夏倩倩，劉開恩，紀(jì)志堅(jiān)

近幾年，由于多智能體系統(tǒng)一致性問(wèn)題在機(jī)器人編隊(duì)問(wèn)題[1]、群集運(yùn)動(dòng)問(wèn)題[2]等方面得到廣泛應(yīng)用，這一問(wèn)題成為了當(dāng)前控制領(lǐng)域的研究重點(diǎn)。一致性控制就是設(shè)計(jì)一個(gè)一致性協(xié)議使得所有智能體的狀態(tài)漸近達(dá)到一個(gè)共同的值。許多學(xué)者已經(jīng)研究了在拓?fù)渚W(wǎng)絡(luò)、非線性、時(shí)滯等約束條件下，以一階、二階或高階動(dòng)力學(xué)方程為模型的多智能體系統(tǒng)的一致性問(wèn)題[3-7]。

用基于事件觸發(fā)控制代替時(shí)間觸發(fā)控制具有十分重要的意義[8]。通過(guò)與時(shí)間觸發(fā)控制的比較發(fā)現(xiàn)，基于事件觸發(fā)控制在減少通信次數(shù)方面具有明顯的優(yōu)點(diǎn)，在多數(shù)情況下，基于事件觸發(fā)控制要優(yōu)于傳統(tǒng)的時(shí)間觸發(fā)控制[9]。2013年，X.Y.Meng等[10]在固定拓?fù)渚W(wǎng)絡(luò)下針對(duì)特定事件設(shè)計(jì)了一致性協(xié)議來(lái)探索多智能體系統(tǒng)的一致性問(wèn)題，隨后又提出了在切換拓?fù)渚W(wǎng)絡(luò)下的基于事件的一致性協(xié)議。2014年，王航飛等[1]將基于事件觸發(fā)控制應(yīng)用到了環(huán)形編隊(duì)問(wèn)題中；2016年，K.Liu等[11]基于一致性理論研究成果研究了一階和二階多智能體系統(tǒng)在有向圖下基于事件的包容控制問(wèn)題，基于一定的事件，智能體決定何時(shí)傳遞狀態(tài)給它的鄰居，并且利用這些采樣狀態(tài)設(shè)計(jì)了分布式協(xié)議，從而使得跟隨者最終收斂到領(lǐng)導(dǎo)者所形成的凸包中；Y.Fan等[12]對(duì)進(jìn)行周期采樣的多智能體系統(tǒng)設(shè)計(jì)了基于事件一致性協(xié)議，并且在此基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)了自觸發(fā)一致性協(xié)議來(lái)減少通信次數(shù)和采樣次數(shù)；2017年，W.Zhu等[13]研究了二階多智能體系統(tǒng)在離散時(shí)間情況下的基于事件觸發(fā)控制的一致性問(wèn)題，通過(guò)自觸發(fā)方式避免了觀察智能體及其鄰居在所有離散時(shí)刻的狀態(tài)；文獻(xiàn)[14]針對(duì)二階多智能體系統(tǒng)提出了基于事件觸發(fā)控制的一致性協(xié)議，對(duì)固定有向拓?fù)渚W(wǎng)絡(luò)下的系統(tǒng)一致性問(wèn)題進(jìn)行了分析；2013年，胡春健[15]采用事件驅(qū)動(dòng)控制方法，研究了一類一般線性多智能體系統(tǒng)的一致性問(wèn)題，研究方法上不再要求拉普拉斯矩陣具有對(duì)稱性，并獲得了一類線性多智能體系統(tǒng)達(dá)到一致的充分條件；2016年，D.P.Yang等[16]研究了一般線性多智能體系統(tǒng)在有向圖中的基于事件觸發(fā)控制的一致性問(wèn)題，基于狀態(tài)反饋，采用分布式事件觸發(fā)一致性協(xié)議使得所有智能體都實(shí)現(xiàn)了一致性，不需要智能體之間進(jìn)行連續(xù)通信；文獻(xiàn)[17]研究了一般線性模型多智能體系統(tǒng)在基于事件觸發(fā)情況下的采樣數(shù)據(jù)一致性問(wèn)題，分別設(shè)計(jì)了固定和切換拓?fù)淝闆r下的分布式事件觸發(fā)策略。

