彭 翾，孟 婥，孫以澤

（東華大學(xué) 機械工程學(xué)院，上海 201620）

步進電機作為一種典型的機電控制一體化元件組件，它將電脈沖信號轉(zhuǎn)變?yōu)榻俏灰苹蛘咧本€位移。步進電機的脈沖頻率與轉(zhuǎn)速的特性使其與開環(huán)控制系統(tǒng)能很好地結(jié)合，故而在工業(yè)領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用。隨著步進電機的發(fā)展，它的控制策略也在不斷地發(fā)生變化，這些控制算法有PID控制、模糊控制、智能控制、自適應(yīng)控制等。智能控制和矢量控制應(yīng)用于較為復(fù)雜的控制，控制精確、高效，但是成本較高，對系統(tǒng)穩(wěn)定性的要求也比較高。一般不太復(fù)雜的系統(tǒng)主要采用PID控制、自適應(yīng)控制，但是自適應(yīng)控制需要與其他控制方式結(jié)合才可以使性能最大化，PID控制可以與其他任何控制方式配合，充分發(fā)揮雙方的效果，但是由于其參數(shù)的不確定性使其對電機控制有一定局限性[1-2]。

本文以控制步進電機系統(tǒng)速度為目的，把PID控制和現(xiàn)代控制有機結(jié)合，構(gòu)建一般情況下適合于步進電機控制要求的專家PID控制算法，基于24HD320D8這款步進電機，設(shè)計了2條專家規(guī)則調(diào)整PID算法參數(shù)，給出一種專家PID控制器，通過仿真說明本算法對步進電機速度的控制作用。

1 步進電機專家PID算法

1.1 建立步進電機數(shù)學(xué)模型

實現(xiàn)步進電機的研究和控制需要建立它的數(shù)學(xué)模型，如圖1所示為步進電機數(shù)學(xué)模型。步進電機涉及電氣和機械2個部分，以這2個部分建立其數(shù)學(xué)模型，其中假設(shè)電氣部分的磁路不飽和且線性化，將其等效為具有混合式步進電機拓撲特性的電路；機械部分由阻尼系數(shù)和慣性力矩的狀態(tài)矢量模型來描述。

圖1 步進電機數(shù)學(xué)模型Fig.1 Model of stepping motor

依據(jù)圖1步進電機模型建立兩相混合式步進電機的數(shù)學(xué)模型?？紤]繞組電氣部分的影響，步進電機在工作時會產(chǎn)生反電動勢，步進電機繞組的反電動勢與轉(zhuǎn)子角速度、轉(zhuǎn)子產(chǎn)生的磁場和定子繞組的匝數(shù)有關(guān)，忽略匝數(shù)的影響，磁場的大小可以反應(yīng)轉(zhuǎn)子產(chǎn)生扭矩的大小，根據(jù)磁路的法拉第電磁感應(yīng)定律得出混合式步進電機A、B相反電動勢為

式中：Km為電機轉(zhuǎn)矩常數(shù)；θ為轉(zhuǎn)子的機械角度；ω為轉(zhuǎn)子角速度；Zr為每一個轉(zhuǎn)子級齒數(shù)。

繞組A、B的電阻和自感相同，忽略高次諧波，根據(jù)歐姆定律得出A、B相電壓為

式中：R為A、B兩相電阻；L為A、B的自感；iA和iB分別為電機兩相電流；LM為電機相繞組之間的互感；分別為A、B相電流的變化率。

假設(shè)電機轉(zhuǎn)矩恒定，電機轉(zhuǎn)矩對于電機內(nèi)部表現(xiàn)為A、B相電磁轉(zhuǎn)矩相加再減去電機本身的定位轉(zhuǎn)矩，即

式中：Te為電機轉(zhuǎn)矩即電機內(nèi)部輸出的轉(zhuǎn)矩。

根據(jù)物理學(xué)公式得出電動機與負載之間的運動方程為

式中：J為轉(zhuǎn)動慣量；B為制動阻尼常量；TL為負載轉(zhuǎn)矩。

將式（1）～式（5）代入式（6），可得

步進電機的數(shù)學(xué)模型比較復(fù)雜，涉及參數(shù)眾多，根據(jù)所需要研究的對象不同可以得到不同的傳遞函數(shù)[3]。給步進電機輸入脈沖信號使其執(zhí)行相應(yīng)的工作，假設(shè)希望步進電機轉(zhuǎn)過角度θ1，但是它卻轉(zhuǎn)過了θ2，則可知步進電機的傳遞函數(shù)為

