蔡子星

(北京質(zhì)心教育科技有限公司，北京 100088)

變分法為理論力學(xué)中的歐拉-拉格朗日方程提供了基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)形式，是現(xiàn)代物理學(xué)的常用的數(shù)學(xué)工具。其理論本身因應(yīng)用廣泛、形式簡(jiǎn)約，被作為本科生必修內(nèi)容。由于理解變分法本身并不涉及復(fù)雜的微積分運(yùn)算，同時(shí)理解變分法對(duì)清晰地認(rèn)知一大類問(wèn)題的物理圖像很有幫助，因此在中學(xué)生物理競(jìng)賽大綱添加了微積分的要求以及大學(xué)先修課不斷普及的情況下，將變分內(nèi)容作為對(duì)部分有特長(zhǎng)的學(xué)有余力的中學(xué)生的補(bǔ)充課外教學(xué)材料引入教學(xué)實(shí)踐，成了一種可能的嘗試。

拋開(kāi)變分問(wèn)題嚴(yán)格的定義不談，狹義的變分問(wèn)題可以這樣形象的理解(嚴(yán)格的數(shù)學(xué)定義可以參考文獻(xiàn)[1])。令

其中，y(x)是定義在[x1,x2]上的可導(dǎo)函數(shù)；I(y)是從滿足定義的函數(shù)y(x)到實(shí)數(shù)域上的映射。當(dāng)y取到y(tǒng)(x)和其靠近的函數(shù)y(x)+δy(x)的時(shí)候，I的值變化δI相比δy是一個(gè)“高階小量”，我們就記δI=0，表明y(x)是I的一個(gè)極值點(diǎn)。

一類物理問(wèn)題都可以用變分進(jìn)行表述，比如連續(xù)體靜力平衡時(shí)勢(shì)能取極值，邊界固定的肥皂泡會(huì)形成面積最小形態(tài)，幾何光學(xué)中光走光程極值路徑，在固定的勢(shì)場(chǎng)下一個(gè)經(jīng)典粒子的真實(shí)路徑會(huì)使得作用量取極值。本文就針對(duì)這個(gè)例子進(jìn)行討論，并給出解答和指出這幾個(gè)模型中一些細(xì)節(jié)上的差異。在教學(xué)實(shí)踐中，針對(duì)這幾個(gè)問(wèn)題，從建立模型，尋找對(duì)稱性，尋找約束條件，類似遷移等幾個(gè)方向啟發(fā)學(xué)生思維。

1 建立模型和解答

問(wèn)題一將一根長(zhǎng)度為L(zhǎng)，單位長(zhǎng)度質(zhì)量為λ的柔軟的不可伸長(zhǎng)的鏈條，在勻強(qiáng)重力場(chǎng)g中，兩個(gè)端點(diǎn)分別掛在坐標(biāo)為(x1,y1)和(x2,y2)的點(diǎn)上，求平衡時(shí)繩子的形態(tài)y(x)。

(1)

滿足δI=0，y(x1)=y1;y(x2)=y2。這個(gè)問(wèn)題被稱為懸鏈線問(wèn)題。在許多理論力學(xué)書(shū)上都有討論[2]。

問(wèn)題二在空間中有兩個(gè)圓環(huán)，都平行于y-z平面，圓心的x坐標(biāo)分別為x1，x2，半徑分別為y1，y2。在兩個(gè)圓環(huán)之間有一層肥皂膜，在兩個(gè)圓環(huán)處開(kāi)口，內(nèi)外聯(lián)通。求平衡時(shí)肥皂膜的形狀。

這4個(gè)問(wèn)題的都可以歸結(jié)為解式(1)。代入歐拉-拉格朗日方程

得到

這個(gè)微分方程可以直接求解，得到

(2)

其中A,b是由初始條件確定的兩個(gè)待定常數(shù)。然而實(shí)際上不同中學(xué)生對(duì)微分方程的掌握程度有所不同，通過(guò)問(wèn)題四的求解可以降低對(duì)微分方程要求。對(duì)于問(wèn)題四，x方向動(dòng)量守恒，在y方向受力為

