懸浮電主軸的切削參數(shù)及振動特性進(jìn)行了分析和研究.Barkallah,M.等[7]主要研究了參數(shù)(切削率、切削速度及軸向切削深度)對切削力及銑削過程中顫振的影響.Huang Tao等[8]主要研究了如何對銑削過程中的顫振進(jìn)行主動控制.

在高速機(jī)械加工過程中，切削過程是否穩(wěn)定，不僅取決于高速磁懸浮電主軸轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動力特性，還取決于切削過程的動力特性，二者又不是完全獨立的系統(tǒng)，它們互相作用，互相影響.因此，必須把機(jī)械加工過程中的動態(tài)切削特性與磁懸浮柔性電主軸轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的特性結(jié)合起來，研究整個系統(tǒng)的動態(tài)特性，才能得出較科學(xué)的理論根據(jù)，而這在國內(nèi)外未見有人研究.

為此，本文綜合主動磁軸承的可控特性和切削過程的動態(tài)特性，深入研究了柔性電主軸轉(zhuǎn)子在主動磁軸承及動態(tài)切削的影響下的動力學(xué)特性.

1 主動磁軸承的工作原理

一個簡化的主動磁軸承控制原理圖如圖1所示，轉(zhuǎn)子自由懸浮在所設(shè)定的(x0,y0)處，非接觸式位置傳感器實測轉(zhuǎn)子的實際位置(x,y)與設(shè)定位置(x0,y0)之間的偏差，并反饋至控制器.控制目標(biāo)為維持轉(zhuǎn)子在期望值(x0,y0)附近.為此，根據(jù)轉(zhuǎn)子的實際位置(x,y)與設(shè)定位置(x0,y0)之間的偏差信號，控制器發(fā)出位置調(diào)整指令信號，功率放大器將該信號轉(zhuǎn)換為電流輸入軸承電磁鐵線圈中，使其產(chǎn)生所需的控制電磁力(Fm,x,Fm,y)，從而使轉(zhuǎn)子穩(wěn)定懸浮[10].

圖1 主動磁軸承工作原理

2 主動磁軸承支承下柔性電主軸切削系統(tǒng)的動力學(xué)模型

2.1 主動磁軸承-柔性電主軸切削系統(tǒng)的有限元模型

由主動磁軸承支撐的柔性電主軸切削系統(tǒng)的簡化結(jié)構(gòu)如圖2所示.該系統(tǒng)的主要部件有：高速電機(jī)轉(zhuǎn)子、粗細(xì)不等的彈性電主軸軸段、主動磁軸承、刀具等.在建立基于主動磁軸承支撐的柔性電主軸切削系統(tǒng)有限元模型時，假設(shè)電機(jī)的轉(zhuǎn)子、刀具夾及刀具的材料都是各向同性的.

把不同粗細(xì)的軸段、磁軸承、刀具等沿電主軸中心軸線劃分為不同的單元，磁軸承的特性和動態(tài)切削過程以力的形式施加在電主軸轉(zhuǎn)子相應(yīng)的節(jié)點上.以電主軸轉(zhuǎn)子的中心軸線為z軸，xy平面是垂直于z軸建立的oxyz坐標(biāo)系平面，主動磁軸承柔性電主軸切削系統(tǒng)的有限元模型為[9]：

1—磁軸承；2—轉(zhuǎn)子；3—電主軸；4—刀具夾；5—刀具圖2 磁軸承-柔性電主軸簡化結(jié)構(gòu)

(1)

式中：Ms為質(zhì)量矩陣，Ks為剛度矩陣，Ds為阻尼矩陣，Gs為陀螺矩陣，Ωs為電主軸穩(wěn)態(tài)工作轉(zhuǎn)速;Fcu,x和Fcu,y分別為刀具與工件之間的切削力在x和y方向上的量，F(xiàn)am,x和Fam,y分別為主動磁軸承徑向電磁控制力在x和y方向上量，n為單元節(jié)點的總個數(shù).下標(biāo)x和y分別表示坐標(biāo)軸的x和y方向.

