郭泓昊 張雅男 李慶芳

(南京信息工程大學(xué)，江蘇 南京 210044)

大學(xué)物理在靜電場章節(jié)中，先是講解了點(diǎn)電荷的電場強(qiáng)度計算方法，然后利用場強(qiáng)疊加原理先后求出均勻帶電圓環(huán)、均勻帶電圓盤等電荷均勻分布的帶電體軸線上的電場分布。而對于均勻帶電球體的電場分布，一般是在講解過靜電場中的高斯定理后，利用高斯定理來求解。因為利用高斯定理求解均勻帶電球體的電場無論從物理概念還是計算方面都是簡單易懂的。課堂上求解均勻帶電圓環(huán)軸線上一點(diǎn)的電場強(qiáng)度，是將其分解為無數(shù)個電荷微元，求每個電荷微元在軸線上的電場矢量和，求解均勻帶電圓盤軸線上電場強(qiáng)度也是相同的方法[1-3]。學(xué)過該方法后，有的同學(xué)想利用這種方法求解均勻帶電球體外的場強(qiáng)分布卻得到了錯誤結(jié)果，但各種教材中沒有給出相關(guān)的推導(dǎo)。查閱了若干文獻(xiàn)，雖然也介紹了求解方法，但這些方法都是先求出圓盤的電勢，然后利用電勢梯度求出場強(qiáng)分布[4-6]。這種方法是靜電場章節(jié)最后的知識點(diǎn)，而且還要利用泰勒展開來討論電場分布。對于初學(xué)靜電場知識的同學(xué)，有一定的難度，理解上也不如電荷微元疊加方法簡單。為此，本文作者根據(jù)自己的理解，將符號函數(shù)引入均勻帶電圓盤電場計算公式，然后利用該公式，根據(jù)電場疊加原來推導(dǎo)出均勻帶電球體的電場分布。雖然數(shù)學(xué)計算略微復(fù)雜，但物理概念清晰，有利于同學(xué)理解微元法在物理中的應(yīng)用。

1 疊加法求解均勻帶電球體場強(qiáng)

大學(xué)物理教材中對于求解均勻帶電球體在空間中產(chǎn)生的靜電場，一般是利用高斯定理求解[3]。已知球體半徑為R，電荷體密度為ρ，與球心距離為r的場點(diǎn)處，其電場強(qiáng)度大小為

(1)

大學(xué)物理課本中，在講解高斯定理求解電場強(qiáng)度之前，是利用對電荷微元在場點(diǎn)的電場強(qiáng)度求矢量和來計算不同帶電體的電場[3]。筆者并不滿足于直接由高斯定理求解均勻帶電球體在空間中產(chǎn)生的場強(qiáng)大小，也利用上述方法計算均勻帶電球體產(chǎn)生的電場，計算過程如下。

如圖1所示，以球心為坐標(biāo)原點(diǎn)建立坐標(biāo)系。令所求場點(diǎn)P位于坐標(biāo)軸Z軸上，且坐標(biāo)為(0,0,a)。根據(jù)球體的對稱性，此處只討論上半球體，即a>0。將均勻帶電球體分解成無數(shù)個均勻帶電圓盤體積微元。大學(xué)物理教材中均勻帶電圓盤軸線外一點(diǎn)處場強(qiáng)公式[3]為

(2)

圖1 均勻帶電半球示意圖

式中，σ為圓盤電荷面密度;R為圓盤半徑;x表示圓盤軸線上的場點(diǎn)位置。利用公式(2)可以求出均勻帶電球體分解出的每一個均勻帶電圓盤體積微元在P點(diǎn)產(chǎn)生的電場強(qiáng)度dE。

(3)

經(jīng)計算，得到結(jié)果

(4)

顯見，當(dāng)a>R時，即場點(diǎn)位于球體外，結(jié)果與利用高斯定理計算結(jié)果相同。但當(dāng)0≤a

2 引入符號函數(shù)的均勻帶電圓盤軸線上場點(diǎn)的電場強(qiáng)度

既然推導(dǎo)過程沒有錯誤，那錯誤應(yīng)該出現(xiàn)在所用的公式上。重新檢查均勻帶電圓盤軸線上一點(diǎn)場強(qiáng)公式(2)，發(fā)現(xiàn)如果將其理解為計算得到場強(qiáng)的矢量解，則場強(qiáng)不滿足對稱性，即不滿足E(r)=-E(-r)。原來，公式(2)中的x僅表示坐標(biāo)原點(diǎn)到P點(diǎn)的距離，故得到的場強(qiáng)E始終為正，只表示場強(qiáng)大小。筆者認(rèn)為式(2)中的x為矢量坐標(biāo)，計算得到的E值的正負(fù)可以確定場強(qiáng)方向，這才導(dǎo)致錯誤結(jié)果。但課堂中，老師強(qiáng)調(diào)電場強(qiáng)度是一個矢量，能否利用公式計算出的場強(qiáng)就是矢量呢？筆者試圖自己推導(dǎo)出均勻帶電圓盤軸線上一點(diǎn)場強(qiáng)矢量計算結(jié)果。

