劉帆洨， 彭其淵， 梁宏斌， 楊 奎

（1.西南交通大學 交通運輸與物流學院，四川 成都 610031；2.西南交通大學 綜合交通運輸智能化國家地方聯(lián)合工程實驗室，四川 成都 610031）

鐵路客運售票組織是鐵路旅客運輸組織管理的核心，是鐵路生產(chǎn)管理工作的重要內(nèi)容，是影響鐵路運輸能力和運營效益的關鍵環(huán)節(jié)。鐵路客運售票組織是一個以票額分配為基礎，與多種輔助決策相結合的復雜問題。

既有的票額分配是根據(jù)列車運行圖，將旅客列車運輸能力分配到列車沿途各?？空镜姆峙溆媱潱?］。票額分配計劃是比較成熟的產(chǎn)品［1-4］。然而目前票額發(fā)售仍采用“先到先得”的方式，極易導致因短途旅客提前購買，長途旅客需求無法被滿足，出現(xiàn)“車上空位，車站沒票”。為了合理利用票額，提高列車能力利用率和運輸收益，一系列票額分配方法受到關注，成為近年來鐵路客運運營管理的研究熱點。文獻［5］基于客流預測，提出了以旅客列車全程的客座率、收入以及整體效益最大化為目標的票額智能預分方法；文獻［6］通過分析客流趨勢規(guī)律和分布規(guī)律，實現(xiàn)了隨機需求與隨機票額分配的單列車票額分配方法；文獻［7］在客流預測基礎上，提出票額數(shù)量調(diào)配模型、席位占用優(yōu)化模型，并基于這兩種模型得到票額分配方案；文獻［8］針對高速鐵路提出“嵌套式”票額分配模型來保護長途OD的需求；文獻［9］結合OD客流需求，提出高速鐵路多列車多停站方案的票額分配方法，考慮了同一OD多列車服務的可替代性。以上研究主要根據(jù)OD客流的需求預測，將票額提前裂解實現(xiàn)預分，對預售過程中OD需求的變化未給予充分考慮，不利于鐵路運輸能力的充分挖掘和效益提高。

本文基于列車沿途各停靠站的票額分配計劃，研究單列車票額預售控制策略。根據(jù)預售期旅客購票趨勢規(guī)律，將預售期分為不同階段；以客流需求預測值、最低票額保護值為約束條件，以不同OD旅客在各預售階段的平均購票強度來描述預售期變化的OD需求，以半馬爾可夫決策過程為基礎，建立單次決策期望收益模型，并以此推廣至列車全程及整個預售期，構建以最大期望票價收益為目標的單列車票額預售控制決策模型；進而獲得預售期不同階段各OD的控制票額，為鐵路客運票額控制策略的研究提供一種新思路。最后，運用Matlab進行算例分析，驗證了方法的可行性。

1 問題描述

由時序原理可知，預售期的購票需求應存在一定趨勢規(guī)律；先購票的旅客具有優(yōu)先的能力占用范圍選擇，不同能力占用過程的具體表現(xiàn)是各OD旅客在各預售階段的平均購票強度，因此各預售階段票額需裂解的數(shù)量和程度也不同?，F(xiàn)有的票額分配方法未考慮預售期的購票趨勢和不同OD的平均購票強度等因素，不利于票額的充分利用。根據(jù)旅客購票趨勢，對預售期進行階段劃分；結合OD需求變化，限定各階段不同OD的控制票額；可避免票額未預分導致短途旅客先購票，占用緊張區(qū)段的能力致使長途旅客購買不到車票；避免票額被提前預分導致不能更好的適應預售期變化的購票需求。

客票發(fā)售過程可以認為是一個有限、離散時段的馬爾可夫決策過程［10-12］。馬爾可夫決策過程是指決策者周期地或連續(xù)地觀察具有馬爾可夫性的隨機動態(tài)系統(tǒng)，并序貫地做出決策，即根據(jù)每個時刻觀察到的狀態(tài)，從可用的決策集合中選一個做出決策。決策者根據(jù)新觀察到的狀態(tài)，再做新的決策，依此反復地進行。但連續(xù)時間的觀察會導致較高的觀測成本，且不能很好地適應時變客流。半馬爾可夫決策過程（SMDP）是以每次事件為觸發(fā)點來做出決策，即各狀態(tài)轉移時刻具有馬爾可夫性，其決策過程能充分結合不同OD旅客在各預售階段的平均購票強度。因此，本文以每次購票請求為觸發(fā)事件，利用半馬爾可夫決策過程來描述單列車票額預售決策過程，得到列車票額預售控制決策鏈。該決策鏈是模型構建的基礎。