式(1)中的剛度和阻尼主要指由主動磁軸承及控制器產(chǎn)生的等效剛度和阻尼、電主軸轉(zhuǎn)子的剛度和結(jié)構(gòu)阻尼及動態(tài)切削過程中的剛度和阻尼.

2.2 主動磁軸承的等效電磁力模型

主動電磁軸承的等效電磁力模型在有關(guān)書籍及文獻(xiàn)中已有詳細(xì)推導(dǎo)，這里就不再推導(dǎo)其過程.本文仍然采取差動的電磁結(jié)構(gòu)建立主動電磁力模型[12].差動控制結(jié)構(gòu)電磁軸承如圖3所示.

圖3 主動磁軸承差動結(jié)構(gòu)

差動控制結(jié)構(gòu)電磁軸承在x方向上的對置C型磁極的等效電磁合力為：

(2)

同理，差動控制結(jié)構(gòu)電磁軸承在y方向上的等效電磁合力為：

(3)

2.3 等效剛度及等效阻尼

當(dāng)主動磁軸承采用經(jīng)典的PID控制器時，則磁軸承控制系統(tǒng)的等效剛度及等效阻尼可表示如下.

若電主軸轉(zhuǎn)子節(jié)點ni和nj處各設(shè)有一個徑向磁軸承，根據(jù)式(2)和式(3)，則主動磁軸承的電磁控制力矩陣為：

(4)

而ni和nj分別在x和y方向的PID控制器可寫成如下表達(dá)式：

(5)

由式(4)和式(5)整理可得式(6).

(6)

式中，Keq和Deq分別為磁軸承控制系統(tǒng)的等效剛度和等效阻尼：

2.4 動態(tài)切削力模型

圖4 動態(tài)切削過程

機(jī)床在切削過程中產(chǎn)生振動，導(dǎo)致切削力不斷變化，動態(tài)切削過程如圖4所示[11].x方向上的動態(tài)切削力可表示為：

ΔFcu,x(t)=

Kcb[-x(t)+x(t-τ)]-DtΔvf(t)=

(7)

其中x(t),x(t-τ)分別是本次和上一次振動幅值；τ是兩次相鄰切削之間的延時時間，b是切削寬度，Kc是切削厚度方向上的靜態(tài)切削力系數(shù)，Dt為切削阻尼，vf是進(jìn)給速度，方向見圖4.

以該切削過程x方向上的振動為研究對象，根據(jù)式(1)、式(6)和式(7)，可得主動磁軸承動態(tài)切削整理后的運動方程為：

(8)

式中:Δx=[-x(t)+x(t-τ)];Dsep為綜合了主動磁軸承切削阻尼后的阻尼矩陣;Kse為綜合了主動磁軸承等效剛度后的剛度矩陣.

3 主動磁軸承支承及切削的剛度對柔性電主軸轉(zhuǎn)子動態(tài)特性的影響

本文利用matlab開發(fā)的有限元軟件，在動態(tài)切削下對由主動磁軸承支承的柔性電主軸轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動態(tài)特性進(jìn)行了研究，研究所用電主軸參數(shù)為：電主軸質(zhì)量為m=9.6 kg，電主軸長度l=720 mm，鐵心長度le=200 mm，轉(zhuǎn)子外徑Dr,out=100 mm，轉(zhuǎn)子內(nèi)徑Dr,in=50 mm.

