張鵬飛 喬春紅 馮曉星 黃童 李南 范承玉 王英儉

(中國科學(xué)院安徽光學(xué)精密機(jī)械研究所,大氣成分與光學(xué)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,合肥 230031)

(2017年5月16日收到;2017年7月24日收到修改稿)

1 引 言

高能激光在大氣中傳輸,受到湍流效應(yīng)及非線性熱暈效應(yīng)的影響,嚴(yán)重限制了激光的傳輸質(zhì)量.對(duì)于大氣湍流效應(yīng)引起的光束抖動(dòng)、漂移與擴(kuò)展,使用自適應(yīng)光學(xué)系統(tǒng)的實(shí)時(shí)補(bǔ)償可以明顯改善光束質(zhì)量.然而對(duì)于非線性熱暈效應(yīng)的相位補(bǔ)償,由于存在相位補(bǔ)償?shù)恼答仚C(jī)制[1,2],在一定條件下會(huì)嚴(yán)重限制自適應(yīng)光學(xué)系統(tǒng)對(duì)熱暈效應(yīng)的補(bǔ)償能力.

當(dāng)光束直徑較小時(shí),整束熱暈成為限制非線性熱暈效應(yīng)相位補(bǔ)償?shù)闹饕蛩?但對(duì)于大口徑準(zhǔn)直光束,當(dāng)熱暈主要集中于近口徑位置時(shí),整束熱暈效應(yīng)變得不再明顯,媒質(zhì)中不均勻源造成的光束振幅起伏和相位擾動(dòng)成為影響高能激光湍流熱暈傳輸?shù)闹饕蛩?擾動(dòng)在非線性熱暈效應(yīng)的作用下逐漸放大,這種現(xiàn)象稱為受激熱瑞利散射(STRS)[1,2],在湍流介質(zhì)中的放大現(xiàn)象也可以稱為湍流熱暈相互作用(TTBI)[3].當(dāng)存在自適應(yīng)光學(xué)系統(tǒng)補(bǔ)償時(shí),由于自適應(yīng)光學(xué)系統(tǒng)與主激光之間的正反饋?zhàn)饔?使得這些擾動(dòng)增長(zhǎng)速率高于TTBI或STRS的增長(zhǎng)速率,這種現(xiàn)象稱為熱暈補(bǔ)償不穩(wěn)定性(PCI)[4],這些小尺度擾動(dòng)的發(fā)展程度最終確定了高能激光在大氣中的傳輸效率.

小尺度熱暈的研究主要集中于20世紀(jì)90年代,小尺度熱暈線性理論主要建立于90年代末期,Briggs[5],Karr[3,4,6?8],Chambers[1,2]和Viecelli[1,2]等是主要貢獻(xiàn)者.他們進(jìn)行了大量的數(shù)值模擬及對(duì)比實(shí)驗(yàn)[5,8?11],驗(yàn)證了小尺度熱暈線性理論的正確性,但是這些研究主要針對(duì)Kolmogorov譜大氣湍流.實(shí)際的大氣湍流不總是符合Kolmogorov譜的[12?15],大量的實(shí)驗(yàn)報(bào)道了湍流的non-Kolmogorov譜特征.激光在non-Kolmogorov湍流大氣中傳輸特性[16?19]的研究也已有較多的進(jìn)展,但對(duì)于non-Kolmogorov湍流與熱暈效應(yīng)相互作用的研究相對(duì)較少.本文對(duì)小尺度熱暈理論進(jìn)行了推廣,使其能夠應(yīng)用于non-Kolmogorov湍流大氣中.

2 理 論

在傍軸近似下,高能激光在大氣中的傳輸方程[1?3]可以表示為

式中?為光場(chǎng)函數(shù),k為波矢,z為縱向坐標(biāo),n為折射率,Δ⊥為橫向拉普拉斯算符,t為時(shí)間變量,I為路徑上光強(qiáng)分布,V為大氣風(fēng)速,?為梯度算符;ΓI=α|nT|/ρCP,α為吸收系數(shù),ρ為空氣密度,CP空氣的定壓比熱容,nT為折射率隨溫度變化率.對(duì)方程(1)在拉氏、傅氏域求解可以得到

式中x為二維空域坐標(biāo),κ為二維頻域坐標(biāo),表示傳輸路徑上折射率擾動(dòng)的初始分布,角標(biāo)χ,?分別對(duì)應(yīng)于對(duì)數(shù)振幅及相位.對(duì)應(yīng)的時(shí)域中對(duì)數(shù)振幅及相位擾動(dòng)的格林函數(shù)可以表示為[3,4,20?25]

式中,τ=4k2ΓII0t/κ2,jn為n階球貝塞爾函數(shù).