假設(shè)步進電機單相勵磁，無負載，由式（3）、式（4）、式（6）可得步進電機運動方程為

假設(shè)轉(zhuǎn)子達到平衡位置時θ˙＝0，轉(zhuǎn)子由于慣性產(chǎn)生了細微的振蕩為單相勵磁，所以電流不變，增量 δθ＝θ2-θ1：

由于系統(tǒng)響應(yīng)的時間沒有差別，式（12）可以作為步進電機速度的傳遞函數(shù)[4]。本文選用步進電機的型號為24HD320D8，其電機參數(shù)如表1所示。

表1 步進電機24HD320D8的性能參數(shù)Tab.1 Performance parameter of stepping motor 24HD320D8

式（13）是在研究轉(zhuǎn)速的基礎(chǔ)上推導(dǎo)的步進電機的傳遞函數(shù)。

1.2 步進電機專家PID控制

對于典型的控制過程，運用比例（P）、積分（I）和微分（D）的PID控制是比較理想的，它具有控制簡單、易實現(xiàn)、適用面廣、控制參數(shù)相互獨立、參數(shù)的選定比較容易等優(yōu)點，尤其在電機控制的研究中，希望控制方法既可以滿足性能期望，又可以降低系統(tǒng)的復(fù)雜程度，以提高系統(tǒng)可靠性并且降低成本，所以電機控制多采用PID控制。

PID控制器控制調(diào)整的實現(xiàn)方法有很多種，例如模糊PID、單神經(jīng)元PID等。這些方法的優(yōu)點是結(jié)構(gòu)簡單，但需要實時權(quán)值優(yōu)化，算法整體復(fù)雜度較高。若可以根據(jù)控制經(jīng)驗，設(shè)計出幾條專家規(guī)則用來調(diào)整PID控制，從而給出一種專家PID控制器，可能會是實現(xiàn)步進電機速度控制的一種有效辦法。

專家PID控制的實質(zhì)是基于受控對象和控制規(guī)律的各種知識，無須知道被控對象的精確模型，利用專家經(jīng)驗來設(shè)計PID參數(shù)。專家PID控制是一種直接型專家控制器[5]。圖2所示為根據(jù)上述傳遞函數(shù)進行實驗所得出的速度階躍響應(yīng)曲線。

根據(jù)式（13）計算其傳遞函數(shù)為

圖2 步進電機速度階躍響應(yīng)曲線Fig.2 Step response curve of stepping motor speed

對圖2中各點做如下說明，B點、D點、F點目標值為90 r/min，C點為 110 r/min，E點為 84 r/min，G點為95 r/min。

在圖 2 中，AB，CD，EF，……區(qū)域，誤差朝絕對值減小的方向變化，此時，可采取等待措施，相當于實施開環(huán)控制；BC，DE，F(xiàn)G，……區(qū)域，誤差朝絕對值增大的方向變化，此時，可根據(jù)誤差的大小分別實施較強或一般的控制作用，以擬制動態(tài)誤差[6-7]。

令e（k）表示離散化的當前采樣時刻的誤差值，在這里所指的是轉(zhuǎn)速的誤差，即實際轉(zhuǎn)速與期望轉(zhuǎn)速的差值。 e（k-1），e（k-2）分別表示前一個和前 2個采樣時刻的誤差值，則有

根據(jù)誤差及其變化進行如下分析：設(shè)定限值M1、M2，M1的值用來控制誤差的超調(diào)量，取值規(guī)則是取略小于誤差極大值的同比大?。籑2的值用來控制誤差朝絕對值增大方向變化時控制作用施加值的大小，取值規(guī)則取略小于誤差極小值的同比大小，M1＞M2＞0；em（k）為誤差 e 的第 k 個極值；u（k）為第 k次控制器的輸出；u（k-1）為第k-1次控制器輸出；k1為增益放大系數(shù)，k1＞1；k為控制周期的序號 （自然數(shù)）；ε為任意小的正實數(shù)。

