尹偉石，蔡銘，楊栩智，馮玉玲

（1.長春理工大學 理學院，長春 130022；2.東北師范大學 數(shù)學與統(tǒng)計學院，長春 130024）

分數(shù)階導數(shù)是描述一些物理現(xiàn)象的有力工具。最近幾年在分數(shù)階微積分理論的研究中發(fā)現(xiàn)非整數(shù)階的導數(shù)在描述很多物理現(xiàn)象時是十分有效的，比如阻尼法則和擴散過程。分數(shù)階偏微分方程在描述一些具有記憶過程或遺傳性質(zhì)的現(xiàn)象以及一些具有特異性質(zhì)的材料時更具優(yōu)勢。分數(shù)階微積分方面的一些基礎性的工作是由Kilbas和Trujillo［1］，Caputo［2］等人做出的。Manafian和Lakestan［3］應用廣義雙曲正切-余切方法解出了一些非線性的偏微分方程的確切解。文獻［4］使用廣義雙曲正切-余切方法和廣義（G/G'）展開法求出了具有可積性的6階Drinfeld-Sokolov-Satsuma-Hirota系統(tǒng)的確切解。在文獻［5，6］中，作者應用函數(shù)變量法，指數(shù)函數(shù)法以及（G/G'）展開法解出了在改進的Riemann-Liouville意義下的分數(shù)階偏微分方程的解。Yasar和Giresunlu［7］則利用展開法來解決非線性時-空分數(shù)階偏微分方程。Hariharan［8］利用Haar小波法構(gòu)造出Cahn-Allen方程的解析解。Tascan與Bekir［9］使用首次積分法解Cahn-Allen方程并得出了包含孤波解以及周期波解的結(jié)果。本文主要考慮Ju、marie［10］改進的α階Riemann-Liouville分數(shù)階導數(shù)意義下的分數(shù)階Cahn-Allen方程，利用廣義雙曲正切-余切方法來求其行波解。

1 求解Cahn-Allen方程

近年有關相變理論中相場模型的研究備受矚目。由于其數(shù)學內(nèi)涵的豐富性以及復雜程度，加上其在材料科學之中的應用，因此有關相場模型的研究無論是在理論意義還是實際意義下都是十分值得的。相場理論中的基本模型有四種，分別是：Cahn-Allen方程，Cahn-Hillard方程，Penrose-Fife系統(tǒng)Cagnalp系統(tǒng)，其中Cahn-Allen方程的一般形式如下：

考慮0＜α≤1以及t=1的情況，即只考慮時間分數(shù)階的情形。下面對非線性的分數(shù)階Cahn-Allen方程作變換那么原方程可化為

將上式代入（2）式，得到：

那么解的形式最終為：

則有以下的代數(shù)式：Φk的系數(shù)：

利用Mathematica解出所要求的未知量，其中p,q,r為自由未知量。由于解的情況比較有規(guī)律，可將解的情況分為以下兩類：

第一類解的情況：這一類解實際上包括8組不同的解，但由于不同解之間往往只有符號的差別，所以將其統(tǒng)一寫成以下形式。

（1）p,q,r≠0

此時有四個解：

第二類解的情況：此時解可以寫為：

同樣可以分為以下四種情況：

（1）p,q,r≠0

此時有四個解：

2 數(shù)值算例

為了更好地研究Cahn-Allen方程的行波解的性質(zhì)，本節(jié)將部分繪制出所求解的圖像。由于所求得的解之中含有參數(shù)且解之中出現(xiàn)了，因此需先選定參數(shù)的值并且保證Δ＞0。令p=3,q=2,r=1，i=j=0，此時有Δ=p2-4qr=1。對于參數(shù)為0的情況將單獨討論。

考慮第一類解的第一種情況，由于u1,u2為復函數(shù)，暫不考慮。

由圖1與圖2可以看出u3和u4的函數(shù)值在某一帶狀區(qū)域變化特別明顯，其他區(qū)域的變化則較為平緩。這一帶狀區(qū)域起點位于（0，0）附近，隨著t的增大，此區(qū)域向x軸的負方向移動，且隨著α的增大，移動的速度相應變大。此外，由于u3和u4之間的函數(shù)性質(zhì)存在差異，因此它們在這一帶狀區(qū)域的變化情況存在一定的差異。u3在這一區(qū)域是連續(xù)的且函數(shù)是在x方向是遞增的，且有在此區(qū)域存在間斷點且函數(shù)從這一區(qū)域向x軸的兩個方向遞減，且有

下面考慮第二類解的情況，參數(shù)如上。結(jié)果如圖3與圖4所示。從這里可以看出，這些圖像與圖1與圖2中所列的圖像是相似的，在這里分別將兩種情況下的u3和u4作差，取絕對值后做圖像如圖5（其中α=0.25）。從圖像上可以看出兩類解在x=0處的差異較為明顯。通過數(shù)值算例可以發(fā)現(xiàn)，本方法計算的結(jié)果符合文獻［11］中對Cahn-Allen方程行波解的漸進估計。

圖1 u3的圖像（從左至右依次是α=0.25,0.5,0.75的情況

圖2 u4的圖像（從左至右依次是α=0.25,0.5,0.75的情況

圖3 u3的圖像（從左至右依次是α=0.25,0.5,0.75的情況

圖4 u4的圖像（從左至右依次是α=0.25,0.5,0.75的情況

圖5 兩種情況下函數(shù)的差的圖像

3 結(jié)語

通過本文可以看出廣義雙曲正切-余切方法對于求解Cahn-Allen方程的行波解是十分有效的，而且其得出的解無論是在數(shù)學還是物理方面都有其特殊的意義。此外還可以將此方法推廣到其他類型的分數(shù)階偏微分方程的求解之中，從而更好地闡釋物理學、工程學和其他應用領域內(nèi)的復雜現(xiàn)象。

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