陳莉

(中國礦業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)系,江蘇徐州 221116)

1 引言

近幾十年來,為了利用圖的組合結(jié)構(gòu)來研究環(huán)的代數(shù)結(jié)構(gòu),人們利用環(huán)上的兩種代數(shù)運(yùn)算定義了多種圖,如環(huán)的零因子圖、交換圖、全圖等,這些圖的定義以及部分研究結(jié)果可以參考文獻(xiàn)[1–9]等.眾所周知環(huán)的許多性質(zhì)與它的理想有著密切的關(guān)系.自然地,利用環(huán)的理想構(gòu)造一些圖,通過研究這些圖的組合性質(zhì)來刻畫環(huán)的理想性質(zhì)有著重要的意義.文獻(xiàn)中相關(guān)的圖有互極大圖、理想交圖、理想包含圖等,這些圖的研究可以參考文獻(xiàn)[10–13]等.

在研究與環(huán)相關(guān)的圖時,許多工作致力于研究圖的一些參數(shù),比如圍長、直徑、團(tuán)數(shù)、色數(shù)等.這些參數(shù)可以揭示圖的結(jié)構(gòu)性質(zhì),環(huán)的性質(zhì)以及它們之間的相互關(guān)系.另外,圖的自同構(gòu)是代數(shù)圖論中一個重要的概念,它可以揭示圖的頂點(diǎn)之間的關(guān)系以及圖的對稱性.但是正如文獻(xiàn)[14]中所說,確定一個圖的非平凡自同構(gòu)不是一件容易的事.通過查閱文獻(xiàn),我們發(fā)現(xiàn)對于環(huán)上這些圖,有關(guān)自同構(gòu)的結(jié)果很少.我們只找到有關(guān)環(huán)上零因子圖自同構(gòu)的幾個結(jié)果.對于環(huán)R,零因子圖記為Γ(R),Aut(Γ(R))表示其上的自同構(gòu)群.Anderson與Livinston[1]證明了對于非素整數(shù)n≥4,Aut(Γ(Zn))是對稱群的直積.對于素?cái)?shù)p和非交換環(huán)R=Mat2(Zp),Han[15]證明了Aut(Γ(R))?Sp+1.Park與Han[16]證明了對于有限域Fq上的二階矩陣環(huán)R=Mat2(Fq),Aut(Γ(R))?Sq+1.但是最近文獻(xiàn)[17]得出了下面的結(jié)論:Aut(Γ(M2(Fq)))的大小是((q?1)!)(q+1)2(q+1)!,并指出上面兩篇文章中的結(jié)論是不對的.文獻(xiàn)[18]與[20]進(jìn)一步給出有限域上上三角矩陣環(huán)的零因子圖的自同構(gòu)刻畫.

在文獻(xiàn)[12]中,環(huán)R上的理想包含圖In(R)定義為以R的非平凡左理想為頂點(diǎn)集,兩個不同左理想I與J有一條邊相連當(dāng)且僅當(dāng)IJ或JI;文獻(xiàn)[12]中研究了圖In(R)的連通性以及圖的參數(shù).設(shè)Fq為有限域,Fq上n×n階上三角矩陣環(huán)記為R.文獻(xiàn)[13]研究了環(huán)R上的理想關(guān)系圖Γi(R),以R為頂點(diǎn)集,從A到B有一條有向邊當(dāng)且僅當(dāng)IAIB,其中IA表示由A生成的雙邊理想,并確定了它的自同構(gòu).文獻(xiàn)[12]與[13]中的圖是有差別的,但都是利用理想的包含關(guān)系定義的圖,所以可以統(tǒng)稱為理想包含圖.本文將文獻(xiàn)[13]中的結(jié)果推廣到上三角代數(shù)上,研究了有限域上分塊上三角矩陣環(huán)上的理想包含圖并給出了其上的自同構(gòu)的描述.