雖然利用一階鄰居信息研究多智能體系統(tǒng)的一致性較為普遍，但由于系統(tǒng)的復(fù)雜性，為了提高系統(tǒng)的收斂速率，許多學(xué)者開始利用二階鄰居信息對(duì)多智能體系統(tǒng)的一致性問(wèn)題進(jìn)行研究。2010年，D.Yuan等[18]研究了一階多智能體系統(tǒng)利用二階鄰居信息來(lái)加速分布式平均一致性的問(wèn)題，解決了在離散和連續(xù)時(shí)間情況下的加速平均一致性問(wèn)題，并發(fā)現(xiàn)了利用二階鄰居信息要比只使用一階鄰居信息的協(xié)議收斂速度快；不同于Z.Liu等[19]在2010年利用全局信息對(duì)多智能體系統(tǒng)的一致性進(jìn)行研究的結(jié)果，文中只需要利用一階和二階鄰居信息來(lái)研究一階多智能體系統(tǒng)的一致性問(wèn)題，結(jié)合二階鄰居信息和事件觸發(fā)條件，通過(guò)對(duì)一階多智能體系統(tǒng)加速平均一致性問(wèn)題的研究來(lái)提高網(wǎng)絡(luò)收斂速度；2017年，王康等[20]為了研究一階多智能體系統(tǒng)的一致性特點(diǎn)及能控、能觀性保持策略，分析了具有時(shí)變拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的多智能體系統(tǒng)在一階鄰居和二階鄰居協(xié)議下的一致性速度，并且得出了系統(tǒng)在二階鄰居協(xié)議下具有更快的收斂速度的結(jié)論；2014年，H.Pan等[21]證明了在二階動(dòng)力學(xué)方程下利用二階鄰居信息并不一定能夠加速一致性速度，一致性速度還和二階鄰居協(xié)議的參數(shù)有關(guān)系。

本文將針對(duì)一類一階多智能體系統(tǒng)的一致性問(wèn)題展開研究，通過(guò)合理設(shè)計(jì)事件觸發(fā)條件和一致性協(xié)議得到事件觸發(fā)時(shí)刻序列，并獲得使系統(tǒng)達(dá)到一致性的條件。本文采用的是文獻(xiàn)[10]中的研究模型。

1 準(zhǔn)備知識(shí)

1.1 代數(shù)圖論

1.2 模型描述

設(shè)智能體vi的事件觸發(fā)判定條件為

在每個(gè)采樣時(shí)刻，每個(gè)智能體都傳遞自己的狀態(tài)信息給它的一階鄰居和二階鄰居并且也接收來(lái)自它一階鄰居和二階鄰居的狀態(tài)信息用于事件檢測(cè)。如果條件(2)滿足，那么智能體vi不需要更新自己的控制輸入；否則，vi將更新它自己的控制輸入并且通知它的一階鄰居和二階鄰居利用vi當(dāng)前的狀態(tài)信息來(lái)更新它們的控制輸入，同時(shí)將誤差置于零，這時(shí)就滿足了條件(2)。也即vi的事件觸發(fā)時(shí)刻為

為了減少符號(hào)的復(fù)雜程度，定義

根據(jù)定義的符號(hào)，考慮利用二階鄰居信息構(gòu)造一致性協(xié)議，由此給出下面的基于事件一致性協(xié)議：

2 固定拓?fù)渚W(wǎng)絡(luò)下的一致性研究

暫且假設(shè)系統(tǒng)具有固定拓?fù)渚W(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，由協(xié)議(3)式得到智能體vi的閉環(huán)系統(tǒng)為

