王 超，朱 明，趙元棣

(中國民航大學(xué)空中交通管理學(xué)院，天津300300)

空中交通流量時間序列的實時預(yù)測有助于掌握交通流的發(fā)展演化趨勢和規(guī)律，為空中交通管理部門提供控制決策依據(jù).作為空中交通流量管理和空域規(guī)劃研究的重要前提和基礎(chǔ)［1-2］，空中交通流量預(yù)測一直是國內(nèi)外空管研究的熱點之一.

當(dāng)前空中交通流量預(yù)測方法主要分4類:(1)基于飛行計劃的確定型流量預(yù)測方法，包括基于飛行計劃4D軌跡預(yù)測方法［3］;(2)基于數(shù)理統(tǒng)計的預(yù)測方法，包括時間序列法、回歸分析法、卡爾曼濾波法和指數(shù)平滑法等［1-2］;(3)非線性預(yù)測方法，包括小波分析預(yù)測法、混沌理論預(yù)測法和突變理論預(yù)測法等［4-5］;(4)智能預(yù)測方法，包括神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法、支持向量機等［5-6］.

由于空中交通以航班飛行任務(wù)計劃為驅(qū)動，基于飛行計劃軌跡預(yù)測方法首先發(fā)展起來.該方法以航空固定電報中的領(lǐng)航計劃為基礎(chǔ)，以航班動態(tài)報和雷達航跡為修正，建立航班4D軌跡推測模型，統(tǒng)計得到各空域單元的交通流量.然而，由于空中交通系統(tǒng)是一個多角色交互耦合的復(fù)雜非線性系統(tǒng)［7］，存在許多不確定性因素，航班實際運行4D軌跡與飛行計劃軌跡經(jīng)常存在較大差異，導(dǎo)致基于報文的流量預(yù)測精度較差.

為彌補上述不足，在國內(nèi)外學(xué)者對空中交通系統(tǒng)非線性特性初步探索基礎(chǔ)上，基于混沌時間序列方法的短期交通流量預(yù)測方法逐漸發(fā)展起來.Packard［8］提出重構(gòu)相空間理論，開啟了混沌時間序列的研究，此后混沌時間序列的全域法、局域法、基于最大Lyapunov指數(shù)［9］等預(yù)測方法相繼出現(xiàn).Cong等［10］利用關(guān)聯(lián)維數(shù)和最大Lyapunov指數(shù)對空域扇區(qū)內(nèi)交通流的混沌特性進行研究;Li等［11］利用最大Lyapunov指數(shù)對飛行沖突時間序列的混沌特性進行分析，證明了應(yīng)用混沌理論進行飛行沖突預(yù)測的可行性;王超等［12］證明了交匯航路空中交通流具有混沌特性.上述研究成果為基于混沌理論的時間序列預(yù)測法應(yīng)用于空中交通流量預(yù)測提供了理論基礎(chǔ)，但并未將其應(yīng)用于實際的交通流量預(yù)測中.因此，本文對基于混沌時間序列的預(yù)測方法進行改進并構(gòu)建空中交通流量預(yù)測模型是非常有意義的.

加權(quán)一階局域預(yù)測方法比神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法、基于最大Lyapunov指數(shù)預(yù)測法等具有待求參數(shù)少、快速等優(yōu)點，能滿足空中交通流量預(yù)測實時性強、操作簡單、易實現(xiàn)等要求.呂金虎等［9］提出了加權(quán)一階局域預(yù)測方法并將其應(yīng)用到電力系統(tǒng)短期負(fù)荷預(yù)測中，但預(yù)測準(zhǔn)確性還有很大的提升空間.空中交通流量控制和管理決策需要更高精度的流量預(yù)測，本文對加權(quán)一階局域法的預(yù)測模型進行改進，并采用基于誤差序列的誤差修正方法對預(yù)測誤差進行修正.最后，以北京區(qū)域管制中心某扇區(qū)交通流實測數(shù)據(jù)開展驗證實驗，先利用關(guān)聯(lián)維數(shù)對空中交通流量時間序列進行混沌特性識別，之后分別用改進前、后的預(yù)測方法進行預(yù)測效果比對.