設(shè)Fq為有限域,A為分塊上三角矩陣,其中Aij(1≤i≤j≤r)為Fq上ni×nj矩陣.對于固定的正整數(shù)序列(n1,n2,···,nr),形如A的所有分塊上三角矩陣記為B(q,(n1,n2,···,nr)),簡記為B(q,r).我們稱(n1,n2,···,nr)為B(q,r)的分塊模式.在矩陣的常用運(yùn)算下,B(q,r)是一個代數(shù),稱之上三角代數(shù).

理想包含圖In(B(q,r))是一個有向圖,以B(q,r)為頂點(diǎn)集,從A到B有一條有向邊,記為A→B,當(dāng)且僅當(dāng)IAIB,其中IA表示由A生成的雙邊理想.本文研究了B(q,r)中的理想,證明了B(q,r)為主理想環(huán),并且給出了In(B(q,r))上自同構(gòu)的描述.有限域Fq上的上三角矩陣是分塊模式為(1,1,···,1)的分塊上三角矩陣,因此文獻(xiàn)[13]中的理想關(guān)系圖是本文研究對象的一個特例.

本文的第二節(jié)、第三節(jié)分別給出B(q,r)中理想的刻畫與理想包含圖In(B(q,r))上自同構(gòu)的刻畫.

2 上三角代數(shù)中的理想

令S={(i,j)|1≤i≤j≤r}.文獻(xiàn)[13]在S上定義了二元關(guān)系:(i1,j1)(i2,j2)當(dāng)且僅當(dāng)i2≤i1且j1≤j2.若(i1,j1)(i2,j2)且(i1,j1)/=(i2,j2),則記為(i1,j1)(i2,j2).子矩陣Aij所在的行集與列集分別記為Ni與Nj,且記(Ni,Nj)={(s,t)|s∈Ni,t∈Nj}.

定義2.1若A的子矩陣Aij滿足:Aij/=0,且對于任意的(s,t)(i,j)有Ast=0,則稱Aij為A的承塊.記A的所有承塊全體為supp(A).相應(yīng)地,稱(Ni,Nj)為A的承塊區(qū),記A的承塊區(qū)全體為suppb(A).記(A)}以及

例2.2A是Z5上模式為(2,1,2,1)的分塊上三角陣,

易見supp(A)={A11,A23,A34},{A11,A12,A13,A14,A23,A24,A34}.承塊A11所在的區(qū)域?yàn)?N1,N1)={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)}.

顯然,若 (s,t)∈(Ni1,Nj1),(s′,t′)∈(Ni2,Nj2)且 (i1,j1)(i2,j2),則有s′≤s且t≤t′;若Ai1j1與Ai2j2均是A的承塊,則有i1/=i2,j1/=j2.

引理 2.3設(shè)A∈B(q,r)且suppb(A)={(Ni1,Nj1),(Ni2,Nj2),···,(Nim,Njm)}.

(i)若Akl則Akl=0;若(i,j)(k,l),Akl則Aij=0;

(ii)若i1＜i2＜···＜im,則j1＜j2＜···＜jm.

證 (i)的證明.若Akl/=0,則存在序?qū)?i,j)滿足(i,j)(k,l)且Aij∈supp(A),從而矛盾.結(jié)論的后半部分顯然成立.

(ii)的證明.若存在序?qū)?s,t)使得is＜it且js＞jt,則(it,jt)(is,js).由Aisjs為承塊得Aitjt=0,這與Aitjt也是承塊相矛盾.因此結(jié)論成立.

引理2.3對刻畫B(q,r)的理想和主理想有重要的作用.

定義2.4若ik≤jk(1≤k≤m),1≤i1＜i2＜ ···＜im≤r且1≤j1＜j2＜ ···＜jm≤r,則稱{(i1,j1),(i2,j2),···,(im,jm)}為[1,r]×[1,r]上的一個上三角階梯.記[1,r]×[1,r]所有上三角階梯的集合為uts(r).

由引理2.3知B(q,r)中任意非零元的承塊區(qū)的指標(biāo)集是一個上三角階梯.記B(q,r)的雙邊理想全體為I(B(q,r)).對于A∈B(q,r),IA表示由A生成的主理想.A在s行、t列處的元素用Ast來表示.另外,用Est表示在s行、t列處的元素為1且其余元素均為0的矩陣.

