王艷蘭，梁忠民，蔣曉蕾，王 軍，李彬權(quán)

(河海大學(xué)水文水資源學(xué)院，江蘇南京210098)

0 引 言

洪水預(yù)報是防汛調(diào)度的重要決策依據(jù)。但洪水預(yù)報過程中存在著眾多不確定性因素，導(dǎo)致洪水預(yù)報結(jié)果的不確定性[1- 2]。為此，提供洪水概率預(yù)報，不僅可以估計發(fā)生超過某一量級洪水的概率、提供置信區(qū)間以評估洪水預(yù)報的可靠度；而且還可以類似于確定性模型的定值預(yù)報，提供分位數(shù)預(yù)報(如均值或中位數(shù))，為防洪調(diào)度提供更豐富的預(yù)報信息，以提高洪水預(yù)報能力。

在水文不確定性分析及洪水概率預(yù)報中，貝葉斯理論得到較多研究與應(yīng)用[3-5]。美國學(xué)者Krzysztofowicz等[4]提出的貝葉斯預(yù)報系統(tǒng)(Bayesian Forecasting System，BFS)，在確定性預(yù)報的基礎(chǔ)上耦合貝葉斯方法實現(xiàn)概率預(yù)報。其中，水文不確定性處理器[5](Hydrologic Uncertainty Processor，HUP)是BFS的重要組成部分。它對實測及預(yù)報流量過程經(jīng)過亞高斯正態(tài)分位數(shù)轉(zhuǎn)化后的系列進行了線性-正態(tài)假設(shè)，進而推求出預(yù)報量后驗分布的解析表達。王善序[6]系統(tǒng)地介紹了BFS方法體系，認(rèn)為其能綜合考慮各種隨機因素對水文預(yù)報的影響，能與任意的水文模型進行耦合；同時，也指出該法只適用于線性-正態(tài)假設(shè)條件。張宇等[7]在新安江模型預(yù)報結(jié)果的基礎(chǔ)上，采用HUP實現(xiàn)概率預(yù)報，并認(rèn)為不同量級洪水概率預(yù)報后驗分布的Cv不同，Cv一般隨流量增大而減小，因此有利于洪峰的概率預(yù)報。邢貞相等[8]采用BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建先驗分布和似然函數(shù)，能較好地模擬水文過程的非線性特征，并用MCMC方法求解得到概率預(yù)報結(jié)果。此法雖可以描述水文過程的非線性特征，但仍需進行正態(tài)假定。為此，劉章君等[9]構(gòu)建了Copula-BFS模型，利用Copula函數(shù)描述流量先驗分布及似然函數(shù)并推導(dǎo)了解析表達式，通過數(shù)值方法求解后驗分布，不需要進行線性-正態(tài)假設(shè)。近年來，一些研究表明，不同流量量級的預(yù)報不確定性存在差異，Todini等[10]提出了模型條件處理器(Model Conditional Processor，MCP)，采用截斷正態(tài)聯(lián)合分布(Truncated Normal Joint Distributions，TNDs)[11]表征不同流量量級時預(yù)報值與實測值的關(guān)系，其本質(zhì)亦是一種貝葉斯方法。

本文以嘉陵江(射洪—小河壩斷面)為研究區(qū)域，采用MCP方法進行概率預(yù)報研究。選擇新安江模型作為確定性模型以提供初始預(yù)報結(jié)果，根據(jù)實測及初始預(yù)報數(shù)據(jù)，估計不同量級預(yù)報變量的條件概率分布，實現(xiàn)概率預(yù)報。

1 方法原理

MCP是基于洪水測量信息與確定性模型預(yù)報信息的聯(lián)合概率分布，通過非參數(shù)變換技術(shù)，將預(yù)測不確定性投影至正態(tài)空間中，在Bayes理論框架下，可以推求預(yù)報量的條件概率分布函數(shù)。同時，通過點繪初始預(yù)報值與實測值的分位數(shù)關(guān)系圖，發(fā)現(xiàn)高流量的離散程度較低流量更低，點據(jù)更集中，為此采用截斷正態(tài)分布(TNDs)的方法來描述不同量級洪水預(yù)報誤差的差異，最終推求得不同量級預(yù)報水位或流量的條件概率分布，并將其求得的分位數(shù)反變換到原始空間以實現(xiàn)洪水概率預(yù)報。

1.1 MCP原理

(1)

(2)

(3)

其均值和方差為

(4)

在正態(tài)空間里估計得到預(yù)報量的條件概率密度函數(shù)后，再通過逆變換得到其任一分位數(shù)在原始空間中對應(yīng)的變量值。即，預(yù)報流量值。

1.2 分段聯(lián)合正態(tài)分布

在MCP方法[10]中，引入截斷正態(tài)分布(TNDs)以處理預(yù)報誤差的異方差性問題，在正態(tài)空間通過點繪實測系列和初始預(yù)報系列轉(zhuǎn)換值的關(guān)系圖可知，高流量和低流量的離散程度是不同的，且存在較為明顯的分界點；因此可分段考慮。即，假設(shè)在正態(tài)空間的聯(lián)合分布不是唯一的，可以將聯(lián)合分布分為兩個(或多個)TNDs。

(5)

(6)

式中，m和s是非截斷分布的均值和標(biāo)準(zhǔn)差。

(7)

(8)

(9)

均值和方差為

(10)

