（合肥工業(yè)大學(xué) 電氣與自動(dòng)化工程學(xué)院，合肥 230009）

0 引言

電力系統(tǒng)正常運(yùn)行的破壞多半是由短路故障引起的。發(fā)生短路時(shí)，系統(tǒng)從一種狀態(tài)巨變到另一種狀態(tài)，并伴隨產(chǎn)生復(fù)雜的暫態(tài)現(xiàn)象[1,2]。狀態(tài)方程常常被用來(lái)研究電力系統(tǒng)暫態(tài)穩(wěn)定的動(dòng)態(tài)特性，由于實(shí)際電力系統(tǒng)建立的狀態(tài)方程難以求得其解析解，通常要借助數(shù)值分析法。電力系統(tǒng)暫態(tài)穩(wěn)定計(jì)算常用的數(shù)值方法包括梯形法和Runge-Kutta法，而Runge-Kutta法要求方程的解具有足夠的光滑性，其迭代步數(shù)的增加會(huì)導(dǎo)致舍入誤差的積累。近年來(lái)，應(yīng)用于工程力學(xué)領(lǐng)域的微分求積法（Differential Quadrature Method，DQM），能用較少的數(shù)值點(diǎn)求得高精度的數(shù)值解，但目前還沒有基于DQM求解狀態(tài)方程的研究。本文給出了基于DQM求解狀態(tài)方程的算法，以電力系統(tǒng)常見的暫態(tài)過程—發(fā)電機(jī)發(fā)生三相短路為例，建立了系統(tǒng)的暫態(tài)穩(wěn)定狀態(tài)方程，將DQM和Runge-Kutta法用于求解系統(tǒng)的暫態(tài)穩(wěn)定狀態(tài)方程，通過測(cè)試及對(duì)比分析，驗(yàn)證了DQM算法適用于電力系統(tǒng)暫態(tài)穩(wěn)定性的數(shù)值計(jì)算。

1 微分求積法

微分求積法的實(shí)質(zhì)是用全域上的全部節(jié)點(diǎn)的函數(shù)值進(jìn)行加權(quán)求和來(lái)表示函數(shù)極其導(dǎo)數(shù)在給定點(diǎn)處的值，因而可以將微分方程變成以節(jié)點(diǎn)處的函數(shù)值為未知數(shù)的一組代數(shù)方程組[3,4]。不失一般性，考慮一維函數(shù)f(x)，它在區(qū)間[a,b]上連續(xù)可微，則有：

式中L是線性微分算子；Wj(x)是插值基函數(shù)，當(dāng)采用多項(xiàng)式插值時(shí)，它應(yīng)是N-1次多項(xiàng)式；xj為N個(gè)互異節(jié)點(diǎn)a=x1＜x2＜…＜XN=b中第j個(gè)節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)值。

我們稱Aij為函數(shù)f(x)一階導(dǎo)數(shù)的加權(quán)系數(shù)，稱[Aij]為一階導(dǎo)數(shù)的加權(quán)系數(shù)矩陣。

微分求積法權(quán)系數(shù)的顯式表達(dá)式的確定可通過拉格朗日（Lagrange）插值的方法得到[3,4]，即Aij可由下式計(jì)算：

根據(jù)插值函數(shù)各階導(dǎo)數(shù)的遞推關(guān)系，可得到二階及二階以上導(dǎo)數(shù)的權(quán)系數(shù)顯式表達(dá)式。

2 微分求積法求解狀態(tài)方程的誤差分析

設(shè)：

則狀態(tài)方程可表為：

其中，f1,f2,…,fn為n個(gè)狀態(tài)變量。

已知初值向量：[f1(0),f2(0),…,fn(0)]，應(yīng)用微分求積法求解區(qū)間[a,b]上的數(shù)值解。在求解區(qū)間[a,b]取N+1個(gè)節(jié)點(diǎn)，a=x0＜x1＜…＜xN=b，將狀態(tài)方程用微分求積的形式代替并移項(xiàng)整理，則導(dǎo)出的微分求積方程組為：