引理2.5設(shè)I為B(q,r)的一個理想.若Est∈I且(s,t)∈(Ni,Nj),則對于任意的(i′,j′)滿足 (i,j)(i′,j′) 以及任意的 (s′,t′)∈(Ni′,Nj′) 有Es′t′∈I.

證 由 (i,j)(i′,j′),(s,t)∈(Ni,Nj) 以及 (s′,t′)∈(Ni′,Nj′),得到s′≤s和t≤t′. 因此Es′s,Ett′∈B(q,r) 且Es′sEstEtt′=Es′t′,從而有Es′t′∈I.

命題2.6對于任意的A/=0∈B(q,r),IA=A,其中

證 首先證明對于任意的P,Q∈B(q,r)有PAQ∈A,從而有IAA.由分塊陣的乘法知,PAQ∈B(q,r).而且對于1≤k≤l≤r,

設(shè)(Nk,Nl)∈/suppb(A),也就是Akl考察PAQ在分塊區(qū)(Nk,Nl)處的子矩陣.當(dāng)k≤s≤t≤l時,(s,t)(k,l).由引理2.3,Ast=0,因此有(PAQ)kl=0.由(Nk,Nl)的任意性,有PAQ∈A.

下面證明對于任意的 (Ni′,Nj′)以及 (s′,t′)∈(Ni′,Nj′),有Es′t′∈IA,進(jìn)而有AIA. 由于 (Ni′,Nj′)所以存在 (i,j)≤ (i′,j′) 使得 (Ni,Nj)∈suppb(A).由(Ni,Nj)∈suppb(A)知存在(s,t)∈(Ni,Nj)滿足ast/=0,從而有由引理 2.5 可得對于任意 (s′,t′)∈(Ni′,Nj′),Es′t′∈IA. 綜上可得A=IA.

推論2.7存在B(q,r)的非零主理想與上三角階梯uts(r)之間的一一對應(yīng).

證 由引理2.3知B(q,r)中任意非零元素承塊區(qū)的指標(biāo)集是一個上三角階梯.同時顯然對于每一個上三角階梯,存在B(q,r)中非零元素使其以該上三角階梯為承塊區(qū)的指標(biāo)集.另外由命題2.6知對于任意的A,B∈B(q,r),IA=IB當(dāng)且僅當(dāng)suppb(A)=suppb(B).因此結(jié)論成立.

設(shè)I為B(q,r)的一個理想.若存在(s,t)∈(Ni,Nj)使得Est∈I,則由引理2.5知對于任意的 (s′,t′)∈(Ni,Nj) 有Es′t′∈I.

定義2.8設(shè)I為B(q,r)的一個理想.若存在(s,t)∈(Ni,Nj)使得Est∈I,則稱分塊區(qū)(Ni,Nj)為I的內(nèi)塊區(qū).I的所有內(nèi)塊區(qū)的集合記為Iin,它在全集{(Ni,Nj)|1≤i≤j≤r}下的補(bǔ)記為Iout. 若 (Ni,Nj)∈Iin且對于任意的 (i′,j′)(i,j) 有 (Ni′,Nj′)∈Iout,則稱(Ni,Nj)為I的邊界區(qū).I的所有邊界區(qū)的集合記為Ib.

若 (Ni,Nj)∈Iin且 (i,j)(i′,j′),由引理 2.5 知 (Ni′,Nj′)∈Iin. 對于子集Ni,令=max{s|s∈Ni}.若(Ni,Nj)∈Iin,則ENiMNjm∈I.為了方便,也簡記為ENiNj.

命題2.9 B(q,r)為主理想環(huán).

證 零理想是由零生成的.對于任意的非零理想I∈I(B(q,r)),由上面的討論知

令A(yù)=Σ(Ni,Nj)∈IbENiNj.由邊界區(qū)的定義和性質(zhì)知Ib恰是A的承塊區(qū)suppb(A),且容易看出從而由命題2.6得

推論2.10存在I(B(q,r))/{0}與uts(r)之間的一一對應(yīng).

