楊奇光

【摘 要】在三維Lü混沌系統(tǒng)的基礎(chǔ)上加入一個(gè)反饋控制狀態(tài)變量產(chǎn)生了一個(gè)新的超混沌系統(tǒng)。對(duì)該系統(tǒng)的耗散性、穩(wěn)定性、Lyapunov指數(shù)譜及分岔現(xiàn)象等基本動(dòng)力學(xué)特性進(jìn)行了仿真分析，證明了系統(tǒng)超混沌吸引子的存在性，并發(fā)現(xiàn)了改變反饋控制參數(shù)能夠使系統(tǒng)從超混沌向混沌、周期軌狀態(tài)進(jìn)行轉(zhuǎn)換的規(guī)律。同時(shí)，設(shè)計(jì)了一個(gè)模擬電路，實(shí)驗(yàn)中觀察到的六種超混沌吸引子與仿真結(jié)果完全一致。

【關(guān)鍵詞】Lü超混沌系統(tǒng)；分岔圖；吸引子

中圖分類號(hào)：TN918.9 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼： A 文章編號(hào)： 2095-2457（2018）28-0030-003

DOI：10.19694/j.cnki.issn2095-2457.2018.28.011

【Abstract】A new hyperchaotic system has been established by adding a feedback state variable based on a three-dimension Lü chaotic system. Some basic dynamic characteristics such as dissipativity， stability， Lyapuno exponent spectrum and bifurcation of this hyperchaotic system are theoretically analyzed. The simulation results demonstrate that the existence of hyperchaotic behaviors， and then find the fact that this system can transform from a hyperchaotic state to a chaotic state and a periodically state through changing the value of the feedback state variable. Moreover， an analog electronic circuit has been designed， and six heperchaotic attractors of this system are observed， which are in good agreement with the simulated results.

【Key words】Lü hyperchaotic system； Bifurcation； Attractors

與三維混沌系統(tǒng)相比，超混沌系統(tǒng)具有兩個(gè)或多于兩個(gè)的正李雅普諾夫（Lyapunov）指數(shù)，其相軌在更多方向上分離，即動(dòng)力學(xué)特征更為復(fù)雜[1]。正是這種復(fù)雜性使得超混沌信號(hào)能夠提高混沌信息加密的安全性。故此，針對(duì)超混沌系統(tǒng)開展研究是混沌應(yīng)用于信息工程領(lǐng)域的一個(gè)重要內(nèi)容。

人們很早就開始關(guān)注超混沌的研究，并設(shè)計(jì)了一些典型的超混沌系統(tǒng)，如超混沌Rossler系統(tǒng)和Chua系統(tǒng)等[2-6]。在超混沌工程應(yīng)用中，如何生成超混沌吸引子是一個(gè)關(guān)鍵技術(shù)， 目前尚沒(méi)有一個(gè)產(chǎn)生超混沌的系統(tǒng)方法。自Chen利用混沌反控制方法實(shí)現(xiàn)一個(gè)新的Chen混沌系統(tǒng)以來(lái)[7]，超混沌的產(chǎn)生方法便成為了研究熱點(diǎn)[8-12]。

近年來(lái)，給三維混沌系統(tǒng)加上一個(gè)狀態(tài)反饋控制器而獲得超混沌的技術(shù)引起了學(xué)者的重視[13]。文獻(xiàn)[14]在Lorenz系統(tǒng)和Chen系統(tǒng)的基礎(chǔ)上實(shí)現(xiàn)了超混沌系統(tǒng)，文獻(xiàn)[15]基于坐標(biāo)變換的方法提出了一種超混沌系統(tǒng)。Lü系統(tǒng)是在Lorenz系統(tǒng)的基礎(chǔ)上改進(jìn)而來(lái)，兩者的基本性質(zhì)相似，但又各自具有特殊的動(dòng)力學(xué)特征。

本文在Lü系統(tǒng)的基礎(chǔ)上通過(guò)引入一個(gè)反饋控制變量，構(gòu)成了一個(gè)新的超混沌系統(tǒng)，并對(duì)其做了進(jìn)一步研究。該系統(tǒng)的超混沌動(dòng)力學(xué)特性通過(guò)理論分析、Lyapunov指數(shù)及分岔分析、計(jì)算機(jī)仿真及電路實(shí)現(xiàn)得到了驗(yàn)證。結(jié)果表明，若在Lü系統(tǒng)中加入一個(gè)非線性控制器，可實(shí)現(xiàn)從混沌向超混沌狀態(tài)的轉(zhuǎn)變。與原有的Lü系統(tǒng)相比，該系統(tǒng)可以產(chǎn)生更為復(fù)雜的分岔、混沌行為，從而能夠提高數(shù)據(jù)保密通信的可靠性。