2 預售控制決策鏈

2.1 參數(shù)說明

首先定義如下輸入?yún)?shù)：C為列車定員；Z為列車辦理旅客乘降作業(yè)的車站總數(shù)；zi為列車運行起訖點所經(jīng)停的第i個車站；（i，j）為由車站zi到車站zj的OD區(qū)間；T為預售期的第T個階段；MT為第T階段包含的發(fā)售天數(shù)為列車在預售期第T階段、區(qū)間（i，j）的累計售票統(tǒng)計值；tp、tq為預售的第tp、tq天；其中p和q為預售期階段劃分的第p和第q個時間節(jié)點，且p ＜q；li，j為列車在區(qū)間（i，j）的票額最低保障值；Di，j為列車在區(qū)間（i，j）的客流需求預測值；U［tp，tq］為列車在預售階段［tp，tq］的購票需求預測值；為平均購票強度，表示第T 階段，區(qū)間（i，j）在單位時間（小時）內(nèi)的平均購票量。

為方便模型描述定義如下變量：ei，j為區(qū)間（i，j）出行旅客的購票請求；所有購票請求集合為E，｛eij｜eij∈E｝。sv為第v個購票請求到達時的狀態(tài)層，每個狀態(tài)層對應一個或多個不同狀態(tài)。為決策分析過程中，區(qū)間（i，j）的控制票額表示sv狀態(tài)層，第k決策點對應的當前狀態(tài)；所有狀態(tài)集合為S，sv（k）∈S。A為對任意購票請求的所有決策集合為滿足購票請求，0則反之。a（ei，j）為對購票請求ei，j的決策；當購票請求到達時，需要從決策集合A中選擇一種決策，a∈A。R為累計期望票價收益。

2.2 基于SMDP的預售決策分析

利用SMDP對預售過程進行描述。為方便起見，考慮5個車站、單一席別、無限售車站。z1為始發(fā)站，z2至z4為中間站，z5為終點站。假設任意OD區(qū)間旅客購票強度服從泊松分布，無旅客退票。每個發(fā)售站都可提供多種OD客票產(chǎn)品，例如：發(fā)售站z1的客票產(chǎn)品為區(qū)間 （1，2），（1，3），（1，4）和 （1，5）的客票。

根據(jù)購票統(tǒng)計數(shù)據(jù)得到任意車次預售期的日購票趨勢分布，采用文獻［13］的特征識別法，將預售期分成N個階段（例如N＝3），則T∈［1，N］，階段劃分的時間節(jié)點分別為第t0、t1、t2和t3天，見圖1。

圖1 預售時間的階段劃分

利用現(xiàn)已成熟的時序分析法［13］可得到列車在預售第一天t0至預售期內(nèi)任意tq的購票需求預測值U［t0，tp］、任意區(qū)間（i，j）的客流需求預測值Di，j。而對于可根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)和MT來表達

圖2為預售決策流程。令所有ni，j＝0，對任意的｛ei，j｜ei，j∈E｝滿足購票請求。當任意一種區(qū)間（i，j）的控制票額ni，j達到最低保障值li，j，系統(tǒng)開始決策分析。記第一次開始決策分析時各OD的控制票額為決策分析初始狀態(tài)s0。

圖2 預售決策流程

在決策分析階段，所有｛ei，j｜ei，j∈E｝可分為兩類，一類是不用決策分析，直接滿足的請求ei，j，以集合G表示，包括：控制票額未達到區(qū)間（i，j）最低保障值的ei，j屬于集合G。另一類是需要決策分析的ei，j，以集合H表示，包括：除集合G以外剩余所有區(qū)間（i，j）的ei，j，即 H＝E－G。隨著滿足購票請求次數(shù)的增加，集合H最終將包含所有OD區(qū)間。

如圖3所示，每條虛線代表任意｛ei，j｜ei，j∈H｝到達時生成的狀態(tài)層sv。每個狀態(tài)層包含多個節(jié)點，每個節(jié)點代表經(jīng)歷不同決策過程得到的決策點。決策點內(nèi)的數(shù)字表示所在狀態(tài)層的決策點編號。每一決策點連接著兩條邊，分別代表不同決策和狀態(tài)參數(shù)改變情況。決策分析方法為：

圖3 決策分析方法

（1）在決策分析階段，對集合H 的任意ei，j需做決策分析。對任意sv層的第k決策點，不同決策分析經(jīng)過不同的狀態(tài)轉移，生成不同的決策點：決策a＝1，當前控制票額ni，j累加1；決策a＝0，當前控制票額不變；其他決策點分析方法相同。

（2）在決策分析階段，對集合G的任意ei，j直接滿足，不做決策分析，沒有狀態(tài)轉移，不會生成新的決策點，僅將當前狀態(tài)層sv包含的各決策點控制票額ni，j更新為ni，j＋1。

