劉榮偉,雷貝貝,宋威振,王琦濤

(長安大學 工程機械學院，陜西 西安 710000)

利用MATLAB軟件可以將計算結果不斷優(yōu)化，最終得到最優(yōu)解,使裂紋長度和對應的載荷循環(huán)次數關系的指數曲線更加接近實驗所得數據，提高對同類高強度低合金鋼的疲勞裂紋擴展速率估算的準確性。

1 試驗過程

疲勞裂紋擴展試驗的試驗材料為高強度低合金鋼，比普通的碳素鋼有更高的屈服強度，大量用于建筑、橋梁和汽車等行業(yè)，廣泛地使用在海水或者大風等惡劣環(huán)境下。將該高強度低合金鋼加工成標準的ECT試件[4]，試件厚度10 mm,平面尺寸如圖1所示。

試驗設備為液壓伺服疲勞拉伸試驗機，試驗過程中，疲勞拉伸試驗機采用載荷控制，施加正弦波載荷，載荷比為0.02，頻率為2 Hz，最大載荷為25 kN[5]。疲勞裂紋擴展試驗開始之前預制長度約為1 mm預裂紋。在試驗過程中，隨著疲勞裂紋不斷擴展，間斷地不定時記錄裂紋長度a和載荷循環(huán)次數N，直至試件斷裂。

a)試樣尺寸 b)缺口細節(jié)圖1 ECT試件示意圖

2 試驗數據處理

將a-N的對應數據進行處理，計算記錄的a-N數據中相鄰近的a的差值與N的差值之比Δa/ΔN，近似得到疲勞裂紋擴展速率(da/dN)。

求解應力強度因子[6]

式中：P為疲勞載荷；B為試件的厚度；W為試件的寬度；其中α=a/(d/W),其中a為從加載軸線開始的裂紋長度,d為加載軸線到試件邊緣的距離。

當P取最大值時，K為最大值Kmax,當P為最小值0時，K為Kmin,Kmin=0。

歷經風雨之后，方知社會是復雜的，水仙芝不想把它看得更復雜。她想過一種簡單的生活，一種純凈、沒有污染的生活。讀了很多書，她更不相信書，倒相信感覺。

圖2 疲勞裂紋擴展速率曲線

將試驗得到的da/dN和ΔK的數據繪制成的疲勞裂紋擴展速率曲線,如圖2所示。

結構裂紋擴展分析中 ,經典 Paris裂紋擴展公式[7-9]為

da/dN=C(ΔK)m,

式中:ΔK為應力強度因子范圍,ΔK=Kmax-Kmin；C、m為 Paris公式材料常數。

試驗得到的曲線符合Paris模型。

3 有限元模擬求解應力強度因子

與試驗過程一致，使用ANSYS仿真Ⅰ型裂紋的擴展過程。I型裂紋的尖端的應力場具有奇異性，即越靠近裂紋尖端，其應力逐漸地趨向于無窮大[10-12]。但在實際過程中，裂紋尖端應力強度因子為有限值，因此裂紋尖端的應力強度因子的測定非常重要。使用ANSYS 仿真測定裂紋尖端應力強度因子，可以較準確的反映裂紋的擴展與裂紋尖端應力分布的情況。裂紋尖端應力強度因子分別與裂紋的長度、試件結構特征和施加的載荷有關系，通過線彈性斷裂力學的理論可以推導出應力強度因子的計算公式

式中：K1為I型裂紋的應力強度因子；σ為試件在裂紋尖端處的名義應力；a為裂紋長度(從加載軸線開始計算)；Y為與裂紋形狀、加載方式及試件幾何因素有關的參數。

使用ANSYS模擬疲勞裂紋擴展過程，確定不同裂紋長度時的應力分布狀態(tài)，計算應力強度因子。由于裂紋尖端存在塑性區(qū)，在計算裂紋尖端應力分布時，不能完全應用彈性力學方法。而塑性區(qū)又難以確定，所以難以應用常規(guī)的公式計算得到裂紋尖端塑性區(qū)的應力分布，而使用復雜的彈塑性力學沒有相關的計算公式。所以ANSYS軟件通過使用相互作用積分法求解應力強度因子。相互作用積分法通過增加裂紋尖端奇異單元長度，同時奇異單元的角度在9°～45°時計算值保持相對穩(wěn)定，可以增加計算效率，通過建立裂紋尖端的輔助場獲取裂紋尖端的應力強度因子。相較于位移外推法和積分方法，這種方法的計算效率更高，結果更精確。