1 超混沌系統(tǒng)模型

5 結(jié)論

本文基于Lü混沌系統(tǒng)通過(guò)引入狀態(tài)反饋控制器產(chǎn)生了一個(gè)新的Lü超混沌系統(tǒng)，其動(dòng)力學(xué)特性通過(guò)matlab仿真和計(jì)算Lyapunov指數(shù)得到了驗(yàn)證。計(jì)算結(jié)果表明，系統(tǒng)在一定條件下會(huì)發(fā)生分岔現(xiàn)象。隨著反饋控制參數(shù)h的變化，該系統(tǒng)在超混沌、混沌和周期軌跡之間能夠進(jìn)行轉(zhuǎn)換。具體而言，在參數(shù)時(shí)存在明顯的超混沌行為。同時(shí)，設(shè)計(jì)了一個(gè)模擬電路并進(jìn)行實(shí)驗(yàn)測(cè)試，測(cè)試結(jié)果與仿真結(jié)果具有很好的一致性。與三維混沌系統(tǒng)相比，該超混沌系統(tǒng)因具備更為復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)特性而能夠提高數(shù)據(jù)保密通信的可靠性，從而具有潛在的工程應(yīng)用價(jià)值。

【參考文獻(xiàn)】

[1]王光義，丘水生，許志益.一個(gè)新的三維二次混沌系統(tǒng)及其電路實(shí)現(xiàn)[J].物理學(xué)報(bào)，2006，55（7）：3295-3301.

[2]王繁珍，齊國(guó)元，陳增強(qiáng)，等. 一個(gè)四翼混沌吸引子[J]. 物理學(xué)報(bào)， 2007， 56（6）：3137-3145.

[3]劉楊正，姜長(zhǎng)生，林長(zhǎng)圣，等. 思維切換超混沌系統(tǒng)[J]. 物理學(xué)報(bào)， 2007， 56（9）：5131-5135.

[4]ZHANG C X， YU S M. Design and implementation of a novel multi-scroll chaotic system [J].Chinese Physics B， 2009， 18（1）：119-129.

[5]YU S M， Lü J H， CHEN G R. A family of n-scroll hyperchaotic attractors and their realizations [J]. Physics Letters A， 2007， 364（3）：244-251.

[6]DEDIEU H，KENNEDY M P，HASLER M.Chaos shift keying： modulation and demodulation of a chaotic carrier using self-synchronizing Chua's circuits[J].IEEE Transactions onCircuits and Systems II Analog & Digital Signal Processing，2002，40（10）：634-642.

[7]CHEN G R，UETA T.Yet another chaotic attractor[J]. International Journal of Bifurcation and Chaos，1999，9（7）：1465-1466.

[8]戴朱祥.分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)的同步控制及應(yīng)用[D]. 南京：南京信息工程大學(xué)，2016.

[9]禹思敏.混沌系統(tǒng)與混沌電路—原理、設(shè)計(jì)及其在通信中的應(yīng)用[M]. 西安電子科技大學(xué)出版社，2011.

[10]禹思敏，丘水生.N-渦卷超混沌吸引子產(chǎn)生與同步的研究[J].電子學(xué)報(bào)，2004， 32（5）：814-818.

[11]禹思敏，禹之鼎. 一個(gè)新的五階超混沌電路及其研究[J]. 物理學(xué)報(bào)，2008，57（11）： 6869-6867.

[12]WANG G Y， HE H L. A new Rosslor hyperchaotic system and its realization with systematic circuit parameter design[J]. Chinese Physics B， 2008， 17（11）：4014-4021.

[13]王光義，鄭艷，劉敬彪. 一個(gè)超混沌Lorenz吸引子及其電路實(shí)現(xiàn)[J]. 物理學(xué)報(bào)，2007， 56（6） ：3113-3120.

[14]YU S M， Lü J H， TANG K S， et al. A general multi-scroll Lorenz system family and its realization via digital signal processors [J]. Chaos， 2006， 16（3）：033126（1-10）.

[15]胡國(guó)四. 一類具有四翼吸引子的超混沌系統(tǒng)[J]. 物理學(xué)報(bào)，2009， 58 （6） ：3734-3741.

[16]劉秉正，彭建華. 非線性動(dòng)力學(xué)[M]. 北京：高等教育出版社，2004.