α2y

由牛頓第二定律

α2y

這個(gè)方程的解是熟知的，為

y(t)=Aev0α t+Be-v0α t

在x方向上x(chóng)(t)=vx0t，消去時(shí)間后得到軌道方程為

通過(guò)初始條件

vx0=v0αy1cosα

其中α是初態(tài)粒子運(yùn)動(dòng)方向和x軸夾角，以及y′(x1)=tanα，可以將軌道方程化成式(2)的形式。這樣問(wèn)題一到問(wèn)題四都可以通過(guò)簡(jiǎn)單的運(yùn)算得到。

2 對(duì)稱性的應(yīng)用

問(wèn)題四之所以比較簡(jiǎn)單，原因在于使用了體系在x方向上的平移不變性，即x方向動(dòng)量守恒。這個(gè)對(duì)稱性在式(1)中的表現(xiàn)在于F(x,y,y′)不顯含F(xiàn)(x)，這樣代入哈密頓方程有

(3)

(4)

F(s)-F(0)=λgds(y(0)-y(s))

(5)

對(duì)從0到s這一段繩子水平方向受力平衡得到

F(s)cosα=F(0)

(6)

對(duì)于問(wèn)題二可以對(duì)從x1到x之間的那一段液體沿x方向的受力平衡得到

2×2πycosα=C

對(duì)于問(wèn)題三就更加顯然，連續(xù)利用折射定律得到

n(y)cosα=C

即與式(3)等效。從這些例子我們可以看出，這些對(duì)稱性歸根結(jié)底來(lái)源于平移不變性，訓(xùn)練學(xué)生發(fā)現(xiàn)這樣的對(duì)稱性也是重要的教學(xué)目的之一。

3 問(wèn)題的推廣和約束條件的影響

如果仔細(xì)考慮這4個(gè)問(wèn)題，可以發(fā)現(xiàn)問(wèn)題一實(shí)際上和其他3個(gè)問(wèn)題不同，因?yàn)樵诘谝粋€(gè)問(wèn)題中有約束條件繩長(zhǎng)不變

和原來(lái)的方程相比只需要讓y變成y+λ就得到解，也就是只是在y方向平移，對(duì)求解過(guò)程沒(méi)有太大影響。

θ

對(duì)應(yīng)的哈密頓方程為

整理得到

于是軌跡方程為ρ=Ae±κ θ，其中A,κ是由初始條件確定的常數(shù)。然而這個(gè)解對(duì)問(wèn)題一是無(wú)效的。例如拉格朗日乘子法得到

整理得到

解得

作為對(duì)學(xué)生的訓(xùn)練，一方面可以啟發(fā)學(xué)生從平移不變性推廣到旋轉(zhuǎn)不變性，對(duì)問(wèn)題一使用虛功原理和力矩平衡得到方程，對(duì)問(wèn)題三利用正弦定理和折射定律得到方程，對(duì)問(wèn)題四用角動(dòng)量守恒加比奈方程得到方程。另一方面可以啟發(fā)學(xué)生看到約束條件對(duì)結(jié)果的影響。

4 結(jié)語(yǔ)

上面我們研究了力學(xué)、光學(xué)中的4個(gè)有趣的問(wèn)題。這些貌似無(wú)關(guān)的問(wèn)題，經(jīng)由變分原理可以統(tǒng)一起來(lái)。我們從問(wèn)題的建模，對(duì)稱性分析和約束條件的引入3個(gè)層面展示了變分原理在這些問(wèn)題中的應(yīng)用。內(nèi)容上我們還設(shè)置了啟發(fā)引導(dǎo)的環(huán)節(jié)，這樣可以更好的提高學(xué)生的分析和思維能力。相信將這一物理學(xué)中的簡(jiǎn)單而深刻的原理通過(guò)有趣的實(shí)例介紹給中學(xué)生，可以讓學(xué)生更早的接觸一些物理思維方面的高級(jí)內(nèi)容，同時(shí)這一原理的美妙和威力也會(huì)給學(xué)生留下深刻印象，從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣和鉆研精神。

[1] 老大中.變分法基礎(chǔ)[M]. 3版.北京：國(guó)防工業(yè)出版社，2015.

[2] 金尚年，馬永利.理論力學(xué)[M].2版.北京：高等教育出版社，2002.

[3] 玻恩M，沃耳夫E.光學(xué)原理[M].7版.楊葭蓀,等,譯.北京：電子工業(yè)出版社，2009.