在分析主動磁軸承等效剛度及切削力系數(shù)對柔性電主軸轉(zhuǎn)子的動態(tài)影響前，首先給出剛性軸承下柔性電主軸的動態(tài)特性圖，如圖5所示.該電主軸的前二階正向和反向渦動臨界頻率分別為：206.70 Hz,208.70 Hz,410.54 Hz,417.35 Hz.若換為主動磁軸承，當(dāng)主動磁軸承的等效剛度為Keq=1×107N·m-2、等效阻尼設(shè)為零時，由圖6可知，該電主軸的前二階正向和反向渦動臨界頻率分別將為：136.43 Hz,137.02 Hz,151.71 Hz,153.13 Hz.在此主動磁軸承等效剛度下，圖7給出了切削力系數(shù)為Kc=1×107N·m-2時電主軸的特性圖，可看出此時電主軸的前二階正向和反向渦動臨界頻率分別為：144.37 Hz,144.52 Hz,300.16 Hz,311.58 Hz.由以上分析可知，主動磁軸承的等效剛度將較大幅度地影響柔性電主軸的各階臨界頻率，切削力系數(shù)的變化也會改變?nèi)嵝噪娭鬏S的各階臨界頻率.

4 主動磁軸承及切削力參數(shù)對切削動態(tài)特性的影響

機(jī)床在切削過程中刀具處的頻率響應(yīng)將直接決定著切削過程的穩(wěn)定性，從而決定切削工件的表面質(zhì)量.因此，分析主動磁軸承的等效剛度和阻尼、所切削工件的材料(切削力系數(shù))及切削的阻尼對刀具處頻率響應(yīng)的影響等，將具有重要的意義.

4.1 等效剛度的影響

圖8分析了主動磁軸承不同的等效剛度(Keq=5×106N·m-2,Keq=1×107N·m-2,Keq=5×107N·m-2)對刀具端頻率響應(yīng)的影響.圖8表明，隨著主動磁軸等效剛度的增大，刀具端頻率響應(yīng)的最大負(fù)實部所對應(yīng)的頻率也逐漸增大，負(fù)實部的值卻隨之減小，這表明磁軸承等效剛度的增大，將增大切削過程穩(wěn)定區(qū)域的臨界頻率及穩(wěn)定區(qū)域.

4.2 主動磁軸承阻尼的影響

在主動磁軸承剛度Keq=5×107N·m-2時，圖9分析了不同的主動磁軸承阻尼(Deq=5×103N·s·m-1,Deq=1×104N·s·m-1)對刀具端頻率響應(yīng)的影響.從圖9可以看出，主動磁軸承的等效阻尼將影響刀具端頻率響應(yīng)負(fù)實部的大小，隨著阻尼的增大，負(fù)實部的絕對值隨之減??；而對其臨界頻率卻無影響.

4.3 切削阻尼的影響

在主動磁軸承等效剛度Keq=5×107N·m-2、等效阻尼Deq=1×103N·s·m-1時,圖10分析了不同的切削阻尼(Dt=100 N·s·m-1,Dt=500 N·s·m-1)對刀具端頻率響應(yīng)的影響.圖10表明，不同的切削阻尼對刀具端頻率響應(yīng)的影響，與主動磁軸承的等效阻尼影響規(guī)律相同，但影響力度較大.

圖8 不同主動磁軸承剛度下刀具端頻率響應(yīng)

圖9 不同主動磁軸承阻尼下刀具端頻率響應(yīng)

圖10 不同切削阻尼下刀具端頻率響應(yīng)

5 主動磁軸承及切削阻尼對切削穩(wěn)定性的影響

系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)是反映主動磁軸承切削系統(tǒng)穩(wěn)定性的前提，令主動磁軸承柔性電主軸切削系統(tǒng)的頻率響應(yīng)為：

(9)

則求解式(9)得

G(ω)[kcb[-x(t)+x(t-τ)]?

(10)

要使切削系統(tǒng)穩(wěn)定，則必須滿足

(11)

對式(10)兩邊平方并整理得

(12)

主動磁軸承不同的等效剛度、等效阻尼及切削阻尼對切削穩(wěn)定性的影響，如圖11至圖13所示.

圖11表明，隨著主動磁軸承等效剛度的增大，切削的穩(wěn)定性區(qū)域向右移動，即切削的臨界轉(zhuǎn)速升高，這與圖8相吻合，但穩(wěn)定性區(qū)域減小.

圖12表明，隨著主動磁軸承等效阻尼的增加，最小切削寬度增加，穩(wěn)定性區(qū)域增大，這也與圖9的主動磁軸承等效剛度對刀具端頻率響應(yīng)的影響一致.

