李 松,魏中浩,張冰塵,洪 文,黎昌碩

(1.中國科學院電子學研究所,北京100190;2.微波成像技術(shù)國家重點實驗室,北京100190;3.中國科學院大學,北京100190)

0 引言

合成孔徑雷達(Synthetic Aperture Radar,SAR)是一種具有全天時、全天候的高分辨成像系統(tǒng)。傳統(tǒng)的合成孔徑雷達需要嚴格遵守奈奎斯特采樣定律,因此為了實現(xiàn)寬測繪帶和高分辨率需要海量數(shù)據(jù)運算的支持,給雷達系統(tǒng)的計算、傳輸和存儲性能帶來巨大的負擔。近年來由Donoho提出的壓縮感知理論[1](Compressive Sensing,CS)使得當信號滿足稀疏性或可壓縮性時,能夠有效利用觀測目標的先驗信息,從有限的觀測數(shù)據(jù)中獲得較高的變換域分辨率以實現(xiàn)信號的準確重建。CS理論框架下的雷達成像技術(shù)能在降低信號采樣率的前提下提高目標圖像質(zhì)量,為圖像分析和目標識別提供有效的信息。CS已在雷達信號處理等領(lǐng)域取得了廣泛應(yīng)用[2-3]。目前應(yīng)用于稀疏雷達的典型壓縮感知重建算法有迭代閾值算法[4](Iterative Thresholding Algorithm,ITA)、正交匹配追蹤法[5](Orthogonal Matching Pursuit,OMP)和復近似消息傳遞法[6](Complex Approximated Message Passing,CAMP)等。但在稀疏雷達成像過程中,大的目標場景往往意味著巨大的計算量,交替方向乘子法(Alternating Direction Method of Multipliers,ADMM)在凸優(yōu)化問題上的效率優(yōu)勢[7]使其能在不影響計算精度的前提下對稀疏成像過程并行加速,大大提升計算性能。

目前合成孔徑雷達在距離向的高分辨率多為通過線性調(diào)頻信號(LFM)進行脈沖壓縮獲取的,這也就帶來了雷達參數(shù)容易估計而被截獲的問題?；煦缧蛄姓{(diào)頻信號具有良好的相關(guān)特性,類“圖釘形”的模糊函數(shù)使其具有較高的測距測速能力[8]。同時,混沌序列調(diào)頻信號又有類隨機性,克服了線性調(diào)頻信號參數(shù)容易估計的缺點。這些優(yōu)點使得混沌序列調(diào)頻信號在雷達成像領(lǐng)域取得了廣泛的關(guān)注。

本文將壓縮感知與混沌序列調(diào)頻信號相結(jié)合,使用一種新的壓縮感知重構(gòu)算法對稀疏雷達進行成像。相比于傳統(tǒng)的時域相關(guān)法,該方法能大大降低回波信號的采樣率,并且能利用混沌序列調(diào)頻信號的優(yōu)勢對目標場景精確成像。新重構(gòu)算法的加入使得分布式并行運算成為可能,提升了數(shù)據(jù)處理的速度。本文首先介紹相關(guān)理論,然后給出壓縮感知雷達模型,最后通過仿真試驗驗證其可行性。

1 混沌序列調(diào)頻信號

混沌序列調(diào)頻信號的波形設(shè)計主要在一維離散混沌映射的基礎(chǔ)上進行,混沌序列調(diào)頻信號的時域數(shù)學模型一般為

式中,信號頻率φ(t)由混沌序列xk計算得到

用于產(chǎn)生混沌序列的一維離散混沌映射方法主要有Bernoulli映射、Tent映射、Logistic映射和Chebyshev映射[9]。以上4種混沌映射中,Bernoulli映射的功率譜最不平坦,同時其自相關(guān)函數(shù)的峰值旁瓣比最高。文獻[9]指出在實際使用混沌序列進行信號調(diào)頻時,只有Bernoulli映射序列才能得到理想的自相關(guān)特性。因此本文采用Bernoulli映射產(chǎn)生的混沌序列作為發(fā)射信號,其定義為

可見雖然混沌調(diào)頻信號對敵方雷達系統(tǒng)是隨機信號,但由于混沌調(diào)頻信號由初始值和迭代參數(shù)唯一確定,所以它相對于系統(tǒng)自身來說其實是確定的,其不斷變化的波形提升了雷達的隱蔽性能,圖釘形的模糊函數(shù)使得混沌調(diào)頻雷達可以同時無模糊地進行測距和測速[10]。這些特點使得混沌信號擁有廣泛的應(yīng)用前景[11]。

2 壓縮感知理論和雷達成像模型

2.1 壓縮感知理論

定義向量X={x1,x2,…,xN}的lp范數(shù)為

式中,當p=0時得到l0范數(shù),表示X中非零項的個數(shù);p=1時為l1范數(shù),表示X中各個元素絕對值之和。

考慮一個有限長一維離散時間信號x,RN空間的任何信號都可以用N×1維基向量{ψi}的線性組合表示。由向量集{ψi}構(gòu)成N×N維的基矩陣Ψ={ψ1,ψ2,…,ψN},任一信號在該基矩陣之下都可以表示為