1 改進的加權(quán)一階局域預(yù)測法

1.1 加權(quán)一階局域預(yù)測法

對于混沌時間序列 x1，x2，…，xN，其中，N 為時間序列的長度，選取適當(dāng)?shù)那度刖S數(shù)m和時間延遲τ，進行相空間重構(gòu)［13-15］，得到相空間為 Xi=(xi，xi+τ，…，xi+(m－1)τ)，i=1，2，…，M，其中 M=N－(m－1)τ.以預(yù)測中心相點XM作為參考相點，求參考相點 XM與前 M－1個相點的歐氏距離dl(l=1，2，…，M－1)，取與參考相點 XM的歐氏距離最小的m+1個相點，記為 XMn(n=1，2，…，m+1)，且對應(yīng)的與參考相點XM的距離為dn，則相點XMn的權(quán)值為

式中:dmin為dn中的最小值;c為參數(shù)，一般取c=1.

設(shè)參考相點XM的鄰近相點集為{XMn}，其演化一步后的相點集為{XMn+1}.利用一階局域線性擬合得到XMn和XMn+1的關(guān)系如式(2).

式中:E=(1，1，…，1)T為 m×1階矩陣;a、b為擬合所需的實系數(shù).

根據(jù)加權(quán)最小二乘法有

將式(3)看成是關(guān)于未知數(shù)a和b的二元函數(shù)，為求得使函數(shù)達到最小的未知數(shù)的解，求偏導(dǎo)并令其為0，可得

化簡得

將求得的參數(shù)a、b代入式(7)，即可得到演化一步后的相點預(yù)測值X^M+1，如式(8).

1.2 預(yù)測模型的改進

1.1 節(jié)所描述的未改進的加權(quán)一階局域預(yù)測方法，是m+1個鄰近相點XMn與其一步演化后的相點XMn+1的一階局域線性關(guān)系參數(shù)a、b，作為相點XM與其一步演化相點XMn+1的一階局域線性關(guān)系參數(shù)代入式(8)進行預(yù)測，即認(rèn)為鄰近相點的一步演化規(guī)律和參考相點一步演化規(guī)律相似.但實際上，由于用于預(yù)測的歷史數(shù)據(jù)有限或出現(xiàn)特殊值等因素影響，鄰近相點的一步演化規(guī)律并不能完全真實地反映出相點XM與其演化一步后的相點XM+1之間的關(guān)系.此外，鄰近點的選取標(biāo)準(zhǔn)和選取個數(shù)等也會極大影響鄰近相點的一步演化規(guī)律是否能更加真實地反映出參考相點的一步演化規(guī)律.因此，原有預(yù)測方法難免會存在偏差，這就降低了預(yù)測性能.

為克服上述缺陷，減小預(yù)測誤差，考慮利用權(quán)值Pn對各鄰近相點的演化規(guī)律進行加權(quán)，從而準(zhǔn)確反映出預(yù)測相點的演化規(guī)律，以鄰近相點的一步演化相點的規(guī)律來預(yù)測參考相點的一步演化相點，即以m+1個相點XMn+1的各分量加權(quán)和作為預(yù)測相點XM+1的各分量值，改進了預(yù)測式(7)，具體說明如下:

設(shè)m+1個最鄰近相點的表達式為XMn=(xMn，xMn+τ，…，xMn+(m－1)τ).由式(1)求出 m+1 個最鄰近相點對應(yīng)的權(quán)值Pn，再依據(jù)式(5)、(6)求出預(yù)測參數(shù) a、b，則預(yù)測公式為

1.3 基于誤差序列的預(yù)測誤差修正

在加權(quán)一階局域預(yù)測法的預(yù)測過程中，由前一步預(yù)測所得預(yù)測值代入原時間序列后求得下一步預(yù)測值.因此，如果不對每一步的預(yù)測值進行誤差修正，存在誤差的預(yù)測值將會直接影響下一步預(yù)測值的精度，這樣逐步累積就會產(chǎn)生較大的累積誤差，影響整體的預(yù)測準(zhǔn)確性.為減小誤差累計，本文采用基于誤差序列的誤差修正方法來進一步修正預(yù)測誤差.

