孟 聰 陳 川 楊玉虎

天津大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，天津，300350

0 引言

RV減速器具有傳動(dòng)比大、體積小、傳動(dòng)效率高、扭轉(zhuǎn)剛度大等特點(diǎn)，已被廣泛應(yīng)用于工業(yè)機(jī)器人關(guān)節(jié)減速傳動(dòng)。工業(yè)機(jī)器人性能的不斷提高，對(duì)關(guān)節(jié)減速器的動(dòng)力性能提出了更高的要求。文獻(xiàn)[1-3]利用集中參數(shù)法，建立了RV減速器扭轉(zhuǎn)動(dòng)力學(xué)模型，求解了RV減速器的固有頻率，分析了針齒數(shù)、擺線針輪嚙合剛度和曲柄軸彎曲剛度對(duì)固有頻率的影響。上述文獻(xiàn)模型計(jì)入的剛度因素較少，且只考慮了各構(gòu)件的扭轉(zhuǎn)自由度。文獻(xiàn)[4-6]考慮了曲柄軸沿嚙合線方向的平移自由度，且計(jì)入了軸承剛度和曲柄軸彎曲剛度，建立了RV減速器動(dòng)力學(xué)模型，求解了系統(tǒng)的各階固有頻率和振型。文獻(xiàn)[7]在模型中考慮了曲柄軸和擺線輪公轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的切向平移自由度，進(jìn)行了固有頻率靈敏度分析。文獻(xiàn)[8-10]考慮了各構(gòu)件的平移自由度，建立了RV減速器的平移-扭轉(zhuǎn)動(dòng)力學(xué)模型，求解了減速器各階固有頻率。文獻(xiàn)[11]在三維參數(shù)化模型的基礎(chǔ)上建立了2K-V型兩級(jí)傳動(dòng)的動(dòng)力學(xué)模型，并進(jìn)行了動(dòng)態(tài)特性優(yōu)化研究。文獻(xiàn)[12]建立了關(guān)于RV減速器非線性動(dòng)力學(xué)模型，分析了其非線性動(dòng)力學(xué)特征。文獻(xiàn)[13-16]利用仿真軟件對(duì)RV減速器進(jìn)行了動(dòng)力學(xué)分析。

以上文獻(xiàn)均未考慮針齒圈剛度對(duì)RV減速器固有特性的影響，由于RV減速器大傳動(dòng)比使得針齒圈所受的作用力非常大，因此針齒圈剛度對(duì)減速器的動(dòng)力學(xué)性能有重要影響。另外，RV減速器作為一種二級(jí)行星輪系，上述文獻(xiàn)對(duì)RV減速器的振動(dòng)模式未作系統(tǒng)的分析與歸納。

由此，本文建立考慮針齒圈剛度的RV減速器動(dòng)力學(xué)模型，研究各剛度參數(shù)對(duì)固有頻率的影響，以期為減速器的參數(shù)設(shè)計(jì)提供參考。

1 結(jié)構(gòu)與傳動(dòng)原理

RV減速器是由漸開線與擺線齒輪組成的二級(jí)封閉式行星輪系，如圖1所示。高速級(jí)為由中心輪1、徑向均勻分布的3個(gè)行星輪2及系桿7組成的K-H型差動(dòng)輪系，主動(dòng)的中心輪與輸入軸相連，如果中心輪1順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，它將帶動(dòng)三個(gè)呈120°分布的行星輪2逆時(shí)針方向自轉(zhuǎn)。低速級(jí)輪系為由徑向均勻分布的3個(gè)曲柄軸3、2個(gè)對(duì)稱布置的擺線輪4與若干針齒5以及輸出盤6組成的K-H-V型行星輪系，曲柄軸一端與行星輪固連，另一端與輸出盤上的銷孔組成轉(zhuǎn)動(dòng)副，而其中部與擺線輪構(gòu)成轉(zhuǎn)動(dòng)副。行星輪帶動(dòng)曲柄軸轉(zhuǎn)動(dòng)，通過(guò)曲柄軸將行星輪的自轉(zhuǎn)傳遞給擺線輪使其實(shí)現(xiàn)公轉(zhuǎn)，而擺線輪又通過(guò)輸出盤將其自轉(zhuǎn)反饋給系桿，作為差動(dòng)輪系的輸入運(yùn)動(dòng)，該輪系中系桿7與輸出盤6固連為同一構(gòu)件。

(a)機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)圖

(b)三維模型1.太陽(yáng)輪 2.行星輪 3.曲柄軸 4.擺線輪 5.針輪 6.輸出盤 7.系桿 8.轉(zhuǎn)臂軸承 9.支撐軸承圖1 RV減速器示意圖Fig.1 Schematic diagram of RV reducer