在自適應(yīng)光學(xué)系統(tǒng)閉環(huán)條件下,時(shí)域中對(duì)數(shù)振幅及相位擾動(dòng)的格林函數(shù)[20?25]可以寫為

對(duì)非均勻路徑上TTBI開閉環(huán)的格林函數(shù)可以通過Wentzel-Kramers-Brillouin[4]近似進(jìn)行推廣.利用自適應(yīng)光學(xué)系統(tǒng)開環(huán)及閉環(huán)條件下的格林函數(shù),對(duì)數(shù)振幅起伏及相位起伏的相關(guān)函數(shù)可以表示為

式中Nw=ΓIIkzt為熱暈半徑,表征一定時(shí)間內(nèi)熱暈引起的相位畸變的程度,單位為rad.對(duì)于平臺(tái)光束,穩(wěn)態(tài)時(shí)熱暈半徑Nw與熱畸變參數(shù)ND的關(guān)系為湍流折射率的相關(guān)函數(shù)可以表示為[26,27]

式中Φn為湍流折射率譜函數(shù).將方程(6)代入方程(5),方程(5)可以化簡(jiǎn)為

對(duì)于non-Kolmogorov湍流,譜函數(shù)[28?32]可以推廣為一般的形式:

式中A(α)=Γ(α?1)cos(απ/2)/(4π2);β(z)為湍流的廣義折射率結(jié)構(gòu)常量,單位為m(3?α);κ0=2π/L0,κm=2π/l0,L0為湍流的外尺度,l0為湍流的內(nèi)尺度,單位為m;α為湍流譜指數(shù),當(dāng)譜指數(shù)為11/3時(shí)對(duì)應(yīng)于Kolmogorov湍流.為計(jì)算簡(jiǎn)便,一般忽略湍流的內(nèi)外尺度影響.

平面波廣義大氣相干長(zhǎng)度可以表示為[31,32]

因此在忽略湍流內(nèi)外尺度的條件下,對(duì)數(shù)振幅及相位起伏的結(jié)構(gòu)函數(shù)可以表示為

光場(chǎng)的結(jié)構(gòu)函數(shù)可以表示為

方程(12)是普遍適用的,只要確定了格林函數(shù),那么光場(chǎng)的結(jié)構(gòu)函數(shù)便確定了.下面對(duì)其分類討論.

1)純湍流效應(yīng)下的結(jié)構(gòu)函數(shù)

在僅考慮湍流效應(yīng)的情況下,方程(3)和(4)可以得到簡(jiǎn)化,在自適應(yīng)光學(xué)系統(tǒng)開環(huán)條件下,

而在自適應(yīng)光學(xué)系統(tǒng)閉環(huán)條件下

當(dāng)自適應(yīng)光學(xué)系統(tǒng)開環(huán)時(shí),將自適應(yīng)光學(xué)系統(tǒng)開環(huán)時(shí)的結(jié)構(gòu)函數(shù)(13)代入方程(12),對(duì)應(yīng)的結(jié)構(gòu)函數(shù)可以表示為

這與文獻(xiàn)[31,32]中結(jié)構(gòu)函數(shù)計(jì)算結(jié)果是一致的.

其中D0為發(fā)射系統(tǒng)孔徑,λ為激光波長(zhǎng),NF為光束菲涅耳數(shù),L為傳輸路徑長(zhǎng)度,NT為湍流菲涅耳數(shù),κDM為變形鏡的截止頻率.一般認(rèn)為變形鏡的截止頻率κDM與驅(qū)動(dòng)器間距d之間滿足κDM=2π/2d[33,34].通常使用驅(qū)動(dòng)器菲涅耳數(shù)來表征小尺度熱暈中自適應(yīng)光學(xué)系統(tǒng)擾動(dòng)源的尺度,其定義為Nd=d2/(λL)[33].