2 預(yù)測步驟

步驟1 對交通流量時間序列進行混沌特性識別，確定其延遲時間τ和嵌入維數(shù)m后進行相空間重構(gòu).

步驟2 當(dāng)前狀態(tài)相點XM為初始條件利用加權(quán)一階局域預(yù)測法進行預(yù)測得到預(yù)測值^xN+1.

步驟3 利用基于誤差序列的修正方法對預(yù)測值^xN+1進行誤差修正.

步驟4 將修正后的預(yù)測值^xN+1代入原時間序列，對未來值^xN+2再進行預(yù)測，以此類推不斷迭代進行多步預(yù)測.

3 空中交通流量預(yù)測實例及分析

選擇北京區(qū)域管制某扇區(qū)2016年01月06日00∶00—24∶00之間扇區(qū)的空中交通流量作為預(yù)測實例.扇區(qū)空中交通流量是指按照一定的時間間隔來統(tǒng)計在此時間范圍內(nèi)扇區(qū)容納航空器的數(shù)量.其中，統(tǒng)計時間間隔也稱為時間尺度或時間序列標(biāo)度，記為Δt.Δt的不同將直接影響交通流時間序列的形態(tài)特征，進而影響時間序列對系統(tǒng)特性的表達［12］.

為驗證改進預(yù)測法對按不同Δt產(chǎn)生的交通流量時間序列均適用，本文擬選取4組不同Δt的時間序列進行驗證實驗.將以一天前20 h交通流量預(yù)測后4 h為例開展研究.統(tǒng)計時間間隔太大會遮蔽在此時間范圍內(nèi)流量動態(tài)變化特征，所以選擇Δt=5，7，10，15 min，生成交通流量時間序列來驗證本文預(yù)測方法是否對各時間尺度的交通流量時間序列均適用.圖1給出了各時間尺度的交通流量時間序列示意圖.

采用自相關(guān)函數(shù)法來計算時間延遲 τ［16-17］，自相關(guān)函數(shù)C(τ)=1－1/e時可以得到系統(tǒng)的最佳嵌入維數(shù).

以Δt=10 min的時間序列為例，如圖2所示，計算得到該時間序列的時間延遲τ=3.

圖1 不同時間尺度的交通流量時間序列Fig.1 Traffic flow time series at different time scales

3.1 基于關(guān)聯(lián)維數(shù)的混沌特性判別

應(yīng)用分形理論中關(guān)聯(lián)維數(shù)的概念來判斷時間序列是否具有混沌特性［10-12］.分維從測度理論和對稱理論角度刻畫了系統(tǒng)的無序性和復(fù)雜性，其中關(guān)聯(lián)維數(shù)D2(m)是目前應(yīng)用最廣的分維數(shù)［18-19］.對于混沌系統(tǒng)，D2(m)會隨著嵌入維數(shù)的增加而出現(xiàn)飽和現(xiàn)象，即不再隨m的變化而變化［19］.關(guān)聯(lián)維數(shù)就是關(guān)聯(lián)指數(shù)隨嵌入維數(shù)增大到飽和狀態(tài)時的值，其值是對相空間中吸引子復(fù)雜度的度量.當(dāng)D2(m)不是整數(shù)或者大于2時，系統(tǒng)表現(xiàn)出一種對初始條件敏感的混沌振蕩.因此，對于混沌性的識別可以通過觀察關(guān)聯(lián)維數(shù)是否具有飽和現(xiàn)象來完成.本文采用G-P算法求關(guān)聯(lián)維數(shù)［20-21］.