（3）當任意sv層的第k決策點的所有控制票額ni，j之和滿足式

（4）則該決策點為預售階段時間節(jié)點tq對應的決策點，其狀態(tài)sv（k）＝［n1，2，n1，3，…，nN－1，N］的各參數(shù)為截止到時間節(jié)點tq的票額預售控制量；此時，決策點k的平均購票強度由當前變?yōu)?/p>

對集合H的任意ei，j做決策時，由狀態(tài)層sv轉移至sv＋1。對sv層的第k決策點，a＝1的狀態(tài)轉移概率為滿足區(qū)間（i，j）旅客購票請求的概率。a＝0的狀態(tài)轉移概率為未滿足購票請求的概率。因此，當平均購票強度為時，不同決策的狀態(tài)轉移概率p（sv＋1｜sv）

式中：μi，j和γij是狀態(tài)轉移概率的影響因子。其中，μi，j是出行距離保護系數(shù)。結合票額預售原則，需保證長途客票效益，因此狀態(tài)轉移概率還應受到μi，j的影響。μi，j為當前旅客出行距離與列車全程距離的比值，0≤μi，j≤1。出行距離越遠μi，j值越大，當μi，j＝1表示始發(fā)終到的出行。γij是旅客對區(qū)間（i，j）票額的敏感度（購票敏感度）。在實際預售過程中，旅客購票時間大部分比較集中，且存在很多即買即走的旅客，對當前票額余量較敏感；由于短途旅客較長途旅客有更多的出行方式選擇，因此長途旅客對票額信息更敏感。由此，定義旅客對區(qū)間（i，j）的購票敏感度為包括區(qū)間（i，j）所有OD的已售票額總量與列車定員的比值，即

（5）當包含區(qū)間（i，j）的所有區(qū)間票額的總量達到列車定員時，或當ni，j達到區(qū)間（i，j）客流需求預測值Dij時，停止增加該區(qū)間的票額。

（6）當所有區(qū)間票額停止增加時，決策分析結束，不同決策過程形成多條決策鏈。

（7）就不同決策鏈而言，由于對集合G的決策是固定的，由集合G得到的收益也是固定的，因此無需考慮該部分收益對不同決策過程的影響。

3 模型構建

3.1 單次決策期望收益模型

決策分析結束后，需要計算每一決策鏈的期望票價收益。因此，需要分別計算各決策點的單次決策期望收益。圖4，假設區(qū)間（1，2）的購票請求到達，發(fā)售

圖4 單次決策的期望收益

站為z1：決策a＝1時，裂解站為z2，票額裂解后的剩余席位可形成區(qū)間（2，3）、（2，4）、（2，5）、（3，4）、（3，5）和（4，5）六種剩余客票產(chǎn)品，且以一定概率被再次銷售。其中，所有剩余客票產(chǎn)品的期望收益稱為席位剩余期望收益。因此，單次決策期望收益包含兩部分：當前客票產(chǎn)品收益和席位剩余期望收益。決策a＝0時，客票產(chǎn)品收益為0，席位剩余期望收益則是將乘車站z1作為裂解站的剩余客票產(chǎn)品的期望收益。

基于以上分析，推廣至Z個車站，有Z（Z－1）／2種不同區(qū)間客票產(chǎn)品。令βi，j表示客票（i，j）的票價。由于在計算決策鏈期望票價收益時，每一條決策鏈對應每一狀態(tài)層的唯一決策點，因此在計算時將sv（k）簡化為sv。令x（sv，a）表示狀態(tài)為sv的決策點，對購票請求ei，j做出a決策的客票收益

令y（sv，a）為a決策下的席位剩余期望收益

式中：βh，m、qh，m分別為a決策下，區(qū)間（h，m）的客票價格和該產(chǎn)品售出概率。記當前平均購票強度為λTi，j，則qh，m

式中：

得到單次決策期望票價收益

3.2 預售控制決策模型

基于單次決策期望收益模型，建立以最大期望票價收益為目標的票額預售控制決策模型

式中：0＜i≤h且h＜j≤Z。式（10）描述了每次新決策后的總期望收益R（sv）與決策前總期望收益R（sv-1）的遞推關系：a決策下狀態(tài)轉移至sv的新增期望收益r（sv，a），與前一狀態(tài)總期望收益R（sv－1）在轉移概率p（sv｜sv－1，a）下的期望收益之和，即為新決策后的總期望收益R（sv）。通過迭代計算，最后獲得最大期望票價收益對應的決策鏈。式（11）表示狀態(tài)sv下，該列車任意區(qū)間（i，j）的控制票額應不小于區(qū)間（i，j）的票額最低保障值，且不超過區(qū)間（i，j）客流需求預測值。式（12）表示任意狀態(tài)下，包含任意相鄰車站區(qū)段所有客票產(chǎn)品的控制票額不大于列車定員；即任何時刻，任意相鄰車站區(qū)段的列車運輸總量不大于列車定員。