在均勻路徑上將(14)式代入(12)式經(jīng)坐標(biāo)變換得

2)湍流熱暈效應(yīng)下的結(jié)構(gòu)函數(shù)

同時(shí)考慮湍流、熱暈效應(yīng),在開環(huán)條件下,對(duì)于大菲涅耳數(shù)光束而言,Strehl比會(huì)很快趨于0,因此不予考慮.湍流熱暈效應(yīng)閉環(huán)時(shí),對(duì)數(shù)振幅起伏及相位起伏的結(jié)構(gòu)函數(shù)可以將補(bǔ)償?shù)母窳趾瘮?shù)(4)式代入(12)式進(jìn)行求解,然而對(duì)補(bǔ)償后結(jié)構(gòu)函數(shù)的積分進(jìn)行數(shù)值計(jì)算時(shí)具有較強(qiáng)的奇異性,數(shù)值積分是比較復(fù)雜的.Enguehard和Hat fi eld[23,24]指出在驅(qū)動(dòng)器菲涅耳數(shù)較大且熱暈半徑較低時(shí),PCI對(duì)光束質(zhì)量的影響變得不明顯,閉環(huán)的結(jié)構(gòu)函數(shù)可以用開環(huán)的格林函數(shù)在頻率域?yàn)V波來實(shí)現(xiàn).此方法容易得到解析的結(jié)果,因此,閉環(huán)的結(jié)構(gòu)函數(shù)可以表示為

將方程(19)以ε進(jìn)行Taylor展開,Strehl比可以表示為

當(dāng)n+m＞1時(shí),

至此,我們得到了平面波non-Kolmogorov湍流下補(bǔ)償后Strehl比的解析表達(dá)式.

Karr[4]指出,小尺度熱暈線性理論是可以認(rèn)為是光在湍流熱暈中傳輸?shù)腞otov近似.因此,與湍流中對(duì)數(shù)振幅起伏方差做類比,定義湍流熱暈中的對(duì)數(shù)振幅方差為

(22)式在忽略熱暈效應(yīng)的影響時(shí),令n=0,m=0,得到

對(duì)于Kolmogorov大氣湍流,令譜指數(shù)α=11/3,(23)式可以化簡(jiǎn)為σ2χ=0.157N?5/6T.

但是,方程(20)僅為理想的平面波的表達(dá)式,對(duì)于有限孔徑的光束而言,由于風(fēng)場(chǎng)渡越的作用,結(jié)構(gòu)函數(shù)在孔徑的不同位置處對(duì)應(yīng)的熱暈半徑Nw是不同的,因此對(duì)光束質(zhì)量的影響也不同.在上風(fēng)位置處光束質(zhì)量較好,而在下風(fēng)位置處光束質(zhì)量較差.為了得到有限光束的Strehl比,使用Enguehard和Hat fi eld的方法[21],將光斑分成不同的小塊,這些小塊等效為不同熱暈半徑的無限平面波,利用這些小塊的Strehl比平均作為有限孔徑的Strehl比S,使用數(shù)學(xué)描述可以表示為

式中Sr為方程(20)計(jì)算結(jié)果,I0為初始位置處光強(qiáng)分布.

3 湍流譜對(duì)熱暈補(bǔ)償?shù)挠绊懛治?/h2>

圖1給出了湍流菲涅耳數(shù)NT=20,不同湍流譜指數(shù)條件下,方程(24)計(jì)算的Strehl比隨熱畸變參數(shù)的變化.計(jì)算中主激光使用1.3μm波長(zhǎng),發(fā)射口徑1.8 m,均勻路徑傳輸2.5 km,驅(qū)動(dòng)器菲涅耳數(shù)為2.94和15.74.從圖1可以看出:不同湍流譜下,隨著熱畸變參數(shù)的增加,補(bǔ)償效果逐漸變差;當(dāng)湍流譜越接近3時(shí),Strehl比下降越快補(bǔ)償效果越不理想,相反,當(dāng)湍流譜指數(shù)逐漸接近于4時(shí),Strehl比下降越慢,補(bǔ)償效果越好;在文中條件下,PCI不明顯時(shí),使用較小的驅(qū)動(dòng)器菲涅數(shù)的自適應(yīng)光學(xué)系統(tǒng)有較好的補(bǔ)償效果.