在無(wú)向連通圖中，由于L的非對(duì)角線元素不大于零，主對(duì)角線元素大于等于零且行和為零，具有相同的性質(zhì)，容易得到具有同樣的性質(zhì)，所以仍為拉普拉斯矩陣。

考慮系統(tǒng)的平均狀態(tài)：

δ(t)=x(t)?ˉx(t)1n=x(t)?ˉx1n

考慮李雅普諾夫函數(shù)

即狀態(tài)的平方和的1/2。

引理 2 (Lasalle不變?cè)? 設(shè)C是有界閉集，從C內(nèi)出發(fā)的系統(tǒng)的解，若存在，具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)，滿足。又設(shè) ，是最大不變集，則當(dāng)時(shí)，有。

定理 1 設(shè)系統(tǒng)(1)具有連通通信拓?fù)?，采用協(xié)議(3)的系統(tǒng)(1)在事件觸發(fā)條件(2)的驅(qū)動(dòng)下，若條件

結(jié)合事件觸發(fā)條件(2)得到

結(jié)合事件觸發(fā)條件(2)得到

3 切換拓?fù)渚W(wǎng)絡(luò)下的一致性研究

在這部分中，將固定拓?fù)渚W(wǎng)絡(luò)下的研究結(jié)果擴(kuò)展到了G在連通圖之間切換的情況，假定所有可能的連通圖構(gòu)成有限集，定義下標(biāo)集，引入一個(gè)分段常數(shù)切換信號(hào)來(lái)描述t時(shí)刻系統(tǒng)具有的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，表示在采樣觸發(fā)時(shí)刻rh時(shí)的活動(dòng)拓?fù)?，表示其?duì)應(yīng)的由一階和二階鄰居所確定的拉普拉斯矩陣。

在切換拓?fù)淝闆r下，根據(jù)(2)式和(3)式類似地定義事件觸發(fā)條件和基于事件的一致性協(xié)議。在切換拓?fù)淝樾蜗拢钛牌罩Z夫函數(shù)不變，仍是

定理 2 設(shè)系統(tǒng)(1)式的通信拓?fù)渚W(wǎng)絡(luò)在有限個(gè)連通圖之間進(jìn)行切換，采用協(xié)議(3)式的系統(tǒng)(1)式在事件觸發(fā)條件(2)式的驅(qū)動(dòng)下，若滿足下列條件

或者

通過(guò)與文獻(xiàn)[10]的比較發(fā)現(xiàn)：即使多智能體系統(tǒng)(1)只采用一階鄰居信息用于研究系統(tǒng)的一致性收斂問(wèn)題，與文獻(xiàn)[10]的采樣周期相比，本文所提出的采樣周期的選取范圍也比文獻(xiàn)[10]中的采樣周期選取范圍更大。

4 仿真

在理論分析的基礎(chǔ)上，本部分將通過(guò)仿真實(shí)驗(yàn)對(duì)所得出的理論結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證。

考慮由4個(gè)智能體組成的多智能體系統(tǒng)，為了便于比較，采用與文獻(xiàn)[10]相同的通信拓?fù)浜蛥?shù)。圖1是無(wú)向連通圖，其利用二階鄰居信息所得的拉普拉斯矩陣為

圖1 通信拓?fù)鋱DFig. 1 Communication topology

圖2 是所有智能體在基于事件一致性協(xié)議(3)下的狀態(tài)演變，從圖2可以看出系統(tǒng)達(dá)到了一致，所有智能體的狀態(tài)趨于一個(gè)共同的值。

圖2 智能體的狀態(tài)Fig. 2 States of the agents

圖3 是所有智能體在基于事件一致性協(xié)議(3)下的非一致向量的演變過(guò)程，從圖3可以看出所有智能體的狀態(tài)都趨于它們的初始狀態(tài)平均值。