其中，Aij為DQM一階導(dǎo)數(shù)加權(quán)系數(shù)矩陣。

式(5)為微分求積法轉(zhuǎn)化后的線性方程組，其系數(shù)矩陣T為：

則式(5)可表為：

再設(shè)DQM所求的解向量為x1，誤差解向量為x2，由此可得：

由式(7)和式(8)可得解向量x1=T-1B，誤差解向量x2=-T-1b，于是有：

式(10)是狀態(tài)方程相對(duì)誤差的上界，它由兩部分組成，其中，為矩陣T的條件數(shù)，另一部分為B的相對(duì)誤差，的值與選取節(jié)點(diǎn)的方式有關(guān)，因此可通過節(jié)點(diǎn)的選取方式來(lái)減小的值使相對(duì)誤差減小。若系統(tǒng)的輸入為零，即求解系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)時(shí)，則式(9)是其狀態(tài)方程誤差的上界。由此可見，對(duì)于一個(gè)確定的狀態(tài)方程而言，使用DQM法來(lái)求解時(shí)，可預(yù)先判斷轉(zhuǎn)化后線性方程組的系數(shù)矩陣的條件數(shù)是否過大，若過大，則對(duì)結(jié)果的相對(duì)誤差有較大影響，還可通過增加節(jié)點(diǎn)的方式來(lái)減小數(shù)值解的相對(duì)誤差。

3 電力系統(tǒng)暫態(tài)穩(wěn)定分析

電力系統(tǒng)暫態(tài)穩(wěn)定是指電力系統(tǒng)受到打擾動(dòng)后，各同步發(fā)電機(jī)保持同步運(yùn)行并過渡到新的或恢復(fù)到原來(lái)穩(wěn)態(tài)運(yùn)行的能力，其計(jì)算分析的目的是在規(guī)定的運(yùn)行方式和故障形態(tài)下，對(duì)系統(tǒng)的暫態(tài)穩(wěn)定性進(jìn)行校驗(yàn)，研究保證電網(wǎng)安全運(yùn)行穩(wěn)定的控制策略，并對(duì)繼電保護(hù)裝置提出相應(yīng)的要求[5,6,7]。電力系統(tǒng)正常運(yùn)行的破壞多半是由短路引起的。電力系統(tǒng)短路后的暫態(tài)分析一般是通過建立系統(tǒng)的狀態(tài)方程，然后用數(shù)值解法進(jìn)行求解，計(jì)算出故障電流及其他故障變量[8]。

現(xiàn)以電力系統(tǒng)常見的暫態(tài)穩(wěn)定過程-同步電機(jī)發(fā)生三相短路為例進(jìn)行分析。由于同步電機(jī)大量電感系數(shù)隨時(shí)間周期變化，其電壓方程為時(shí)變系數(shù)的非線性方程組，難以求得其解析解[9,10,11]。當(dāng)系統(tǒng)發(fā)生對(duì)稱故障時(shí)，易采用Park變換把坐標(biāo)變換到轉(zhuǎn)子側(cè)dq0坐標(biāo)中，而時(shí)變系數(shù)矩陣就變?yōu)槌?shù)矩陣。在求出dq0坐標(biāo)系中的電流分量后，再經(jīng)過Park逆變換求出a,b,c三相故障電流。由于本文分析的是系統(tǒng)的三相短路，其零軸分量為零，所以刪去了零軸分量之間的關(guān)系式。因突然短路而出現(xiàn)的各繞組電流變化量Δid、Δiq、Δif、ΔiD、 ΔiQ為狀態(tài)變量的關(guān)系式可表為：

式(11)可簡(jiǎn)寫為：

在勵(lì)磁電壓不可調(diào)的前提下，以：

以及短路后最初瞬間的電流變化量：

代入，就可計(jì)算。

由以上分析可知，對(duì)于同步電機(jī)三相短路電流的計(jì)算，歸結(jié)為式(11)或式(12)狀態(tài)方程的初值問題。這類問題的數(shù)值計(jì)算方法有很多，例如改進(jìn)歐拉法、Runge-Kutta法、預(yù)測(cè)-校正法等[3]。本文以DQM和Runge-Kutta法來(lái)進(jìn)行求解。