圖1 (網(wǎng)刊彩色)相同廣義相干長(zhǎng)度、不同湍流譜條件下Strehl比隨熱暈的變化關(guān)系 (a)Nd=3.94;(b)Nd=15.74Fig.1.(color online)The relationship between Strehl ratio and thermal distortion number under different turbulence spectrum index with same generalized atmospheric coherence diameter:(a)Nd=3.94;(b)Nd=15.74.

給定β=5.92×10?16m3?α為常量,除湍流強(qiáng)度外使用圖1中計(jì)算參數(shù),圖2給出了不同湍流譜條件下,Strehl比隨熱畸變參數(shù)的關(guān)系.從圖2可以看出:與圖1結(jié)果類似,在不同湍流譜下,熱畸變參數(shù)的增加,補(bǔ)償效果變差;當(dāng)湍流譜越接近3時(shí),Strehl比下降越快,當(dāng)湍流譜指數(shù)逐漸接近于4時(shí),Strehl比下降越慢,補(bǔ)償效果越好;使用較小的驅(qū)動(dòng)器菲涅數(shù)的自適應(yīng)光學(xué)系統(tǒng)有較好的補(bǔ)償效果.但是與圖1不同的是在熱畸變較弱時(shí)自適應(yīng)光學(xué)系統(tǒng)的補(bǔ)償效果隨譜指數(shù)有一個(gè)先減少后增大的過程,這是由于在β為常量時(shí)廣義大氣相干長(zhǎng)度ρ0的非線性變化引起的.

圖2 (網(wǎng)刊彩色)相同折射率結(jié)構(gòu)常量、不同湍流譜條件下Strehl比隨熱暈的變化關(guān)系 (a)Nd=3.94;(b)Nd=15.74Fig.2.(color online)The relationship between Strehl ratio and thermal distortion number under different turbulence spectrum index with same generalized index structure constant:(a)Nd=3.94;(b)Nd=15.74.

圖3給出了NT=20時(shí),不同譜指數(shù)下理想平面波對(duì)數(shù)振幅起伏方差隨熱暈的增長(zhǎng)情況.從圖3可以看出,湍流譜指數(shù)越接近3時(shí),對(duì)數(shù)振幅起伏方差有越快的增長(zhǎng).這是圖1、圖2計(jì)算結(jié)果中湍流譜指數(shù)由4逐漸接近3時(shí),Strehl比隨湍流熱畸變?cè)黾酉陆底兛斓脑?

圖3 (網(wǎng)刊彩色)NT=20時(shí)不同湍流譜條件下對(duì)數(shù)振幅起伏方差隨熱畸變參數(shù)的變化Fig.3.(color online)NT=20,variation of logarithmic amplitude fl uctuation variance with thermal distortion number under different turbulence conditions.

4 結(jié) 論

本文將小尺度熱暈理論推廣到non-Kolmogorov湍流大氣中,對(duì)高能激光的實(shí)際熱暈補(bǔ)償有重要的理論意義.從小尺度熱暈線性理論出發(fā),在non-Kolmogorov譜的基礎(chǔ)上,得到了non-Kolmogorov譜湍流下熱暈相位補(bǔ)償?shù)腟trehl比表達(dá)式,分析了湍流譜對(duì)高能激光的相位補(bǔ)償?shù)挠绊?湍流譜對(duì)湍流熱暈效應(yīng)的相位補(bǔ)償有重要的影響.在相同的湍流菲涅耳數(shù)下,當(dāng)譜指數(shù)越接近于3時(shí)補(bǔ)償效果越差,譜指數(shù)接近于4時(shí)補(bǔ)償效果越好;在相同湍流折射率結(jié)構(gòu)常量的條件下,其補(bǔ)償效果變得復(fù)雜.無論在相同大氣相干長(zhǎng)度條件下,還是在相同湍流折射率常量條件下,當(dāng)譜指數(shù)接近于3時(shí),Strehl比隨熱暈效應(yīng)的增強(qiáng)而下降變快,當(dāng)湍流譜指數(shù)逐漸接近于4時(shí),Strehl比下降速度變慢,這是由于隨著湍流譜指數(shù)的增大,TTBI引起的對(duì)數(shù)振幅起伏增長(zhǎng)變慢而造成的.

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