3.3 獲得最優(yōu)決策策略

決策分析結束后，得到最大期望票價收益決策鏈，進而得到預售期各階段時間節(jié)點tq對應的決策點，其控制票額ni，j即為預售階段 ［tq－1，tq］、區(qū)間（i，j）的控制票額。

4 算例分析

4.1 預售控制決策策略

以某車次的高鐵列車為例，該列車運行線路包含5個客運站z1至z5。車站z1至z4的票額分配為（520，80，10，0）。設列車總定員610，預售時間20 d，各 OD約束條件（客流需求預測值、最低票額保障值、票價）和OD公里數(shù)，見表1?？紤]單一席別類型（二等座）。

表1 約束條件、OD公里數(shù)

通過數(shù)據(jù)得到預售期的購票趨勢，見圖5。根據(jù)特征識別法，將預售期（20 d）分成3個階段：T＝1為［－20，－7］、T＝2為（－7，－3］、T＝3為（－3，0］；時間節(jié)點為：t0＝－20、t1＝－7、t2＝－3、t3＝0。

圖5 預售期購票趨勢分布

表2 預售期各階段λi，j與U［tp，tq］

表3 不同預售階段下各OD的控制票額張

4.2 結果分析

為了分析模型對不同出行距離旅客購票請求的決策影響，將所有OD客票產(chǎn)品按里程區(qū)間分為兩類短途d1＝［157，337］km 和長途d2＝（337，707］km。根據(jù)最優(yōu)決策鏈，可得到短途和長途在不同累計售票量下，對新到短途購票請求的決策結果，見表4。

表4 短途購票請求的決策情況

表4中，1表示滿足d1里程區(qū)段的購票請求；反之則用0表示。隨著預售時間的推移，當累計長途售票量逐漸增加，累計短途售票量相對較低時，短途購票敏感度減少，滿足短途購票請求的概率較低，有利于保證長途客票效益。另外，當累計短途售票量逐漸增加，累計長途售票量仍較少時，短途購票敏感度增加，滿足短途購票請求的概率較高，對挖掘中間站短途客票效益有積極作用。此外，購票敏感度還受到出行距離保護系數(shù)影響，隨著出行距離減小，保護水平降低，購票敏感度降低。因此，該模型在考慮旅客出行需求條件下，結合出行距離保護系數(shù)，可實現(xiàn)對不合理的短途票裂解加以控制，從而提升長途客票效益。

采用貪婪算法（Greedy Model）模擬傳統(tǒng)預售先到先得，與預售控制模型進行比較。以區(qū)間（1，5）和（1，2）分別代表始發(fā)長途與短途，分析不同OD需求的票額預售控制結果。貪婪算法總是會接受優(yōu)先到達旅客的購票請求，直到達到票額上限值。

如圖6所示，隨著時間推移，累計售票量增加，且購票需求集中于預售－7 d之后。預售初期，兩種模型下始發(fā)長途、短途票額預售情況相當。隨著預售時間推移，由于預售控制決策模型限制了不合理的短途票額裂解，短途售票量略微減少；此外，采用預售控制決策模型的始發(fā)長途售票量得到一定程度的提高。

圖7 預售各階段客座率

如圖7所示，采用預售控制決策與傳統(tǒng)預售相比。預售初期，兩種方式得到的客座率較接近。隨著預售時間的推移，采用預售控制決策模型的客座率獲得明顯改善。

如圖8所示，對比兩種方法的期望票價收益。預售初期累計售票量較低，兩種方法下的期望票價收益相近；當累計售票量達到一定程度時，采用預售控制決策模型能獲得更高的期望票價收益。本算例中使用常規(guī)服務器，采用貪婪算法每次耗時約2 min；預售控制決策模型每次計算時間約5 min，期望票價收益提高約4.1%。

圖8 期望票價收益

5 結論

本文在基于列車沿途?？空镜钠鳖~分配計劃下，以客流需求預測值和最低票額保護值為約束，結合旅客出行需求，充分考慮購票趨勢和OD需求變化對列車能力占用過程的影響，基于半馬爾可夫決策過程，以期望票價收益最大化為目標，構建了單列車票額預售控制決策模型。該方法可與其他輔助決策（限售、票額共用和席位復用等）相結合。最后通過算例驗證了該方法的可行性，并得出：

（1）本文提出方法在考慮旅客出行需求等社會效益的同時，可在一定程度上提高列車客座率和列車運營收益，從而提高列車整體效益。

（2）有利于保證長途客票效益、挖掘中間站短途客票效益。

（3）可有效控制和減少預售期各階段票額不合理裂解，為鐵路客運票額控制策略的研究提供一種新思路。

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