證 由推論2.7以及命題2.9可得.

3 B(q,r)上的理想包含圖及其上的自同構(gòu)

理想包含圖In(B(q,r))是一有向圖,以B(q,r)為頂點(diǎn)集且從A到B有一條有向邊A→B當(dāng)且僅當(dāng)IAIB.這里的理想包含圖與文獻(xiàn)[12]中的有些差別.在文獻(xiàn)[12]中,環(huán)R上的理想包含圖In(R),以R的所有非平凡的左理想為頂點(diǎn),左理想I1和I2之間有一條邊相連當(dāng)且僅當(dāng)I1I2或I2I1.因此文獻(xiàn)[12]中理想包含圖是無向的且頂點(diǎn)集是非平凡的左理想.我們所討論的理想包含圖In(B(q,r))是有向圖且頂點(diǎn)集是B(q,r)中的所有元素.圖In(B(q,r))的自同構(gòu)群記為Aut(In(B(q,r))).

在圖In(B(q,r))中,頂點(diǎn)A的左、右鄰點(diǎn)集分別記為Nl(A)={B|B→A}與Nr(A)={B|A→B}.記di(A)=|Nl(A)|以及do(A)=|Nr(A)|,它們分別稱為A的入度和出度.如果A與B在In(B(q,r))中具有相同的左、右鄰點(diǎn),則稱A與B為孿生點(diǎn),記為A～B.若在圖In(B(q,r))中,兩個頂點(diǎn)生成相同的主理想,則它們顯然是孿生點(diǎn).容易驗(yàn)證孿生關(guān)系～是B(q,r)上的一個等價關(guān)系,記A所在的孿生等價類為[A].我們知道圖的自同構(gòu)保持頂點(diǎn)的度以及等價類的大小不變,也就是,對于任意的σ∈Aut(In(B(q,r)))和A∈B(q,r),有di(σ(A))=di(A),do(σ(A))=do(A) 且|[σ(A)]|=|[A]|.

引理3.1在理想包含圖In(B(q,r))中,下面的結(jié)論成立

(i)從A到B有有向邊(A→B)當(dāng)且僅當(dāng)

(ii) 設(shè)r≥ 3. 對于任意的 1 ≤i≤j≤r,(s,t)∈(Ni,Nj) 以及 (s′,t′)∈(Ni′,Nj′),[Est]=[Es′t′]當(dāng)且僅當(dāng) (i,j)=(i′,j′);

(iii)設(shè)r≥3且(s,t)∈(Ni,Nj).X～Est當(dāng)且僅當(dāng)suppb(X)={(Ni,Nj)}.

證 從命題2.6可以直接得到(i).

(ii) 的證明. 若 (i,j)=(i′,j′), 由推論 2.7 得到IEst=IEs′t′, 進(jìn)而有 [Est]=[Es′t′]. 下面證明若 (i,j)/=(i′,j′), 則 [Est]/=[Es′t′]. 假定 (i,j)/=(i′,j′). 若 (i,j)(i′,j′), 則由命題 2.6 得IEs′t′IEst, 進(jìn)而有Es′t′→Est. 但是EstEst, 因此 [Est]/=[Es′t′]. 如果(i′,j′)(i,j),可以類似的得到 [Est]/=[Es′t′]. 下面假定i＞i′且j＞j′. 若j/=r,則有ENiNr→Est, 但ENiNrEs′t′. 若j′/=1,則有Es′t′ →ENi′Nj′?1,但EstENi′Nj′?1. 若j=r且j′=1,由r≥ 3 知存在j′＜k＜j. 從而ENi′Nk→Es′t′,但是ENi′NkEst. 因此都有 [Est]/=[Es′t′]. 當(dāng)i＜i′且j＜j′時,類似可得 [Est]/=[Es′t′].