2）當e（k）Δe（k）＞0或Δe（k）=0 時，說明誤差在朝誤差絕對值增大方向變化，或誤差為一常值，未發(fā)生變化。

3）當e（k）Δe（k）＜0、e（k）Δe（k-1）＞0 或者Δe（k）＝0時。說明誤差的絕對值朝減小的方向，或者已經(jīng)達到平衡狀態(tài)。此時，可考慮采取保持控制器輸出不變。

4）當e（k）Δe（k）＜0、e（k）Δe（k-1）＜0 時，說明誤差處于極值狀態(tài)。如果此時誤差的絕對值大，即可考慮實施較強的控制作用，即

2 步進電機專家PID算法的仿真實驗

仿真實驗希望反應(yīng)轉(zhuǎn)速控制性能為超調(diào)很小、響應(yīng)過程盡量平穩(wěn)、快速。實驗主要基于轉(zhuǎn)速階躍響應(yīng)圖區(qū)域制定的規(guī)則，運用專家PID算法對PID的參數(shù)進行調(diào)整，得出轉(zhuǎn)速階躍響應(yīng)圖和誤差響應(yīng)圖，和常規(guī)PID的控制進行比較得出本算法的優(yōu)勢[8]。

用常規(guī)的PID控制方法進行步進電機的仿真，P、I、D的值根據(jù)所要求的轉(zhuǎn)矩2 N·m及所要達到的轉(zhuǎn)速 90 r/min，可設(shè) kP=0.6，kI=0.03，kD=0。

參數(shù)M1、M2的設(shè)定主要是根據(jù)圖2中各個區(qū)域的極值大小來確定，在誤差絕對值逐漸變小的AB、CD、EF區(qū)域，可以根據(jù)規(guī)則1，實施開環(huán)控制，由于A點是轉(zhuǎn)速變化到最小的極值，依據(jù)A點的轉(zhuǎn)速設(shè)定開環(huán)控制閾值M1，其對目標值的同比百分數(shù)為則可設(shè)定M1=0.8；而對于BC，DE，F(xiàn)G區(qū)域，誤差逐漸變大，可以根據(jù)規(guī)則2，在到達G點時已經(jīng)快要趨于平穩(wěn)，所以根據(jù)G點的轉(zhuǎn)速來設(shè)定控制閾值M2，其對目標值的同比百分數(shù)為0.055，則可設(shè)定M2=0.06。而參數(shù)中k1的確定就需要根據(jù)系統(tǒng)所要完成的控制效果來設(shè)定，經(jīng)過多次仿真實驗將其值設(shè)為k1=3，根據(jù)設(shè)定參數(shù)的大小進行Matlab仿真實驗，得出曲線如圖3、圖4所示。

如圖3、圖4所示，專家PID控制器轉(zhuǎn)速的階躍響應(yīng)和誤差調(diào)整時間約為0.05 s，控制過程平穩(wěn)、快速、超調(diào)較小，而普通PID控制器轉(zhuǎn)速的階躍響應(yīng)和誤差調(diào)整時間為0.1 s，控制過程中轉(zhuǎn)速會出現(xiàn)波動和超調(diào)的現(xiàn)象。實驗結(jié)果表明，專家PID控制器對步進電機的速度可以實現(xiàn)平穩(wěn)快速的控制，控制性能良好。

圖3 普通PID控制和專家PID控制階躍響應(yīng)比較曲線Fig.3 Comparison of the step response curves of common PID control and expert PID control

圖4 普通PID控制和專家PID控制誤差響應(yīng)比較曲線Fig.4 Comparison of the error response curves of common PID control and expert PID control

3 結(jié)語

針對復(fù)雜的步進電機系統(tǒng)控制的問題，以控制步進電機的轉(zhuǎn)速為目的，本文研究了步進電機轉(zhuǎn)速的專家PID控制方法。提出了一種簡單的專家PID控制方法，對步進電機加速特性適應(yīng)能力強。通過仿真實驗，與普通PID控制方法相比，所提專家PID控制方法高效、控制效果好，易于采用較低檔次的單片機等器件實現(xiàn)，為步進電機的應(yīng)用提供了一種可選的控制方法。

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