在主動磁軸承等效剛度Keq=5×107N·m-2、等效阻尼Deq=103N·s·m-1時,圖13分析了不同的切削阻尼(Dt=100 N·s·m-1,Dt=500 N·s·m-1)對切削穩(wěn)定性的影響.圖13表明，切削阻尼能夠增大切削的最小臨界寬度，提高切削的穩(wěn)定性區(qū)域，而不改變切削的臨界轉(zhuǎn)速.

6 結(jié)論

本文以主動磁軸承支撐的柔性電主軸轉(zhuǎn)子為研究對象，分析了主動磁軸承不同的等效剛度及切削力系數(shù)對電主軸模態(tài)及臨界轉(zhuǎn)速的影響，考慮了主動磁軸承等效剛度和阻尼對刀具端頻率響應(yīng)的影響，進(jìn)而討論了主動磁軸承不同的等效剛度、等效阻尼及切削阻尼對切削穩(wěn)定性的影響.分析結(jié)果表明，主動磁軸承等效剛度對電主軸的模態(tài)頻率影響較大；而對刀具端的頻率響應(yīng)分析可知，隨著主動磁軸承等效剛度的增大，將增大頻率響應(yīng)的最大負(fù)實部及虛部的位置和其最大值；主動磁軸承的等效阻尼和切削阻尼僅影響刀具端頻率響應(yīng)大的最大負(fù)實部及負(fù)虛部的值，且切削阻尼的影響較大；刀具端的頻率響應(yīng)同樣也反映了切削的穩(wěn)定性，這在圖11、圖12和圖13中得到了驗證.

[1]ZHANG L L,QIN X Y. Dynamic analysis of electric spindle based on ANSYS [J].Applied Mechanics and materials,2013,288:75-79.

[2]WANG M, ZHANG X Y,ZAN T, et al. Investigation of static and dynamic characteristics of a high-speed electric spindle based on ANSYS[J]. Journal of Beijing Unversity of Technology,2012,38(7):987-991.

[3]XIE Z Y, YU K, WEN L T, et al. Characteristics of motorized spindle supported by active magnetic bearings[J].Chinese journal of Aeronautics,2014,27(6):1619-1624.

[4]XU X, XIE Z Y, LONG Y W. Dynamic characteristics of low loss motorized spindle suspended by magnetic bearings[J].Journal of Aerospace Power,2014,29(2):343-349.

[5]BOUAZIZ A, BOUAZIZ S, HENTATI T, et al. Vibrations monitoring of high speed spindle with active magnetic bearings in presence of defects[J]. International Journal of Applied Electromagnetics & Mechanics,2015,49(2):207-221.

[6]BOUAZIZ A, BARKALLAH M, BOUAZIZ S, et al. Cutting parameters and vibrations analysis of magnetic bearing spindle in milling process[J]. Journal of Theoretical & Applied Mechanics,2016,54(3):691.

[7]HUANG T,CHEN Z Y,ZHANG H T, et al. Active control of an active magnetic bearings supported spindle for chatter suppression in milling process[J].Journal of Dynamic Systems, Measurement and control,Transactions of the ASME,2015，11(137):345-356.

[8]BARKALLAH M, BOUAZIZ A, BOUAZIZ S, et al. Modeling and Analysis of Spindle with Active Magnetic Bearings for High-Speed Milling Process[J]. Journal of Mechanics, 2016,32(2):131-141.

[9]喬曉利,祝長生.基于內(nèi)置力執(zhí)行器的電主軸銑削顫振的主動控制[J].機(jī)械工程學(xué)報,2012,1(48):187-192.

[10]蔣科堅.主動電磁軸承——轉(zhuǎn)子系統(tǒng)振動控制技術(shù)[D].杭州：浙江大學(xué),2011.

[11]楊橚,唐恒齡,廖伯瑜.機(jī)床動力學(xué)[M].北京：機(jī)械工業(yè)出版社,1983:25-98.