(iii)的證明.若suppb(X)={(Ni,Nj)},則由命題2.6有IX=IEst,進(jìn)而有X～Est.因此充分性成立.下面證明必要性.假定X～Est.若|supp(X)|=1,假設(shè)suppb(X)={(Ni′,Nj′)}并任取 (s′,t′)∈(Ni′,Nj′). 由推論 2.7 知,IX=IEs′t′. 從而 [X]=[Es′t′],進(jìn)而有 [Est]=[Es′t′]. 由結(jié)論 (ii) 知 (i,j)=(i′,j′). 因此 suppb(X)=(Ni,Nj). 下面證明|supp(X)|不可能大于1.若|supp(X)|≥ 2,則對于任意的(Ni′,Nj′)∈suppb(X)以及(s′,t′)∈(Ni′,Nj′),有Es′t′ →X. 因此Es′t′ →Est,進(jìn)而有 (i,j)(i′,j′). 由 (Ni′,Nj′) 的任意性,得到IXIEst,進(jìn)而X→Est.但EstEst,與假定X～Est相矛盾.

推論3.2設(shè)r≥3以及1≤k≤r.對于任意的(s,t)∈(N1,Nk),|[Est]|=(qn1nk?對于任意的

證 由引理3.1的(iii)知對于任意的(s,t)∈(N1,Nk),

由此易見結(jié)論的前半部分成立,后半部分同理可得.

引理3.3對于理想包含圖In(B(q,r))中頂點(diǎn)的度,下面的結(jié)論成立.

(i)di(0)=0;

(ii)任意(s,t)∈(N1,Nr),di(Est)=1;任意A∈B(q,r),di(A)=1當(dāng)且僅當(dāng)A～EN1Nr;

(iii)任意(s,t)∈(N1,Nk),di(Est)=其中1≤k≤r?1;任意(s,t)∈其中2≤k≤r;

(iv)任意A∈B(q,r),di(A)=qn1nr當(dāng)且僅當(dāng)A～EN1Nr?1或A～EN2Nr.

證 由引理3.1可得Nl(0)=?;任意的(s,t)∈(N1,Nr),Nl(Est)={0};任意的1 ≤k≤r?1 以及 (s,t)任意的2 ≤k≤r以及 (s,t)∈(Nk,Nr),Nl(Est)=顯然,若A/=0,AEN1Nr,AEN1Nr?1且AEN2Nr,則有di(A)＞qn1nr.因此結(jié)論成立.

若雙射σ:B(q,r)→B(q,r)只置換孿生點(diǎn),則σ∈Aut(In(B(q,r))),這樣的自同構(gòu)稱之為奇異自同構(gòu).圖In(B(q,r))上奇異自同構(gòu)的全體記為Sin(In(B(q,r))).

定理3.4圖In(B(q,2))上的自同構(gòu)都是奇異的.

證 當(dāng)r=2,上三角階梯utr(2)只有四種形式且對應(yīng)的代表元可取

同時有di(0)=0;di(EN1N2)=1;di(EN1N1)=di(EN2N2)=qn1n2;di(EN1N1+EN2N2)＞qn1n2.另外在B(q,2)中,EN1N1～EN2N2.既然自同構(gòu)保持頂點(diǎn)的度,從而In(B(q,2))上的自同構(gòu)都是奇異的,即Aut(In(B(q,2)))=Sin(In(B(q,2))).

假設(shè)(n1,n2,···nr)為一正整數(shù)序列滿足:對于任意的1≤k≤r都有nk=nr+1?k.定義映射τP:B(q,r)→B(q,r),對于任意的A∈B(q,r),τP(A)=PATP,其中P=AT表示A的轉(zhuǎn)置.容易驗(yàn)證在假定條件下τP的定義是合理的且是一個雙射.

命題3.5τP為圖In(B(q,r))上的自同構(gòu).

證 假設(shè)從A到B有有向邊,A→B.從而有IAIB,進(jìn)而A∈IB.因此存在Q1,Q2∈B(q,r)使得A=Q1BQ2.從而有PATP=因此IPATPIPBTP.若IPATP=IPBTP,則PBTP∈IPATP.同上類似可得B∈IA,進(jìn)而有IA=IB,與前提IAIB相矛盾.因此IPATPIPBTP,進(jìn)而有τP(A)→τP(B).所以τP∈Aut(In(B(q,r))).