2 考慮針齒圈彈性的分析模型

2.1 動(dòng)力學(xué)模型

采用集中參數(shù)法建立RV減速器的平移-扭轉(zhuǎn)耦合動(dòng)力學(xué)模型，如圖2所示。圖2中，下標(biāo)s、o、r、p、H、c分別表示太陽(yáng)輪、輸出盤、針齒圈、行星輪、曲柄軸和擺線輪；下標(biāo)t表示沿構(gòu)件的周向；kj、kjt(j=s，o，…，c)分別為第j個(gè)構(gòu)件的徑向支承剛度和回轉(zhuǎn)支承剛度，ψn(n=1,2,3)為第n個(gè)行星輪與水平方向的夾角，θj(j=s，o，…，c)為相應(yīng)構(gòu)件的扭轉(zhuǎn)角位移；ksn、krj分別為第n個(gè)行星輪與太陽(yáng)輪以及第j個(gè)擺線輪與針齒圈的嚙合剛度，各行星輪、擺線輪沿中心輪周向均勻分布，具有相同的物理和幾何參數(shù)。圖2中每個(gè)構(gòu)件均有三個(gè)自由度：一個(gè)繞自身軸線的扭轉(zhuǎn)(取逆時(shí)針方向?yàn)檎?和兩個(gè)沿與軸線垂直的方向的平移自由度。

(a)高速級(jí)

(b)低速級(jí)圖2 RV減速器動(dòng)力學(xué)模型Fig.2 Dynamic model of RV reducer

為了便于研究運(yùn)動(dòng)特性，本文建立了固接在輸出盤(行星架)上的參考坐標(biāo)系oxyz。如圖2所示，該坐標(biāo)系以輸出盤幾何中心的理論位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，x的正方向由原點(diǎn)指向第一個(gè)曲柄軸軸孔的理想幾何中心，y和z的正方向由右手定則確定。在oxyz空間中描述各運(yùn)動(dòng)構(gòu)件狀態(tài)的坐標(biāo)：太陽(yáng)輪、針齒圈和行星架的徑向坐標(biāo)分別為xi和yi(i=s，r，o)；擺線輪徑向坐標(biāo)為xcj和ycj(j=1，2)；行星輪的徑向坐標(biāo)為xpn和ypn(n=1，2，3)，xpn的方向由太陽(yáng)輪理想幾何中心指向行星輪n的理想幾何中心；曲柄軸的徑向坐標(biāo)為xHn和yHn(n=1，2，3)，方向與相應(yīng)的行星輪一致。太陽(yáng)輪、針齒圈和行星架繞其自身軸線的回轉(zhuǎn)角為θi(i=s，r，o)；行星輪與曲柄軸繞其自身軸線的回轉(zhuǎn)角分別為θpn和θHn(n=1，2，3)；擺線輪繞自身軸線的回轉(zhuǎn)角為θcj(j=1，2)。上述各回轉(zhuǎn)角均以逆時(shí)針方向?yàn)檎?/p>

2.2 運(yùn)動(dòng)微分方程

減速器是典型的離散振動(dòng)系統(tǒng)，建立其動(dòng)力學(xué)模型的簡(jiǎn)便有效方法是集中參數(shù)法。以針輪為例，根據(jù)牛頓第二定律和動(dòng)量矩定理，建立運(yùn)動(dòng)微分方程：

(1)

與針輪同理，可建立其他構(gòu)件的運(yùn)動(dòng)微分方程，整理得到整機(jī)運(yùn)動(dòng)微分方程的矩陣形式：

(2)

式中，U為廣義坐標(biāo)；M、Kb、Km分別為質(zhì)量矩陣、支承剛度矩陣、嚙合剛度矩陣；F為外激勵(lì)力向量。

與式(2)相對(duì)應(yīng)的特征值問題為

(Kb+Km-ω2M)φ=0

(3)

ω=[ωi]

φ=[usuourup1up2up3uH1uH2uH3uc1uc2]T

式中，ωi(i=1,2,…,N)為系統(tǒng)的固有頻率；φ為相應(yīng)的振型。

3 固有特性分析

某型RV減速器的主要參數(shù)如表1所示，采用上述平移-扭轉(zhuǎn)耦合動(dòng)力學(xué)模型，求得該RV減速器系統(tǒng)的各階固有頻率及其對(duì)應(yīng)的振動(dòng)模式，如表2所示。為了便于分析針齒圈剛度對(duì)減速器固有特性的影響規(guī)律，表2同時(shí)給出了未計(jì)入針齒圈剛度時(shí)系統(tǒng)的固有頻率。