圖3 非一致向量范數(shù)Fig. 3 Norm of the disagreement vector

圖4 是所有智能體在基于事件一致性協(xié)議(3)下的控制輸入的仿真結(jié)果，最終所有智能體的控制輸入都趨于0。

圖5是所有智能體在基于事件一致性協(xié)議(3)下的事件觸發(fā)時(shí)刻，說(shuō)明只在特定時(shí)刻對(duì)智能體施加控制輸入系統(tǒng)就能實(shí)現(xiàn)一致性。

圖6和圖7分別是文獻(xiàn)[7]中所有智能體利用一階鄰居信息在基于事件一致性協(xié)議下的狀態(tài)和非一致向量的演變過(guò)程。

圖4 智能體的控制輸入Fig. 4 Control inputs for the agents

圖5 智能體的事件觸發(fā)時(shí)刻Fig. 5 Event times for the agents

圖6 智能體的狀態(tài)Fig. 6 States of the agents

圖7 非一致向量范數(shù)Fig. 7 Norm of the disagreement vector

從圖2可以看出所有智能體大約在t=1 s這一時(shí)刻收斂到了相同的值，從圖6可以看出所有智能體大約在t=3 s這一時(shí)刻收斂到了相同的值，通過(guò)比較可以發(fā)現(xiàn)利用二階鄰居信息之后所有智能體的狀態(tài)達(dá)到一致性的速度更快。同樣通過(guò)比較非一致性向量范數(shù)，我們發(fā)現(xiàn)圖3在利用了二階鄰居信息之后所有智能體的狀態(tài)趨于它們的初始狀態(tài)平均值的速度明顯比圖7只利用一階鄰居信息時(shí)所有智能體的狀態(tài)趨于它們的初始狀態(tài)平均值的速度快。

下面給出在切換拓?fù)渚W(wǎng)絡(luò)下的仿真實(shí)驗(yàn)。

考慮由4個(gè)智能體組成的多智能體系統(tǒng)在圖G1和圖G2之間進(jìn)行切換，切換時(shí)刻是隨機(jī)的，如圖8所示。取智能體的事件檢測(cè)器的參數(shù)為所有智能體的采樣周期為，智能體初始狀態(tài)為，在進(jìn)行仿真。

圖8 切換拓?fù)鋱DFig. 8 Switching topology

圖9 是所有智能體在基于事件一致性協(xié)議(3)下的狀態(tài)演變，可以看出在切換拓?fù)渚W(wǎng)絡(luò)下所有智能體的狀態(tài)仍可以收斂到一個(gè)相同的值。

圖9 智能體的狀態(tài)Fig. 9 States of the agents

圖10 是所有智能體在基于事件一致性協(xié)議(3)下的事件觸發(fā)時(shí)刻。

圖10 智能體的事件觸發(fā)時(shí)刻Fig. 10 Event times for the agents

5 結(jié)束語(yǔ)

本文首先在特定事件條件下利用二階鄰居信息設(shè)計(jì)了一階多智能體系統(tǒng)在固定拓?fù)渚W(wǎng)絡(luò)下的一致性協(xié)議，利用李雅普諾夫函數(shù)，設(shè)計(jì)采樣數(shù)據(jù)事件檢測(cè)器使?fàn)顟B(tài)漸近收斂到它們的初始狀態(tài)平均值，發(fā)現(xiàn)多智能體系統(tǒng)利用二階鄰居信息能夠加快一致性收斂速度。在固定拓?fù)渚W(wǎng)絡(luò)研究結(jié)果的基礎(chǔ)上，同樣給出在切換拓?fù)渚W(wǎng)絡(luò)下的基于事件一致性結(jié)果，最后利用仿真加以說(shuō)明。以后將在二階動(dòng)力學(xué)方程下利用特定的事件觸發(fā)條件來(lái)研究多智能體系統(tǒng)的一致性問(wèn)題。

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