圖2 均勻帶電圓盤示意圖

如圖2所示，設(shè)圓盤半徑R，電荷面密度為σ，令圓盤中心到軸線一點(diǎn)P的距離用一帶有符號的標(biāo)量r0表示，r0的符號選取原則為，設(shè)定圓盤一側(cè)的場點(diǎn)與圓盤中心的距離為正，則另一側(cè)為負(fù)。根據(jù)均勻帶電圓環(huán)軸線上場強(qiáng)公式可得某一圓環(huán)微元在P點(diǎn)產(chǎn)生的場強(qiáng)為

(5)

圖3 3種情形(a) 體積微元圓盤位于場點(diǎn)下側(cè); (b) 場點(diǎn)位于圓盤體積微元中心; (c) 體積微元圓盤位于場點(diǎn)上側(cè)

式中,r為選取的圓環(huán)微元的半徑。考慮到dq=σ2πrdr，對整個圓盤積分，可得

(6)

代入上下限，可求出均勻帶電圓盤軸線上一點(diǎn)場強(qiáng)為

(7)

經(jīng)過整理，利用符號函數(shù)[7]，得到均勻帶電圓盤軸線上一點(diǎn)的電場強(qiáng)度計算式

(8)

無論圓盤帶電量是正還是負(fù)，其兩側(cè)的電場強(qiáng)度方向一定相反。則求解場點(diǎn)與圓盤中心的距離為正的一側(cè)的電場強(qiáng)度時，上式中sgn(r0)=1，反之，sgn(r0)=-1。如此，根據(jù)式(8)計算均勻帶電圓盤軸線上一點(diǎn)電場場強(qiáng)，可以滿足E(r0)=-E(-r0)，即圓盤兩側(cè)距圓盤中心相同距離的兩個場點(diǎn)，其電場強(qiáng)度大小相等，方向相反。同時，由于符號函數(shù)定義了sgn(0)=0，所以利用式(8)求解圓盤中心的電場強(qiáng)度為零，而利用式(2)計算時，中心場強(qiáng)不為零，這也說明了式(2)的局限性。與式(2)相比，式(8)中將圓盤中心到場點(diǎn)的距離用符號函數(shù)來代替，這樣就可以清楚地表示出當(dāng)場點(diǎn)位于圓盤不同側(cè)面時，場點(diǎn)的電場強(qiáng)度方向與圓盤之間的相對關(guān)系。筆者查閱了許多大學(xué)物理教材，雖然有部分教材對此有說明[8，9]，但絕大多數(shù)教材中均勻圓盤軸線上的電場強(qiáng)度計算公式仍采用式(2)計算，并且對公式(2)中的x定義不明確，有的只在圖中標(biāo)出x，很容易使讀者誤解距離x為P點(diǎn)的矢量坐標(biāo)，而利用公式(2)也只求解出場強(qiáng)大小，其方向還需另行說明[8，9]。也有其他的方法來計算均勻圓盤軸線上的電場強(qiáng)度[10]，但式(8)給出的結(jié)果，更為簡單，清晰。

既然得到了更為準(zhǔn)確的均勻圓盤軸線上的電場強(qiáng)度計算式，利用其重新求解均勻帶電球體內(nèi)一點(diǎn)電場強(qiáng)度，驗證一下結(jié)果是否正確。

3 疊加法求解均勻帶電球體場強(qiáng)

如圖3所示，仍取圖1所示坐標(biāo)系，考慮P位于球體內(nèi)且在z軸正半軸的情況。對于組成球體的任意均勻帶電圓盤微元會出現(xiàn)3種情況：帶電圓盤微元在P上側(cè)，即z>a；帶電圓盤微元中心與P重合，即z=a；帶電圓盤微元在P下側(cè)，即z