圖3 給出了Δt=5，7，10，15 min 的交通流量時間序列的ln Cm(r)-ln r關(guān)系圖，圖中:r為相空間中相點之間歐氏距離的閥值;Cm(r)為關(guān)聯(lián)積分函數(shù)，具體含義詳見文獻［18］.

圖2 Δt=10 min時的自相關(guān)系數(shù)函數(shù)Fig.2 The auto correlative function of Traffic flow time series of 10 min

圖3 ln Cm(r)-ln r曲線Fig.3 Curve of ln Cm(r)-ln r

圖4 為4組交通流量時間序列的關(guān)聯(lián)維數(shù)隨嵌入空間維數(shù)m的變化曲線.4組不同采樣間隔的交通流量時間序列關(guān)聯(lián)維數(shù)D2(m)隨著嵌入維數(shù)的增加均出現(xiàn)飽和現(xiàn)象，且各時間尺度時間序列均滿足D2(m)不是整數(shù)或大于2的條件，這說明空中交通流表現(xiàn)出一種對初始條件敏感的混沌振蕩［18］.所以，可以判定4組時間序列均為混沌時間序列.

3.2 預(yù)測結(jié)果對比及分析

按第2節(jié)中的步驟1，分別求出4組交通流量時間序列時間延遲τ和嵌入維數(shù)m，如表1所示.依據(jù)這些參數(shù)對各組時間序列進行相空間重構(gòu).以Δt=10 min的流量時間序列為例，重構(gòu)的相空間擁有102相點，進行第1步預(yù)測時的預(yù)測中心相點為X102=(9，8，11，7，3，10，8).

按照步驟2，利用本文改進的一階局域預(yù)測方法得到演化一步后的相點預(yù)測值103=(8.04，8.24，7.64，8.43，9.23，7.84，8.24)，其第 m 個分量即為第 1個 10 min內(nèi)的流量預(yù)測值121.因為Δt=10 min的流量時間序列的m=7，所以21=8.24.

由1.3節(jié)介紹的方法生成誤差序列(3.04，4.24，－3.35，－1.56，6.23，－3.15)，并得到一步平滑外推值 Δx=－4.24.因此，由^'121=^X121－Δx得到修正后的預(yù)測值，即該扇區(qū)20:00—20:10這段時間內(nèi)的流量值'121=12.48，步驟 3 到此結(jié)束.將預(yù)測得到的新流量值加入原流量時間序列，并不斷重復(fù)步驟4，直到最終得到所有后4 h的流量預(yù)測結(jié)果.

圖4 關(guān)聯(lián)維數(shù)隨嵌入維數(shù)的變化曲線Fig.4 Curve of D2(m)with different m

表1 不同時間尺度空中交通流量時間序列的時間延遲和嵌入維數(shù)Tab.1 Time delay and Embedding dimension of Air traffic flow time series under different time scales

上述過程闡述了應(yīng)用預(yù)測模型的過程，按照上述過程分別對其他3組時間序列進行預(yù)測.圖5將交通流量的預(yù)測值和實際值進行對比給出了預(yù)測結(jié)果.由圖5可知，4組不同時間尺度的交通流量預(yù)測值曲線和實際值曲線基本吻合，表明本文提出的改進型預(yù)測方法適用于不同統(tǒng)計時間間隔生成的空中交通流量時間序列預(yù)測.