假設(shè)σ∈Aut(In(B(q,r)))(r≥3).為了刻畫σ,需要揭示對于任意的A∈B(q,r),A與σ(A)之間的關(guān)系.

引理 3.6σ(0)=0;[σ(EN1Nr)]=[EN1Nr];[σ(EN1Nr?1)]=[EN1Nr?1]或 [σ(EN1Nr?1)]=[EN2Nr]且n1nr?1=n2nr.

證 從引理3.3,推論3.2以及σ保持頂點(diǎn)度以及孿生等價類大小,可得結(jié)論成立.

命題 3.7(i) 若 [σ(EN1Nr?1)]=[EN1Nr?1],則對于任意的 2 ≤k≤r?1,[σ(EN1Nr?k)]=[EN1Nr?k]成立;

(ii)若[σ(EN2Nr)]=[EN2Nr],則對于任意的3≤k≤r,[σ(ENkNr)]=[ENkNr]成立;

(iii)若 [σ(EN1Nr?1)]=[EN2Nr],則對于任意的 0 ≤k≤r?1,[σ(EN1Nr?k)]=[ENk+1Nr]且n1nr?k=nk+1nr.

證 (i)的證明.在假定條件下k=1時結(jié)論成立.下面證明若結(jié)論當(dāng)k=t時成立,則當(dāng)k=t+1時結(jié)論也成立.從而由歸納法知結(jié)論對于任意的k都成立.假定[σ(EN1Nr?t)]=[EN1Nr?t]. 由EN1Nr?t→EN1Nr?(t+1), 可得EN1Nr?t→σ(EN1Nr?(t+1)). 因此IEN1Nr?tIσ(EN1Nr?(t+1)). 由引理 2.3,存在 (Ni,Nj)∈suppb(σ(EN1Nr?(t+1))) 且 (i,j)(1,r?t).因此i≥ 1且j≤r?t.若i≥ 2或suppb(σ(EN1Nr?(t+1)))?{(Ni,Nj)}/=?,則有

從而有di(σ(EN1Nr?(t+1)))矛盾. 因此 suppb(σ(EN1Nr?(k+1)))={(N1,Nj)}.由di(σ(EN1Nr?(t+1)))=di(EN1Nr?(t+1))以及引理 3.3 可得j=r?(t+1),進(jìn)而有

(ii)的證明.由[σ(EN2Nr)]=[EN2Nr]證明對于任意的1≤k≤r,[σ(ENkNr)]=[ENkNr]成立,可以類似于(i),省略.

(iii)的證明.由假定以及引理3.6知結(jié)論當(dāng)k=0,1時成立.下面用歸納法來證明.假設(shè)結(jié)論當(dāng)k=l時成立. 由 [σ(EN1Nr?l)]=[ENl+1Nr] 以及EN1Nr?l→EN1Nr?(l+1),可得ENl+1Nr→σ(EN1Nr?(l+1)). 因此IENl+1NrIσ(EN1Nr?(l+1)). 由命題 2.6知存在(Ni,Nj)∈suppb(σ(EN1Nr?(l+1)))且(i,j)(l+1,r).因此j≤r且i≥l+1.若j＜r且suppb(σ(EN1Nr?(l+1)))?{(i,j)}/=?,則但是由引理3.3知道di(EN1Nr?(l+1))

因此di(σ(EN1Nr?(l+1)))再由歸納假設(shè)知n1(nr+···+nr?l)=(n1+···+nl+1)nr, 從而有di(σ(EN1Nr?(l+1)))=矛盾.因此 suppb(σ(EN1Nr?(l+1)))={(Ni,Nr)}.再由引理 3.3 可得i=l+2,進(jìn)而有 [σ(EN1Nr?(l+1))]=[ENl+2Nr].

最后,由σ保持孿生類大小知|[EN1Nr?(l+1)]|=|[ENl+2Nr]|.再由推論3.2知

由歸納假設(shè)知n1nr?(l+1)=nl+2nr.因此當(dāng)k=l+1時結(jié)論也成立.由歸納法知結(jié)論對于任意的0≤k≤r?1都成立.