表1 RV減速器基本參數(shù)Tab.1 Basic parameters of some type RV reducer

表2 減速器固有頻率Tab.2 Natural frequency of RV reducer

分析表2可知，考慮針齒圈彈性后，RV減速器的各階固有頻率均有所降低，其中低階固有頻率變化更為顯著。由此，增加針齒圈的剛度有助于降低系統(tǒng)的低階固有頻率。

通過(guò)分析前4階固有頻率對(duì)應(yīng)的振型，按照中心構(gòu)件(太陽(yáng)輪、行星架和針齒圈)的振動(dòng)形式，可將RV減速器振動(dòng)模式分為兩種。中心構(gòu)件扭轉(zhuǎn)振動(dòng)模式：此時(shí)，中心構(gòu)件只有扭轉(zhuǎn)振動(dòng)，橫向振動(dòng)幾乎沒有。中心構(gòu)件平移振動(dòng)模式：中心構(gòu)件只有平移振動(dòng)，扭轉(zhuǎn)振動(dòng)不會(huì)被激起。

在中心構(gòu)件的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)模式中，兩擺線輪的振動(dòng)模態(tài)呈現(xiàn)：扭轉(zhuǎn)振動(dòng)相同，平移振動(dòng)相反。在中心構(gòu)件的平移振動(dòng)模式中，兩擺線輪的振動(dòng)模態(tài)呈現(xiàn)：平移振動(dòng)相同，扭轉(zhuǎn)振動(dòng)相反。兩種振動(dòng)模式下，各構(gòu)件的運(yùn)動(dòng)特性如圖3所示。其中，虛線圓及其上十字軸為構(gòu)件初始位置，實(shí)線圓及其上十字軸為構(gòu)件振動(dòng)情況，黑色實(shí)心點(diǎn)為構(gòu)件的回轉(zhuǎn)中心。

4 影響因素分析

(a)中心構(gòu)件扭轉(zhuǎn)振動(dòng)模式

(b)中心構(gòu)件平移振動(dòng)模式圖3 中心構(gòu)件振動(dòng)模式Fig.3 Vibration mode of central component

不同的工程應(yīng)用場(chǎng)合，針齒圈的固定方式不同，特殊應(yīng)用場(chǎng)合下針齒圈也會(huì)充當(dāng)減速器的輸出構(gòu)件，故針齒圈的支承剛度變化會(huì)較大，此外，由于RV減速器的傳動(dòng)比較大，使得支承軸承和轉(zhuǎn)臂軸承所受動(dòng)載荷較大，容易因疲勞磨損等原因造成軸承剛度的減小，從而影響其固有特性[7]。在求解減速器固有特性的基礎(chǔ)上，為揭示剛度參數(shù)對(duì)減速器固有特性的影響，本節(jié)通過(guò)數(shù)值仿真分析固有頻率隨針齒圈剛度和軸承剛度的變化規(guī)律，從振動(dòng)模式角度進(jìn)一步分析固有特性軌跡突變現(xiàn)象對(duì)動(dòng)力學(xué)特性的影響。

4.1 齒圈支承剛度

以表1所示參數(shù)為基準(zhǔn)，改變針齒圈周向支承剛度krt和徑向支承剛度kr，計(jì)算得到固有頻率隨krt與kr變化的曲線，如圖4所示。

首先，從總體上看，固有頻率隨針齒圈剛度的變化存在模態(tài)相交和模態(tài)躍遷現(xiàn)象，圖4中的模態(tài)1、2、4為中心構(gòu)件平移振動(dòng)模式，其不受針齒圈的周向支承剛度的影響；模態(tài)3為中心構(gòu)件扭轉(zhuǎn)振動(dòng)模式，其不受針齒圈徑向支承剛度的影響。

其次，分析圖4a可知，隨著針齒圈周向支承剛度的不斷增大，模態(tài)3與模態(tài)4對(duì)應(yīng)的固有頻率曲線在krt=3.4×106N·m/rad(圖4a中點(diǎn)A處)附近相交。而分析圖4b可知，隨著針齒圈徑向支承剛度的不斷增大，模態(tài)1和模態(tài)2對(duì)應(yīng)的固有頻率曲線在kr=1.1×108N/m(圖4b中點(diǎn)B)附近發(fā)生了躍遷，模態(tài)1和模態(tài)4對(duì)應(yīng)的固有頻率曲線在kr=4.0×108N/m(圖4b中點(diǎn)C)附近發(fā)生了躍遷，模態(tài)3對(duì)應(yīng)的曲線與模態(tài)1、4對(duì)應(yīng)的曲線在kr=1.6×108N/m(圖4b中點(diǎn)D)和kr=4.8×108N/m(圖4b中點(diǎn)E)附近發(fā)生了相交。

