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(上海理工大學(xué) 理學(xué)院,上海 200093)

1 問(wèn)題的提出

Nevanlinna[1]在1925年建立了復(fù)平面上關(guān)于亞純函數(shù)的第二基本定理.Cartan[2]將其推廣到復(fù)射影空間n()中全純曲線上,得到了相應(yīng)的第二基本定理.Huang等[3]證明了Nevanlinna第二基本定理在復(fù)平面上更一般的形式,見定理1。

定理1設(shè)函數(shù)f在復(fù)平面上非常值亞純,a1,…,aq是q個(gè)互不相同的復(fù)數(shù),則對(duì)于任給的ε>0有

(1)

式中,Nram,f(r)=Nf′(r,0)+2Nf(r,)-Nf′(r,),r→且r?E,這里E?(0,)是一個(gè)對(duì)數(shù)測(cè)度為有窮的集合.

后來(lái),Wong[4]將這一經(jīng)典理論推廣到了高維的情況(更多的拓展參見文獻(xiàn)[5-7]),得到如下定理.

定理2[4]設(shè)f:→n是一個(gè)線性非退化的全純映射,H1,…,Hq是q個(gè)處于一般位置的超平面,則

式中,Nram,f(r)=N(r,W(f)=0)是f的朗斯基行列式零點(diǎn)的計(jì)數(shù)函數(shù).S(r,f)=o(T(r,f)),r→且r?E,這里E?(0,+)是一個(gè)對(duì)數(shù)測(cè)度為有窮的集合.

2006年,Halburd等[8]考慮用差分算子Δcf=f(z+c)-f(z)?0來(lái)替代f′,得到了涉及差分算子所對(duì)應(yīng)的情形.

定理3[8]設(shè)f是復(fù)平面上的有窮級(jí)亞純函數(shù),滿足Δcf=f(z+c)-f(z)?0,其中c≠0是常數(shù),則對(duì)于q個(gè)互異的點(diǎn)a1,…,aq∈∪{}有

其中

定理4[9]設(shè)f:→n是一個(gè)有窮級(jí)的全純映射,且f()?Hi,i=1,…,q,這里H1,…,Hq是q個(gè)處于一般位置的超平面.若WΔc(f)?0,其中c≠0是常數(shù),則

式中,NΔc(r)=N(r,WΔc(f)=0).

受此啟發(fā),考慮如下的q,c階差分算子Δq,cf=f(qz+c)-f(z),其中q∈{0},c∈,并將定理4作如下推廣,得到定理5.

定理5設(shè)f:→n是一個(gè)零級(jí)全純映射,并且f()?Hi,i=1,…,q,H1,…,Hq是q個(gè)處于一般位置的超平面.若WΔq,c(f)?0,q∈{0},c∈,則對(duì)任給的ε>0有

式中,NΔq,c(r)=N(r,WΔq,c(f)=0).

2 引理及證明

引理1(Nevanlinna第一基本定理)設(shè)f:→n是亞純映射,且f()?H,這里H是處于一般位置的超平面,則

mf(r,H)+Nf(r,H)=Tf(r) (r>1)

引理2[10]設(shè)f是零級(jí)的亞純函數(shù),q∈{0},c∈,則

引理3設(shè)f是零級(jí)的亞純函數(shù),q∈{0},c∈,則

且T(r,qz+c)=T(r,f(z))+S(r,f).

定義1設(shè)f:→n()是全純映射,是f的既約表示,其中f0,f1,…,fn是無(wú)公共零點(diǎn)的全純函數(shù).記H={[w0,…,wn]∈n(其中是n+1上的非零表示.當(dāng)?0時(shí),記

類似于文獻(xiàn)[10]中的定義,則有

定義3設(shè)f:→n()是全純映射,是f的既約表示,是n+1上的非零表示,與分擔(dān)是指=0當(dāng)且僅當(dāng)若與有相同的零點(diǎn)和重?cái)?shù),則稱與分擔(dān)

引理4[11](轉(zhuǎn)換律) 設(shè)f:→n是一個(gè)全純映射,是f的一個(gè)既約表示,φ是n上的一個(gè)自同構(gòu),則

WΔq,c(φ°f)=cφWΔq,c(f)

其中,

q∈{0},c∈

證明記

WΔq,c(φ°f)=

WΔq,c(f)detφ*=WΔq,c(f)cφ

于是引理4得證.