根據(jù)上述推求的條件概率密度函數(shù)及其分布特征，即可實現(xiàn)洪水的概率預(yù)報。

表1 新安江模型確定性預(yù)報精度統(tǒng)計

2 應(yīng)用實例

射洪-小河壩區(qū)間流域位于嘉陵江支流的涪江流域，小河壩是其出口控制站。該區(qū)間流域面積5 846 km2，河道長185 km，流域如圖1所示。本文首先采用新安江模型得到小河壩站的確定性洪水預(yù)報結(jié)果，再采用MCP方法推求以該確定性預(yù)報為條件的預(yù)報量的概率分布，實現(xiàn)小河壩站的洪水概率預(yù)報。

圖1 射洪—小河壩區(qū)間流域示意

2.1 基于新安江模型的確定性預(yù)報

新安江模型[12]是一個分散式的概念性水文模型，已廣泛應(yīng)用于我國濕潤和半濕潤地區(qū)的洪水預(yù)報。本次選用1980年～2003年的降雨、蒸發(fā)和流量資料進行模型的率定與驗證，其中使用最近的6年資料進行了日模型的率定，選取了較大的8場洪水進行次洪模型率定，采用2001年和2003年的2場洪水進行模型驗證。計算步長Δt=6 h，洪水預(yù)報精度統(tǒng)計結(jié)果見表1。

從表1可知，洪峰和洪量誤差均在20%以內(nèi)，率定期和驗證期的確定性系數(shù)均大于0.8，表明新安江模型具有較高的預(yù)報精度。

2.2 MCP方法應(yīng)用

表2 y和的對數(shù)威布爾分布參數(shù)估計值

圖經(jīng)驗點分布與相應(yīng)的對數(shù)威布爾分布

率定與檢驗洪號置信度90%的預(yù)報區(qū)間覆蓋率CR/%離散度DI實測洪峰/m3·s-1Q50洪峰預(yù)報/m3·s-1Q50洪峰誤差/%Q50確定性系數(shù)率定19800625[5390，9500]80770655650613986609819820705[5270，9270]76620565530599584009819850904[6290，11200]963006776007176-55809919870716[7060，12600]97960557740806441809919950809[8570，15400]7931065103009808-47709319970813[6330，11200]794905074807225-34109919980817[13600，25000]60000461880015651-167509519990814[3350，5750]905706446903790-1918083驗證20010816[7150，12800]648605682708168-12309520030827[6960，12400]876706277007954330095

2.3 結(jié)果分析

將前述10場洪水的新安江模型預(yù)報結(jié)果與實測值作為MCP模型的輸入，實現(xiàn)洪水概率預(yù)報，并采用熊立華等[15]提出的區(qū)間覆蓋率與離散度兩個指標(biāo)對預(yù)報的可靠度進行評估(區(qū)間覆蓋率越大、離散度越小說明模型預(yù)報的可靠度越高，即不確定性越小)。從表4可以看出，MCP提供的置信度90%的預(yù)報區(qū)間，平均覆蓋率達80%以上，離散度平均低于0.6；如果以概率分布的中位數(shù)作為定值預(yù)報結(jié)果，其精度整體高于新安江模型。圖5和圖6為其中兩場洪水(19850904、20030827)新安江模型、MCP模型預(yù)報結(jié)果與實測流量的對比圖，其中，MCP的結(jié)果是以50%分位數(shù)和90%置信區(qū)間表示。

表3 正態(tài)空間中分位數(shù)回歸方程結(jié)果

圖3 η和 的散點

圖4 η和 的分位數(shù)回歸關(guān)系

MCP通過預(yù)報流量的條件概率密度函數(shù)，所以可以提供具有一定置信度的區(qū)間預(yù)報，對確定性預(yù)報結(jié)果的可靠度進行評估；同時，也可以采用分布的某一分位數(shù)(如中位數(shù))作為定值預(yù)報結(jié)果，豐富了洪水預(yù)報信息。本例中，采用中位數(shù)作定值預(yù)報，與初始的新安江模型預(yù)報結(jié)果相比，其確定性系數(shù)、洪峰誤差都整體有所提高。究其原因，是由于MCP模型考慮了不同量級洪水預(yù)報誤差的差異，將其分段處理；而且，預(yù)報量的條件概率密度函數(shù)是利用貝葉斯理論推導(dǎo)得到，后驗分布所具有的信息耦合功能，一定程度上對預(yù)報產(chǎn)生了修正效果，從而提高了洪水預(yù)報精度。

圖5 19850904號次洪均值預(yù)報及90%置信區(qū)間預(yù)報

圖6 20030827號次洪均值預(yù)報及90%置信區(qū)間預(yù)報

3 結(jié) 語

(1)不同量級洪水，其預(yù)報誤差分布規(guī)律不同。MCP模型現(xiàn)將預(yù)報誤差按流量大小分級，再采用截斷正態(tài)分布估計各量級下的誤差分布函數(shù)，最終推求以確定性預(yù)報為條件的預(yù)報量的概率密度函數(shù)，從而實現(xiàn)洪水的概率預(yù)報。

(2)MCP模型提供的概率預(yù)報具有較好的預(yù)報效果，即較大的區(qū)間覆蓋度和較小的預(yù)報離散度。以MCP模型提供的中位數(shù)預(yù)報作為定值預(yù)報，與新安江模型的預(yù)報相比，其預(yù)報精度整體上有進一步的提升。

(3)MCP模型對確定性預(yù)報模型不需附加任何限定，即可與任意的確定性模型相耦合以實現(xiàn)洪水概率預(yù)報。但為公式推導(dǎo)方便，對流量系列進行了正態(tài)分位數(shù)變換和反變換處理，一定程度上可能引入估計誤差，有待進一步研究。

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