(a)針齒圈周向支承剛度

(b)針齒圈徑向支承剛度圖4 固有頻率隨針齒圈支承剛度變化曲線Fig.4 Curves of natural frequency with ring gear stiffness

為了分析軸承剛度減小情況下針齒圈剛度對(duì)減速器模態(tài)特性的影響規(guī)律，保持其他參數(shù)不變，分別將轉(zhuǎn)臂軸承剛度kcb和支承軸承剛度kHb取與表1中所對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)低一個(gè)數(shù)量級(jí)，計(jì)算得到系統(tǒng)固有頻率隨減速器針齒圈的徑向支承剛度kr變化的曲線，如圖5所示。

分析圖5a可知，當(dāng)針齒圈徑向剛度取較大值時(shí)，存在一個(gè)模態(tài)不清晰點(diǎn)kr=4.0×108N/m(圖5a中點(diǎn)C、D、E)和一個(gè)模態(tài)躍遷點(diǎn)kr=8.0×107N/m(圖5a中點(diǎn)B)。

分析圖5b可知，存在兩個(gè)模態(tài)躍遷點(diǎn)分別為kr=1.0×108N/m(圖5b中點(diǎn)B)、kr=3.9×108N/m(圖5b中點(diǎn)C)，模態(tài)相交點(diǎn)kr=4.6×108N/m(圖5b中點(diǎn)E)，kr=2.5×108N/m(圖5b中點(diǎn)D)。

對(duì)比圖4和圖5可以看出，當(dāng)軸承剛度較小時(shí)，針齒圈剛度對(duì)低階固有頻率影響更為顯著，模態(tài)相交與模態(tài)躍遷現(xiàn)象更容易發(fā)生。

(a)軸承剛度不減小

(b)軸承剛度減小圖5 固有頻率隨針齒圈徑向支承剛度變化曲線Fig.5 Curves of natural frequency with ring gear radial stiffness

4.2 軸承剛度

為了揭示軸承剛度對(duì)減速器系統(tǒng)低階固有頻率的影響規(guī)律，通過(guò)數(shù)值仿真，分別得到系統(tǒng)的前4階固有頻率隨轉(zhuǎn)臂和支承軸承剛度的變化曲線，如圖6所示。

由圖6a可知，隨著轉(zhuǎn)臂軸承剛度的增大，RV減速器的固有頻率呈增大趨勢(shì)，其中，第3、第4階固有頻率增速較快，而第1、第2階固有頻率增速較緩，并且第1、第2階固有頻率對(duì)應(yīng)的曲線在kcb=2.0×106N/m處發(fā)生模態(tài)躍遷現(xiàn)象。由圖6b可知，隨著RV減速器支承軸承剛度的增大，除了第3、第4階固有頻率對(duì)應(yīng)的模態(tài)在kHb=2.7×107N/m處相交外，固有頻率的變化趨勢(shì)與圖6a基本相同。

(a)轉(zhuǎn)臂軸承剛度

(b)支承軸承剛度圖6 固有頻率隨軸承剛度的變化曲線Fig.6 Curves of natural frequency with bearing stiffness

模態(tài)躍遷從本質(zhì)上是指由系統(tǒng)振動(dòng)特征方程求解特征值時(shí)，因剛度矩陣或質(zhì)量矩陣發(fā)生小參數(shù)的改變，各階模態(tài)特征值的排序發(fā)生變化[17]。由上述分析可知，在軸承剛度或針齒圈剛度發(fā)生變化時(shí)，模態(tài)相交、躍遷位置附近，參數(shù)的很小變動(dòng)量會(huì)引起系統(tǒng)振動(dòng)模式的劇烈變化，使傳動(dòng)特性劇烈變化，故在動(dòng)態(tài)設(shè)計(jì)和傳動(dòng)特性研究中，不僅要避開嚙頻及其倍頻引起的共振區(qū)，還應(yīng)注意模態(tài)躍遷及相交導(dǎo)致的模態(tài)突變現(xiàn)象對(duì)系統(tǒng)傳動(dòng)特性的影響。

5 結(jié)論

(1) 考慮針齒圈彈性后，減速器的各階固有頻率均有所降低，增大針齒圈的剛度有助于降低系統(tǒng)的低階固有頻率。針齒圈剛度對(duì)系統(tǒng)的低階固有頻率影響顯著，對(duì)高階固有頻率影響較小。

(2) 針齒圈徑向支承剛度不影響中心構(gòu)件扭轉(zhuǎn)振動(dòng)模式，針齒圈周向支承剛度不影響中心構(gòu)件平移振動(dòng)模式，且當(dāng)軸承剛度較小時(shí)，針齒圈對(duì)固有頻率影響更為顯著。

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