定理3.8假定r≥3.對于σ∈Aut(In(B(q,r))),存在奇異自同構(gòu)ρ∈Sin(In(B(q,r)))和δ∈{0,1}使得σ=τδP?ρ.

證 由引理 3.6 知,σ(0)=0;[σ(EN1Nr)]=[EN1Nr];[σ(EN1Nr?1)]=[EN1Nr?1] 或[σ(EN1Nr?1)]=[EN2Nr].首先證明存在δ∈{0,1}使得σ1=τδP?σ穩(wěn)定任意的[ENiNj](1≤i≤j≤r).分兩種情況來討論.

情形 1[σ(EN1Nr?1)]=[EN1Nr?1].

由引理3.6和命題3.7知,對于任意的1≤k≤r有[σ(EN1Nk)]=[EN1Nk].下面證明[σ(EN2Nr)]=[EN2Nr]也成立,進(jìn)而由命題3.7知對于任意的1≤k≤r有[σ(ENkNr)]=[ENkNr]. 由引理 3.3 知,[σ(EN2Nr)]=[EN2Nr] 或 [σ(EN2Nr)]=[EN1Nr?1].若 [σ(EN2Nr)]=[EN1Nr?1], 由EN1Nr?1→EN1Nr?2且 [σ(EN1Nr?2)]=[EN1Nr?2], 可得σ(EN2Nr)→σ(EN1Nr?2),從而得到EN2Nr→EN1Nr?2,這顯然是不可能的.因此[σ(EN2Nr)]=[EN2Nr].

下面證明對于任意的1≤i≤j≤r,[σ(ENiNj)]=[ENiNj]成立.對i做歸納證明.當(dāng)i=1時結(jié)論成立;假設(shè)當(dāng)1≤i?1≤j≤r時結(jié)論成立,下面證明當(dāng)1＜i≤j≤r時結(jié)論也成立.為此對j再做歸納證明.由上面的討論知當(dāng)j=r時結(jié)論是成立的;假定當(dāng)1＜i≤j+1≤r時結(jié)論成立.由ENi?1Nj→ENiNj,ENiNj+1→ENiNj,[σ(ENi?1Nj)]=[ENi?1Nj]且 [σ(ENiNj+1)]=[ENiNj+1], 可以得出ENi?1Nj→σ(ENiNj) 且ENiNj+1→σ(ENiNj). 由EN1Nj?1ENiNj,ENi+1NrENiNj,[σ(EN1Nj?1)]=[EN1Nj?1]且 [σ(ENi+1Nr)]=[ENi+1Nr],可以得出EN1Nj?1σ(ENiNj)且ENi+1Nrσ(ENiNj).因此σ(ENiNj)～ENiNj或σ(ENiNj)～ENi?1Nj+ENiNj+1.但是容易驗(yàn)證di(ENi?1Nj+ENiNj+1)＜di(ENiNj).因此σ(ENiNj)～ENiNj.令σ1=τδP?σ且此時δ=0.

情形 2[σ(EN1Nr?1)]=[EN2Nr].

由命題3.7知對于任意的0≤k≤r?1有[σ(EN1Nr?k)]=[ENk+1Nr]且n1nr?k=nk+1nr;令σ1=τP?σ,則有 [σ1(EN1Nr)]=[EN1Nr]且 [σ1(EN1Nr?1)]=[EN1Nr?1]. 由情形 1 知[σ1(ENiNj)]～[ENiNj](1≤i≤j≤r).此時σ1=τδP?σ且δ=1.

下面證明σ1穩(wěn)定任意的孿生等價類,即對于任意的A∈B(q,r),有[σ1(A)]=[A].

假定A/=0 且suppb(A)={(Ni1,Nj1),(Ni2,Nj2),···,(Nim,Njm)}.若m=1,則[A]=[ENi1Nj1].因此[σ1(A)]=[A].若m≥ 2,由ENikNjk→A以及[σ1(ENikNjk)]=[ENikNjk]可得ENikNjk→σ1(A). 因此IENikNjkIσ1(A). 令由命題2.6得IA=IX?Iσ1(A).同樣的考慮的作用,可以得出對于任意的A∈B(q,r)有Iσ1(A)?IA.因此Iσ1(A)=IA,進(jìn)而有 [σ1(A)]=[A].