求解狀態(tài)方程得到各繞組電流變化量與短路前各繞組電流疊加，得到電流全量：

其中，id[0]為定子d軸電流初始值，id[0]為定子q軸電流初始值，if[0]為勵(lì)磁繞組電流初始值。對(duì)其中的id、iq進(jìn)行Park逆變換，即可得到定子三相繞組電流：

將它們代入式(15)：

4 微分求積法求解狀態(tài)方程的算法

考慮n維一階狀態(tài)方程組：

用微分求積法求解區(qū)間[a,b]上的數(shù)值解。在定義區(qū)間取N個(gè)節(jié)點(diǎn)，a=x1＜x2＜…＜xN=b將微分方程的導(dǎo)數(shù)用微分求積形式代替，則導(dǎo)出的微分求積方程組為：

其中A為微分求積一階導(dǎo)數(shù)的系數(shù)矩陣。將式(17)展開成線性方程組的形式并移項(xiàng)整理可得：

由式(18)可得所求解的線性方程組的系數(shù)矩陣TEM和B為：

其中TEM為nN×nN階矩陣，B為nN×1階矩陣。由于初值條件的存在，需對(duì)線性方程組的系數(shù)矩陣做修正。去掉由每一個(gè)初始微分方程形成線性方程組的第一個(gè)方程，且將與初值有關(guān)的項(xiàng)移到等式的右端，則TEM變?yōu)閚(N-1)×n(N-1)階矩陣，B變?yōu)閚(N-1)×1階矩陣，即：

5 微分求積法在同步電機(jī)三相短路計(jì)算中的應(yīng)用

由以上分析可知，同步電機(jī)三相短路計(jì)算歸結(jié)為對(duì)狀態(tài)方程的求解。將式(11)轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)形式的狀態(tài)方程：

式(19)為標(biāo)準(zhǔn)形式的狀態(tài)方程，可由上述DQM求解狀態(tài)方程的算法進(jìn)行求解。

為便于結(jié)果對(duì)比，以文獻(xiàn)[8]提供的實(shí)例進(jìn)行分析。同步電機(jī)有如下參數(shù)：

在勵(lì)磁電壓不變的前提下，有：

原始運(yùn)行條件為額定負(fù)載運(yùn)行時(shí)：u[0]=1，i[0]=1，?[0]=0.5548 ，短路時(shí)的轉(zhuǎn)子位置角：0=3.1416，可求得：

原始運(yùn)行條件為空載運(yùn)行時(shí)：u[0]=1，i[0]=0.0，?[0]=0.0，短路時(shí)的轉(zhuǎn)子位置角：0=3.1416，可求得：

運(yùn)用Runge-Kutta法和DQM求解各個(gè)時(shí)刻的Δidq0后，與idq0[0]進(jìn)行疊加，即可得不同時(shí)刻的idq0，由式(14)、式(15)可求得定子a相電流ia和電磁轉(zhuǎn)矩T。

同步電機(jī)短路前額定負(fù)載和空載條件下的a相電流和轉(zhuǎn)矩的數(shù)值計(jì)算結(jié)果如圖1、圖2所示，計(jì)算結(jié)果為標(biāo)幺值。

圖1 額定負(fù)載下短路時(shí)的定子電流ia和轉(zhuǎn)矩T

圖2 空載下短路時(shí)的定子電流ia和轉(zhuǎn)矩T

由此可看出，DQM數(shù)值計(jì)算結(jié)果和等步長(zhǎng)的Runge-Kutta法數(shù)值計(jì)算結(jié)果都與仿真結(jié)果基本一致，說明DQM可用于電力系統(tǒng)的暫態(tài)分析。

6 結(jié)論

本文提供了基于DQM求解狀態(tài)方程的初值算法，在求解狀態(tài)方程時(shí)，易于編程實(shí)現(xiàn)，并以電力系統(tǒng)常見的暫態(tài)過程-同步電機(jī)三相短路為例，通過本文提出的基于DQM的狀態(tài)方程初值算法來(lái)進(jìn)行求解其短路電流與轉(zhuǎn)矩，得到的結(jié)果與仿真結(jié)果基本一致。得出結(jié)論，DQM數(shù)值解法可用于電力系統(tǒng)的暫態(tài)分析。

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