吳紅英, 朱 萱, 楊 令
2015年6月,一條“長沙股民4倍配資、全倉中車,兩天賠光跳樓”的消息,讓股民無法平靜,擁有天使和魔鬼雙重血統(tǒng)的場外配資要了他的命.從技術(shù)層面來說,投資失敗導(dǎo)致跳樓的關(guān)鍵原因是對配資炒股這種高回報、高風(fēng)險投資行為缺乏正確的評估和風(fēng)險管理技能.炒股的目的一般有風(fēng)險對沖、套利機會和投機,顯然跳樓投資人是典型的投機者,風(fēng)險管理尤為重要.精確的風(fēng)險管理需要較為復(fù)雜的數(shù)學(xué)工具和較高的計算手段.
設(shè)r,σ,δ分別為股票價格的無風(fēng)險利率、市場波動率和分紅強度,則股票價格St服從隨機微分方程(SDE)
其中Wt為標準Brownian運動.假定股民自己出資q,再從配資公司借貸kq買入一支股票,其股價正好為S=(1+k)q,此時配資率(杠桿率)為1∶k.股民與配資公司訂立4項合同條款:(1)借貸利率為γ,合同到期日為T,當前日期記為0.(2)如果在[0,T]時間內(nèi),股票價格降至kqeγt,股票自動平倉,股民資金全部虧損,配資公司收回本金與利息kqeγt.(3)如果在[0,T]時間內(nèi),股票價格升至μq,股票自動平倉,配資公司收回本金與利息kqeγt,股民資金收益為 μq-kqeγt-q=(μ-1)q-kqeγt.這里總是假定 μq>kqeγt+q,設(shè)定 μ 的初衷是防范估計被高估的風(fēng)險,當股價高到一定程度時及時退市.(4)在到期日,配資公司收回本金與利息kqeγt,股民收入為ST-kqeγt.
杠桿炒股具有股票借貸的某些特征[1,2],也具有期權(quán)的一些基本要素[3-6],本文采用隨機分析和Black-Scholes-Merton偏微分方程來建模,同時設(shè)計有限差分格式求解,同時給出數(shù)值算例進行必要的討論.
首先考慮收益狀況.股民在到期日的收益支付可以看作股票看漲期權(quán)收益,即 h(T,ST)=(ST-kqeγt-q)+,(·)+表示取正部函數(shù),而股民在任意t時刻的貼現(xiàn)收益期望為
在 Black-Scholes-Merton 分析框架上(見文獻[3,4]),股民收益期望 V(t,St=S)滿足偏微分方程(PDE)
這里S為啞變量,不再是時間的函數(shù).同時加上終端條件
考慮到合同條款(2)(3),我們必須加上邊界條件
PDEs(3)(4)(5)和(6)構(gòu)成所謂的歐式看漲障礙期權(quán).
再來討論風(fēng)險度量.股民在到期日的風(fēng)險支付可以看作股票看跌期權(quán)收益,即h~(T,ST)=(q+kqeγt-ST)+,而股民在任意t時刻的貼現(xiàn)風(fēng)險期望為
與收益分析類似,股票風(fēng)險期望V(t,St=S)滿足PDE
和終端條件
考慮到合同條款(2)(3),我們同樣加上邊界條件
PDEs(8)(9)(10)和(11)構(gòu)成所謂的歐式看跌障礙期權(quán).
已知零時刻股票價格S0并給定配資率k,股民投入資金數(shù)量,此時股民收益率R、風(fēng)險率R和風(fēng)險收益比λ可分別定義為
R,R和λ都是無量綱的,R表示單位投入的收益,R表示單位投入的風(fēng)險,λ則表示單位收益所面臨的風(fēng)險大小.R,R和λ對配資率k較為敏感,同時與借貸利率γ有關(guān),應(yīng)該是股民最為關(guān)注的數(shù)量指標.
計算收益期望的PDE(3)-(6)可用有限差分方法來求解.定義固定時間網(wǎng)格
和移動空間網(wǎng)格
運用中心差分的隱式格式離散PDE(3)得到
其中 Vi,j為 Vi,j在時間層 Vi-1上的插值函數(shù).對離散系統(tǒng)(13)進行整理,依次關(guān)于時間節(jié)點 i=M,M-1,…,1 有
其中
加上終端條件和邊界條件
線性方程組(14)可按時間反向演化求解.同理計算風(fēng)險期望的PDE(8)-(11)也可用有限差分方法來求解,方法類似,這里不再贅述.
表1 不同配資率對收益和風(fēng)險的影響
取無風(fēng)險利率r=0.05(年利率),股價波動率σ=0.5,初始股價S0=10(元),借貸利率γ=0.07,到期時間T=1(年),其它參數(shù)為q=S0/(1+k),μ=6,M=1000,N=1000.
表1列出了有限差分方法的部分計算結(jié)果.從表中看到,隨著配資率k的增加,單位資本的收益(R)先增后降;在較低配資水平下確實能增加股民期望收益,這正是股民涉足場外配資炒股的動力所在;但在較高配資水平下,由于面臨高額借貸利息,股民期望收益必然受損.同時我們也看到,隨著配資率k的增加,單位資本的風(fēng)險(R)先增后降;高配資高風(fēng)險不難理解;配資水平達到一定程度以后,股民投入很少,風(fēng)險自然會減低,其余風(fēng)險已經(jīng)轉(zhuǎn)嫁給配資公司.單位收益所面臨的風(fēng)險λ總是在提高,這說明風(fēng)險增長速度快于收益增長速度.另外從表中我們也能看到高收益高風(fēng)險的投資特征.
從以上分析看出,本文提出的股票配資模型基本體現(xiàn)了借貸炒股的主要特征,實際數(shù)值計算結(jié)果能夠給出股民最為關(guān)心的數(shù)量指標,具有很強的實用價值.
[1]X.P.Lu and E.R.M.Putri.Semi-analytic valuation of stock loans with finite maturity[J].Commun Nonlinear Sci Numer Simulat,2015,27:206-215.
[2]X.P.Lu and E.R.M.Putri.Fintiematurity margin call stock loans[J].Operations Research Letters,2016,44:12-18.
[3]S.E.Shreve.Stochastic Calculus for Finance I:the Binomial Asset Pricing Model[M].New York:Springer,2003.
[4]S.E.Shreve.Stochastic calculusfor finance II:Continuous-Timemodels[M].Springer Press,2004.
[5]Z.Zhou and X.Gao.Numerical Methodsfor Pricing American Optionswith Time Fractional PDEModels[J].Mathematical Problemsin Engineering,2016:ID 5614950(8 pages).
[6]Z.Zhou and J.Ma.Lattice Boltzmann methodsfor solving PDEsof exotic option pricing[J].Front.Math.China,2016,11:237-254.