如前所述，將式(8)中相關(guān)物理量變換，統(tǒng)一積分變量，可以得到均勻帶電球體的場強(qiáng)求解式。因為式(8)中有符號函數(shù)，而根據(jù)前文分析，可以用積分變量z來判斷所求場點(diǎn)位于當(dāng)前圓盤微元的上側(cè)還是下側(cè)，即用z來確定符號函數(shù)的取值。

利用圓盤微元求解均勻帶電球體場強(qiáng)，積分變量的范圍為-R～R。如圖3所示，將圓盤微元分成在場點(diǎn)上側(cè)和下側(cè)后，利用式(8)可將式(3)變換為

(9)

不同位置的圓盤位于場點(diǎn)的不同側(cè)，當(dāng)z的積分范圍為-R～a時，圓盤微元位于所求場點(diǎn)P的下側(cè)，r0符號與a-z同為正，如圖3(a)所示；當(dāng)z的積分范圍為a～R時，圓盤微元位于所求場點(diǎn)P的上側(cè)，r0符號與a-z同為負(fù)，如圖3(c)所示。

4 結(jié)語

先計算出帶電微元在場點(diǎn)產(chǎn)生的電場強(qiáng)度，然后對帶電體求場強(qiáng)的矢量和。利用這種場強(qiáng)疊加法求解電荷均勻?qū)ΨQ分布的帶電體的電場是大學(xué)物理教學(xué)中的重要內(nèi)容。根據(jù)現(xiàn)有大多數(shù)教材給出的均勻帶電圓盤軸線場強(qiáng)計算式(2)，由于說明不清，很容易會錯誤的理解為場強(qiáng)的矢量結(jié)果，因此，得到的均勻帶電球體場強(qiáng)也是錯誤的。本文引入符號函數(shù)，重新推導(dǎo)了均勻帶電圓盤軸線場強(qiáng)計算式。該公式不僅可以計算出場強(qiáng)的大小，也清楚的表示出場強(qiáng)相對于圓盤的方向。根據(jù)場強(qiáng)疊加法利用該公式求解均勻帶電球體的電場分布，得到了正確的結(jié)果。若大學(xué)物理教材中對均勻帶電圓盤軸線上一點(diǎn)場強(qiáng)公式進(jìn)行補(bǔ)充說明，或采用式(8)代替式(2)，雖然改動微小，但表達(dá)清晰準(zhǔn)確，體現(xiàn)了學(xué)習(xí)物理知識的嚴(yán)謹(jǐn)性。

[1] 程守珠，江之永. 普通物理學(xué)上冊[M]. 6版. 北京:高等教育出版社，2006.

[2] 張三慧. 大學(xué)物理學(xué)第三冊[M]. 2版. 北京:清華大學(xué)出版社，1999.

[3] 詹煜，張成義. 大學(xué)物理教程(下冊)[M]. 2版. 北京：科學(xué)出版社，2011.

[4] 周海英. 均勻帶電薄圓盤的電場[J]. 大學(xué)物理，2005，24(11): 31-34.

Zhou Haiying. The electric field of a uniformly charged thin disk[J]. College Physics, 2005, 24(11): 31-34. (in Chinese)

[5] 吳崇試. 均勻帶電圓盤電場的靜電勢問題[J]. 大學(xué)物理，2000，19(11): 1-4.

Wu Chongshi. Electrostatic potential of electric field on a uniformly charged disk[J]. College Physics, 2000, 19(11): 1-4. (in Chinese)

[6] 吳崇試，張之翔. 軸對稱荷電圓盤的靜電勢[J]. 大學(xué)物理，2000，19(12): 5-8.

Wu Chongshi, Zhang Zhixiang. Electrostatic potential of an axially symmetric charged disk[J]. College Physics, 2000, 19(12): 5-8. (in Chinese)

[7] 李剛，王順鳳，朱鳳琴，等. 高等數(shù)學(xué)(上)[M]. 北京:高等教育出版社，2010.

[8] 惠和興，鄭錫璉. 普通物理學(xué)(2)[M]. 北京:北京理工大學(xué)出版社，1997.

[9] 盧德馨. 大學(xué)物理學(xué)[M]. 北京:高等教育出版社，1998.

[10] 李瑾. 均勻帶電圓盤電場的研究[J]. 陜西學(xué)前師范學(xué)院學(xué)報，2014，30(5): 123-125.

Li Jin. Study of electric field of uniform charged disk[J]. Journal of Shaanxi Preschool Teachers College, 2014, 30(5): 123-125. (in Chinese)