（同濟大學 機械電子研究所，上海 201804）

0 引言

大多橋式起重機防搖控制策略的研究中，數(shù)學模型的建立及數(shù)學建模方法的研究是基礎(chǔ)與前提。在以往對橋式起重機數(shù)學模型研究中，通常把橋式起重機的運行機構(gòu)假象為剛性結(jié)構(gòu)并建立了雙質(zhì)量兩自由度的系統(tǒng)模型。文獻[1]中已經(jīng)建立起以電機頻率為輸入的小車-吊重系統(tǒng)的雙質(zhì)量兩自由度的橋式起重機動力學模型[1]。這樣的假定在大多數(shù)情況下比較合理[2,3]。但起重機在大車運行過程中，起重機主梁會產(chǎn)生垂向變形和橫向變形，這些彈性變形的影響在雙質(zhì)量兩自由度的系統(tǒng)模型中無法體現(xiàn)?？紤]到采用狀態(tài)觀測器[4]、軟測量[5]等方法進行防搖控制的策略，由于吊重擺角不易測量或測量實現(xiàn)的成本較高而需要借助其他可測變量轉(zhuǎn)化為擺角信息。這類控制方法的比較依賴于橋式起重機模型的精確性，模型的精確性越高，防搖控制的效果越好。本文建立系統(tǒng)動態(tài)分析模型，考慮起重機主梁的橫向變形，得到橋式起重機運行機構(gòu)為彈性結(jié)構(gòu)時系統(tǒng)動力學方程[6]，并與傳統(tǒng)雙質(zhì)量兩自由度的系統(tǒng)模型進行對比，以獲得運行機構(gòu)彈性結(jié)構(gòu)在起重機動力學簡化系統(tǒng)的影響關(guān)系。

1 起重機運行機構(gòu)系統(tǒng)模型

起重機運行作業(yè)時會引起主梁的垂向變形和橫向變形，為了起重機防搖控制的模型研究，從防搖控制角度考慮，只需分析起重機主梁的橫向變形在模型方面的影響。假定橋架結(jié)構(gòu)在彈性范圍內(nèi)變形且不考慮風載的影響。對大車橋架系統(tǒng)進行分析時，假定只有大車的運動，小車是固定在大車上靜止不動的。對于橫向變形，起重機支腿在運行方向的剛性較小可以忽略。起升機構(gòu)傳動零件（包括電機轉(zhuǎn)子）轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)化至車輪周向的質(zhì)量遠大于結(jié)構(gòu)的換算質(zhì)量需要在數(shù)學建模時考慮。另外，與吊重相比，鋼絲繩質(zhì)量很小，將它抽象為無質(zhì)量的單元。因此，當考慮車架為彈性結(jié)構(gòu)時，起重機系統(tǒng)可簡化為圖1所示的三質(zhì)量三自由度的串聯(lián)彈性動力學系統(tǒng)模型。

圖1 橋式起重機運行機構(gòu)力學模型

圖中，m1由三部分質(zhì)量構(gòu)成：

式中，me為一側(cè)端梁的總質(zhì)量（包括其上的運行裝置的質(zhì)量）；mb為起重機橋架主梁的總質(zhì)量（包括走臺、欄桿等質(zhì)量）；m0為一側(cè)運行機構(gòu)旋轉(zhuǎn)件轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)化到車輪周向的等效質(zhì)量。

m2包括主梁在跨中的等效質(zhì)量及小車的質(zhì)量：

式中，mt為小車的自身質(zhì)量。

m為吊重的質(zhì)量。

c1為驅(qū)動電機、減速器及傳動機構(gòu)等機構(gòu)內(nèi)的摩擦，c2為金屬結(jié)構(gòu)變形與空氣產(chǎn)生的綜合阻尼，cr為鋼絲繩內(nèi)部多根鋼絲之間相互滑動產(chǎn)生的阻尼；k2為起重機考慮橫向變形時主梁的剛度，kr為由于鋼絲繩僵性產(chǎn)生等效剛度。

2 動力學系統(tǒng)微分方程組的建立

由于本文研究的是彈性系統(tǒng)在靜平衡位置附近的微小振動，剛度系數(shù)與位移x無關(guān)，另外m，c，k也與時間無關(guān)。設(shè)m1，m2質(zhì)量位移x1(t)，x2(t)的坐標原點在靜平衡位置，吊重m的位移x是相對于x2的相對位移。當大車以某一速度運動時，系統(tǒng)中所有質(zhì)量都參與運動。分別對m1，m2，m進行如圖2起重機運行機構(gòu)受力分析所示，并得到方程式(3)。

圖2 橋式起重機運行機構(gòu)受力分析

式中，F(xiàn)r為鋼絲繩的拉力，通過受力分解可以得到

圖3 橋式起重機運行機構(gòu)等效力學模型

最后分析Ft的取值。在實際應(yīng)用中，橋式起重機一般用變頻器-三相交流異步交流電動機進行驅(qū)動。異步電動機的轉(zhuǎn)速與轉(zhuǎn)矩的機械特性曲線如圖4所示。通常三相異步電動機都工作在所示特性曲線的額定轉(zhuǎn)速及額定轉(zhuǎn)速附近。可以發(fā)現(xiàn)，此時轉(zhuǎn)速與轉(zhuǎn)矩呈線性變化，可以線性化為圖中虛線所示。由圖4同樣可以看到當改變電機輸入頻率時，電機的機械特性曲線只隨之上下平移，斜率保持不變[7]。在研究中將交流電機轉(zhuǎn)速轉(zhuǎn)矩曲線進行線性化，由（0，n0）和（TN，nN）兩點，可以得到其斜率。