為了對預(yù)測結(jié)果的準(zhǔn)確性進行評價，采用平均絕對誤差EAAE和相對誤差ERE來衡量預(yù)測精度，即

圖6和圖7給出了4組交通流量時間序列的預(yù)測精度.由圖6、7可知，改進后的方法有效地提高了改進前方法的預(yù)測準(zhǔn)確性.以Δt=10 min為例，改進前的預(yù)測方法ERE=0.148 1，改進后的預(yù)測方法 ERE=0.104 1，相對誤差減小了 29.7%.通過對比不同尺度的空中交通流量預(yù)測效果，有如下發(fā)現(xiàn):

(1)不同時間尺度的交通流量時間序列之間的預(yù)測誤差相差較大，說明在進行空中交通流量預(yù)測時時間尺度的選擇對預(yù)測精度有很大影響.預(yù)測模型對Δt=5，7，10 min這3組樣本數(shù)據(jù)的預(yù)測精度依次增高，當(dāng)Δt=10 min時預(yù)測效果達到最好，當(dāng)Δt=15 min時預(yù)測模型預(yù)測精度開始出現(xiàn)降低趨勢，預(yù)測精度較差.所以，在以后的空中交通流量預(yù)測的研究及應(yīng)用中需要科學(xué)地選取適當(dāng)?shù)臅r間序列標(biāo)度.

(2)相對誤差隨著交通流量時間序列標(biāo)度的增大而減小，而平均絕對誤差隨著交通流量時間序列標(biāo)度的增大而增大.這是由兩種評價指標(biāo)表現(xiàn)誤差的側(cè)重點不同造成的.流量的平均絕對誤差反映的是測量流量的可信程度，流量的相對誤差則確切地表示了預(yù)測流量值偏離真實流量值的實際大小.所以實際應(yīng)用中應(yīng)根據(jù)不同的預(yù)測要求，選擇不同的評價指標(biāo)，從而選取能達到更理想預(yù)測效果的時間尺度的時間序列進行預(yù)測.當(dāng)關(guān)注每一步預(yù)測的流量偏離值時，選用平均絕對誤差作為評價指標(biāo)，此時，選擇較小時間尺度交通流量預(yù)測效果較理想.當(dāng)希望預(yù)測流量的總體誤差比例更小時則選用相對誤差作為評價指標(biāo)，此時，選擇較大Δt的交通流量預(yù)測效果更理想.

圖5 空中交通流量的實際值和預(yù)測值對比Fig.5 Predicted and actual values of air Traffic volume

圖6 空中交通流量預(yù)測的平均絕對誤差對比Fig.6 Comparison Average absolute error of Air traffic flow prediction

圖7 空中交通流量預(yù)測的相對誤差對比Fig.7 Comparison Relative error of Air traffic flow prediction

4 結(jié)束語

本文在混沌時間序列的加權(quán)一階局域預(yù)測方法的基礎(chǔ)上提出了一種臨近相點演化加權(quán)的改進預(yù)測方法，并將其應(yīng)用到空中交通流量預(yù)測領(lǐng)域.此外，還引入了基于誤差序列的誤差修正方法對預(yù)測誤差進行修正，在一定程度上修正了預(yù)測誤差，減小了預(yù)測過程中誤差的累積.預(yù)測實例中利用G-P算法求出時間序列的關(guān)聯(lián)維數(shù)，發(fā)現(xiàn)其隨著嵌入維數(shù)的增加而出現(xiàn)飽和現(xiàn)象，證明了空中交通流量時間序列存在混沌特性.隨后采用改進預(yù)測方法對樣本混沌流量時間序列進行4 h預(yù)測，結(jié)果表明改進的加權(quán)一階局域預(yù)測方法不僅能夠有效預(yù)測交通流量且提高了預(yù)測精度.

研究過程中發(fā)現(xiàn)該預(yù)測方法還有許多值得深入探究之處，例如是否相點間歐氏距離越小其演化趨勢就越相似，所以最鄰近點的選擇方法必須科學(xué)反映相點間的鄰近程度［14］，改進歐式距離法使其能更科學(xué)地反映鄰近點和預(yù)測中心點關(guān)聯(lián)程度.此外，統(tǒng)計間隔對結(jié)果的影響本文只是做了簡單的定性分析，研究發(fā)現(xiàn)空中交通流量時間序列相鄰采樣點間存在較強的自相關(guān)性，統(tǒng)計間隔對預(yù)測精度影響的內(nèi)在機理還有待在日后的研究工作中深入研究.

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