令ρ=σ1,則ρ∈Sin(In(B(q,r))).進(jìn)而有結(jié)論得證.

推論3.9假定r≥3.若存在1≤k≤r滿足nk/=nr+1?k,則圖In(B(q,r))上的每一個自同構(gòu)均是奇異的.

證 假設(shè)存在1≤k≤r使得nk/=nr+1?k.由定理3.8的證明過程可得,對于任意的σ ∈Aut(In(B(q,r))),有[σ(EN1Nr?1)]=[EN1Nr?1].進(jìn)而對于任意的A∈B(q,r)有[σ(A)]=[A],即σ∈Sin(In(B(q,r))).所以Aut(In(B(q,r)))=Sin(In(B(q,r))).

[1]Anderson D F,Livinston P S.The zero-divisor graph of a commutative ring[J].J.Alg.,1999,217:434–447.

[2]Redmond S P.The zero-divisor graph of a non-commutative ring[J].Intern.J.Commut.Rings,2002,1(4):203–211.

[3]Akbari S,Mohammadian A.Zero-divisor graphs of non-commutative rings[J].J.Algebra,2006,296:462–479.

[4]Akbari S,Ghandehari M,Hadian M,Mohammadian A.On commuting graphs of semisimple rings[J].Linear Alg.Appl.,2004,390:345–355.

[5]Abdollahi A.Commuting graphs of full matrix rings over finite fields[J].Linear Alg.Appl.,2008,428:2947–2954.

[6]Mohammadian A.On commuting graphs of finite matrix rings[J].Commun.Alg.,2010,38:988–994.

[7]Anderson D F,Badawi A.The total graph of a commutative ring[J].J.Alg.,2008,320:2706–2719.

[8]Akbari S,Kiani D,Mohammadi F,Moradi S.The total graph and regular graph of a commutative ring[J].J.Pure Appl.Alg.,2009,213:2224–2228.

[9]Akbari S,Aryapoor M,Jamaali M.Chromatic number and clique number of subgraphs of regular graph of matrix algebras[J].Linear Alg.Appl.,2012,436:2419–2424.

[10]Sharma P K,Bhatwadekar S M.A note on graphical representation of rings[J].J.Alg.,1995,176:124–127.

[11]Chakrabarty I,Ghosh S,Mukherjee T K,Sen M K.Intersection graphs of ideals of rings[J].Disc.Math.,2009,309:5381–5392.

[12]Akbari S,Habibi M,Majidinya A,Manaviyat R.The inclusion ideal graph of rings[J].Comm.Alg.,2015,43:2457–2465.

[13]Ma X B,Wong D.Automorphism group of an ideal-relation graph over a matrix ring[J].Linear Multi.Alg.,2016,64:309–320.

[14]Godsil C,Royle G.Algebraic graph theory[M].New York:Springer-Verlag,2001.

[15]Han J.The zero-divisor graph under group actions in a noncommutative ring[J].J.Korean Math.Soc.,2008,45(6):1647–1659.

[16]Park S,Han J.The group of graph automorphisms over a matrix ring[J].J.Korean Math.Soc.,2011,48(2):301–309.

[17]Ma X B,Wang D Y,Zhou J M.Automorphisms of the zero-divisor graph over 2×2 matrices[J].J.Korean Math.Soc.,2016,53(3):519–532.

[18]Wong D,Ma X B,Zhou J M.The group of automorphisms of a zero-divisor graph based on rank one upper triangular matrices[J].Linear Alg.Appl.,2014,460:242–258.

[20]Wang L.A note on automorphisms on the zero-divisor graph of upper triangular matrices[J].Linear Alg.Appl.,2015,465:214–220.

[20]Chen M X,Chen Q H.The automorphisms of triangular algebras[J].J.Math.,2010,30(4):587–594.