圖4 異步電動機機械特性曲

R為小車車輪半徑；

p為電動機旋轉(zhuǎn)磁場極對數(shù)。

最后由多軸拖動的運動方程[8]，將負載折算到電機軸的負載轉(zhuǎn)矩，得到電動機的驅(qū)動力：

式中，JZ為系統(tǒng)折算到電機軸上的轉(zhuǎn)動慣量，并記

圖2中所示的三質(zhì)量三個自由度彈性質(zhì)量系統(tǒng)建立振動微分方程組矩陣形式如式(9)所示，由于式(7)Ft中包含了將與有關(guān)的項移到運動方程的左邊，前的系數(shù)構(gòu)成了與振動分析中的粘性阻尼系數(shù)相似的系數(shù)。

由式(4)與式(8)聯(lián)立整理得，

3 基于MATLAB的仿真對比

由上一節(jié)得到橋式起重機數(shù)學模型系統(tǒng)狀態(tài)圖如圖5所示，其中A為x的系數(shù)矩陣，B為輸入u的系數(shù)矩陣，矩陣C將系統(tǒng)輸出轉(zhuǎn)化為擺角。

根據(jù)振動微分方程組矩陣方程式(9)建立MATLAB/SIMULINK仿真模型。仿真中以QD32/8-22.5A5通用型橋式起重機為對象，主要參數(shù)為：小車質(zhì)量mt=4839kg，橋架主梁總主梁質(zhì)量mb=1323kg，一側(cè)端梁總質(zhì)量me=1392kg，一側(cè)運行機構(gòu)旋轉(zhuǎn)件轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)化到車輪周向的等效質(zhì)量m0=400kg，吊重質(zhì)量取為M=10t，跨度L=22.5m，繩長取l=8m，主梁的橫截面積為A=91700mm2，主梁彈性模量為E=2.1×105MPa，鋼絲繩型號為16NAT6×19W+FC1770。

將三質(zhì)量系統(tǒng)和傳統(tǒng)的雙質(zhì)量系統(tǒng)[1]（只考慮小車和吊重）進行對比。圖6所示為兩個系統(tǒng)對應(yīng)擺角的系統(tǒng)輸出。由圖6(a)可見，三質(zhì)量相對于雙質(zhì)量系統(tǒng)擺角擺動的固有頻率更高，振動的振幅更小，擺角的衰減速度更慢。在前10秒內(nèi)，兩個系統(tǒng)相位基本一致，三質(zhì)量系統(tǒng)最大擺幅與雙質(zhì)量系統(tǒng)相差10.4%。隨著時間推移，雙質(zhì)量系統(tǒng)相位逐漸落后于三質(zhì)量系統(tǒng)，在30秒左右時，雙質(zhì)量系統(tǒng)落后三質(zhì)量系統(tǒng)π/2的相位。由圖6(b)可見，前15秒內(nèi)，兩個系統(tǒng)的擺角誤差較大，三質(zhì)量系統(tǒng)的擺角幅值最大減小了約0.38弧度，相對于雙質(zhì)量系統(tǒng)，三質(zhì)量系統(tǒng)擺角誤差最大達22.0%。15秒之后，雙質(zhì)量系統(tǒng)與三質(zhì)量系統(tǒng)擺角差值逐漸隨時間減小。

4 結(jié)論

【】【】量模型慢。因此對長時間的防搖控制，以準確的擺角反饋來實現(xiàn)防搖策略時，采用三質(zhì)量模型擺角估算更精確，防搖效果更佳；3）c1，c2，cr，k2，kr五個參數(shù)中，kr的取值會對擺動的頻率和幅值產(chǎn)生較大的影響。kr越大，擺角擺動頻率越高，擺幅越小。當鋼絲繩的僵性產(chǎn)生的等效剛度較大時，橋式起重機系統(tǒng)應(yīng)采用三質(zhì)量三自由度動力學系統(tǒng)模型。

圖6 兩系統(tǒng)對應(yīng)擺角θ的系統(tǒng)輸出對比

[1]王璐,常中龍,袁哲,等.橋式起重機防搖控制系統(tǒng)數(shù)學建模方法研究[J].起重運輸機械,2016(9):1-5.

[2]Neugebauer R. Dynamischein Laufkranen beim Anheben and Abbremsen der Last[M]. Der stahlbau.1957:16-21.

[3]Lightfoot E,Clarkson B L.Dynamic stresses in E.O.T.cranes due to the hoisting and lowering of loads[J].Material Handling Mechanics.1955:169(10):223-22.

[4]鐘斌.基于吊重防搖控制的起重機快速對位關(guān)鍵技術(shù)研究[D].西南交通大學,2007.

[5]岳文翀,鄢鵬程,唐超雋,等.基于軟測量技術(shù)的橋式起重機防搖控制方法研究[J].起重運輸機械,20π17(1):55-58.

[6]程文明,鄧斌,王金諾.小車架為彈性結(jié)構(gòu)時門式起重機的動態(tài)特性研究[J].西南交通大學學報,2001,36(2):144-148.

[7]秦曾煌,姜三勇.電工學（第七版）上冊[M].高等教育出版社,2009:228-238.

[8]馮清秀,鄧星鐘.機電傳動控制[M].5版.華中科技大學出版社,2011:5-10.