3.1 材料常數

高強度低合金鋼是低碳鋼，使用ANSYS仿真時，首先進行材料常數的設定，其彈性模量設定為200 GPa，泊松比為0.29，屈服極限為690 MPa。

3.2 網格劃分

圖3 ECT試件的網格劃分

在仿真過程中，由于試件在厚度方向應力分布差別不大，對裂紋尖端應力強度因子的計算影響比較小，可以忽略試件的厚度[13]，簡化成平面模型。選擇使用Plane 183單元進行試件薄板的疲勞裂紋應力強度因子的計算模擬。為得到更為精確的計算結果，將裂紋尖端的網格劃分的較密集，其他部分的網格劃分相對稀疏。網格劃分結果如圖3所示。

圖4 裂紋尖端處網格劃分

在對裂紋尖端進行網格劃分時，需要考慮到裂紋尖端的奇異性[14]。ANSYS模擬裂紋尖端的奇異性時，對裂紋尖端網格的劃分方法不同于其他的網格劃分。首先，將選擇的plane183單元中邊界點從正常位置移至四分之一邊長處，且各個邊結點均向裂紋尖端靠攏，然后，確定裂紋尖端點，圍繞著裂紋尖端劃分多圈單元，同時確定裂紋尖端的每一圈單元半徑與第一圈單元半徑之比,最后，在規(guī)定裂紋尖端的節(jié)點位置建立局部坐標系，x軸指向裂紋的擴展方向，y軸指向裂紋面的法向，z軸指向裂紋前緣的切向。裂紋尖端網格劃分和局部坐標系的建立如圖4所示。

3.3 施加載荷

在施加載荷過程中，為了使ANSYS仿真的邊界條件和施加載荷更加貼近試驗條件，在試件兩端的圓孔內施加載荷和約束[15-16]，其中一個圓孔內施加載荷在單元節(jié)點上，另一個在圓孔內側施加約束。利用ANSYS軟件分別計算在裂紋擴展階段不同裂紋長度時的應力強度因子，依次是1.0、1.5、2.0、2.5、3.0 mm、……,直至裂紋發(fā)生失穩(wěn)斷裂的長度。

記錄裂紋尖端應力強度因子，間隔0.5 mm。計算最終得到裂紋尖端的應力強度因子，同時得到裂紋尖端的應力分布，裂紋長度為12.5 mm時裂紋尖端應力分布，如圖5所示(圖中單位為MPa)，材料的屈服極限為690 MPa，超過此數值的部分為裂紋尖端塑性區(qū)。裂紋尖端裂紋長度與應力強度因子的關系曲線，如圖6所示。

圖5 裂紋長度為12.5 mm時裂紋尖端的應力分布

圖6 a和ΔK的關系

4 建立a-N的函數模型

在疲勞裂紋擴展過程中，a-N的關系可以近似的描述為指數函數關系。使用MATLAB建立a-N的函數模型進行疲勞裂紋擴展的a-N關系計算[17-18]。將離散試驗數據輸入MATLAB中,確定a-N曲線的公式[19-20]為:

式中：ai為第i步裂紋長度；Ni為裂紋長度為ai時載荷循環(huán)周數；Ni+1為裂紋長度為ai+0.5時載荷循環(huán)周數;mi為第i步的裂紋擴展參數。

m=C′vn,

用最小二乘法擬合參數，求得斜率和截距，即lnC′、n，如圖7所示。根據m-v關系式得到m的值，最終得到的a-N的指數關系曲線如圖8所示。

圖7 最小二乘法擬合求解材料參數C′、n 圖8 a-N函數關系曲線

5 結果分析

圖9 不同方法速率曲線比較

如圖9所示，通過對Ⅰ型裂紋的應力強度因子Ansys仿真結果與函數模型相結合所得疲勞裂紋擴展速率曲線與函數模型單獨擬合所得速率曲線分析對比，證明了Ansys仿真結果與函數模型相結合所得結果更為接近Paris模型，更貼近工作狀態(tài)下的疲勞裂紋擴展規(guī)律，對機械結構疲勞可靠性的估測的準確性更好。

6 結論

1)將Ansys仿真所得的應力強度因子與Matlab數值計算(函數模型)相結合所得疲勞裂紋擴展速率曲線較指數模型擬合出的速率曲線更加貼近Paris模型。

2)有限元仿真所得疲勞裂紋應力強度因子和裂紋尖端應力的分布符合試驗的推論，有限元仿真結果可以為試驗和理論分析提供很好的參考依據。

3)Ansys仿真所得的應力強度因子與Matlab數值計算(函數模型)相結合所得疲勞裂紋擴展速率曲線為分析同類材料的疲勞裂紋擴展速率提供了參考，對分析機械結構的疲勞可靠性具有重要意義。

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