引理5設(shè)H1,…,Hq是n()上q個(gè)處于一般位置的超平面,記T為所有單射μ:{0,1,…,n}→{1,…,q}的集合,則有

類似于文獻(xiàn)[10]中定理A3.1.3,則有

引理6設(shè)f=[f0,…,fn]:→n()是零級(jí)的全純曲線,H1,…,Hq是n()上任意q個(gè)超平面,且使得f()?Hi,i=1,…,q.設(shè)K?{1,…,q},使得是Hj(1≤j≤q)的系數(shù))線性無(wú)關(guān).則

r→且r?E,這里E?(0,)是一個(gè)對(duì)數(shù)測(cè)度為有窮的集合.

證明設(shè)H1,…,Hq是n+1上的超平面,不失一般性,q≥n+1,#K=n+1.記T是所有使得線性無(wú)關(guān)的單射μ:{0,1,…,n}→{1,…,q}的集合.則

其中

結(jié)合引理2和引理3可知

故

S(r,f).

且

所以

I1≤S(r,f)

又

由引理4可得

C|WΔq,c(f0,…,fn)|

這里C≠0是常數(shù)，則

結(jié)合I1,I2,從而引理6可證.

3 定理5的證明

結(jié)合引理5和引理6可得

兩式相加可得

于是定理得證.

推論設(shè)f:→n是一個(gè)零級(jí)全純映射,并且f()?Hi,i=1,…,q,H1,…,Hq是q個(gè)處于一般位置的超平面,f與Δq,cfCM分擔(dān)Hj.若q≥N+2,則WΔq,c(f)≡0.

證明倘若不然,可假設(shè)WΔq,c(f)≡0.由定理5可得

結(jié)合第一基本定理得

設(shè)z0∈,(z0)=0重?cái)?shù)為m(m>1),又f與Δq,cfCM分擔(dān)Hj(j=1,…,q),z0作為Hj>的零點(diǎn),重?cái)?shù)也為m(m>1),l=1,…,n,所以z0作為WΔq,c(f)的零點(diǎn),重?cái)?shù)至少為m.故

所以(q-n-1)Tf(r)≤0.又q>N+2,故得出矛盾.

因此

WΔq,c(f)≡0.

[1] NEVANLINNA R.Zur theorie der meromorphen funktionen[J].Acta Mathematica,1925,46(1):1-99.

[2] CARTAN H.Sur les systèmes de fonctions holomorphes à variétés linéaires lacunaires et leurs applications [J].Annales Scientifiques de l′école Normale Supérieure,1928,45(3):255-346.

[3] HUANG Y T,WONG P M.Prediction of reservoir permeability using genetic algorithms [J].IEEE International Fuzzy Systems Conference,1999 ,3 (3):1528-1533.

[4] WONG P M,STOLL W.Second main theorem of Nevalinna theory for non-equidimensional meromorphic maps[J].American Journal of Mathematics,1994,116(5):1031-1071.

[5] WONG P M.On the Second Main Theorem of Nevanlinna theory[J].American Journal of Mathematics,1989,111(4):549-583.

[6] WONG P M.Applications of Nevanlinna theory to geometric problems[C]∥Proceedings of the 3rd International Conference of Chinese Mathematicians.Hong Kong,China:The Chinese University of Hong Kong,2004:523-594.

[7] WONG P P M,Wong P W.The second main theorem on generalized parabolic manifolds[M]∥ESCASSUT A,TUTSCHKE W,YANG C C.Some Topics on Value Distribution and Differentiability in Complex and P-Adic Analysis.Beijing:Science Press,2008:1-41.

[8] HALBURD R G,KORHONEN R J.Nevanlinna theory for the difference operator[J].Annales-Academiae Scientiarum Fennicae Mathematica,2006,31(2):463-478.

[9] HALBURD R G,KORHONEN R J.Existence of finite-order meromorphic solutions as a detector of integrability in difference equations[J].Physica D:Nonlinear Phenomena,2006,218(2):191-203.

[10] RU M.Nevanlinna theory and its relation to Diophantine approximation [M].River Edge,NJ:World Scientific,2001.

[11] PIT-MANN W,HIU-FAI L,WONG P P.A Second Main Theorem on P～n for difference operator[J].Science in China,2009(12):2751-2758.