式中,s為x的展開系數(shù)構(gòu)成的N×1維列向量,且si=〈x,ψi〉,當s中只有k個非零元素時,稱信號x是稀疏的。

如果對信號x的測量是在時域上進行的,那么有

式中,Φ為M×N維矩陣,稱之為觀測矩陣,y為測量值。當觀測數(shù)量M遠小于信號長度N時,由觀測數(shù)據(jù)y重構(gòu)x的方程是欠定的,信號x不能直接由測量值y求解。

將式(4)代入式(5)中得到

在信號稀疏或可壓縮的前提下,求解欠定方程組y=As的問題轉(zhuǎn)化為最小l0范數(shù)問題:

求解上述問題需要列出s中所有非零項位置的CKN種線性組合才能得到最優(yōu)解。因此,求解上式是NP難問題(Non-Deterministic Polynomia,多項式復雜程度的非確定性問題),其數(shù)值計算解極不穩(wěn)定。文獻[12]指出當觀測矩陣A=ΦΨ滿足有限等距性質(zhì)(Restricted Isometry Property,RIP)時,上述問題可以等價為更簡單的l1范數(shù)優(yōu)化問題:

l1范數(shù)下的優(yōu)化問題又稱為基追蹤(Basis Pursuit,BP)問題,目前基追蹤的壓縮感知重構(gòu)算法主要分為貪婪算法和凸優(yōu)化算法兩大類,其中凸優(yōu)化算法比貪婪算法所求的解更加精確,但是需要更高的計算復雜度。

在稀疏雷達成像過程中,大目標場景的重構(gòu)往往意味著巨大的計算量,傳統(tǒng)稀疏算法模式下的集中式計算可能需要耗費相當長的時間來完成。交替方向法(Alternative Direction Method of Multipliers,ADMM)是一種求解優(yōu)化問題的計算框架,適用于求解分布式凸優(yōu)化問題。ADM M通過分解協(xié)調(diào)(Decomposition-Coordination)過程,將大的全局問題分解為多個較小、較容易求解的局部子問題,并通過協(xié)調(diào)子問題的解而得到全局問題的解。ADM M 最早分別由Glowinski和Marrocco、Gabay和Mercier于1975年和1976年提出,并被Boyd等于2011年重新綜述并證明其適用于大規(guī)模分布式優(yōu)化問題[13]。ADMM算法在凸優(yōu)化問題上的效率優(yōu)勢[7]使得可以在不影響計算精度的前提下對稀疏成像過程并行加速,大大提升了計算性能。

考慮一般形式下具有等式約束的凸優(yōu)化問題:

式中,x∈R n,A∈R m×n,f∶R n→R是凸函數(shù),當目標函數(shù)f(·)可分離時即得到ADMM算法的一般形式,式(10)變?yōu)?/p>

則一般形式下的ADM M算法迭代步驟如下所示:

回歸至稀疏成像領(lǐng)域的l1范數(shù)優(yōu)化問題,式(10)中的函數(shù)f(·)對應(yīng)為向量s的l1范數(shù)‖s‖1,優(yōu)化模型變?yōu)?/p>

設(shè)h(·)是集合{s∈R n|As=y}的示性函數(shù),則ADM M算法框架下的l1范數(shù)優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為

算法迭代步驟如下:

式中S1/ρ(·)為軟閾值函數(shù):

2.2 雷達成像模型

本文采用聚束雷達的工作模式,發(fā)射Bernoulli映射產(chǎn)生的混沌序列調(diào)頻信號,假設(shè)目標的后向散射系數(shù)為各向同性,那么可以將雷達的回波模型寫成:

式中,ξ(t)為高斯白噪聲,λ為信號波長,Nt為場景中的目標個數(shù),x(t)為發(fā)射信號,Ri(t)為第i個目標的瞬時斜矩:,v為載機速度,σi為第i個目標的回波幅度,c為光速。

要完成地鐵噪聲的主動消聲控制，首先須對地鐵噪聲來源及其頻譜特性進行深入分析.鐵路噪聲源主要包括線路噪聲、站場噪聲和工廠噪聲三大部分，而我們所要分析和研究的為線路噪聲.線路噪聲屬于流動污染源、具有線長、面廣、間歇性等特點，由于其污染程度隨列車速度的提高而日益加重，因此本文主要討論鐵路線路噪聲的特點及其控制措施.普通鐵路線路噪聲的聲源主要包含機車鳴笛噪聲和輪軌噪聲，以輪軌噪聲為主，而對于提速后的城市軌道交通，其線路噪聲還包括鐵路橋梁結(jié)構(gòu)的噪聲、空氣動力噪聲以及集電系統(tǒng)噪聲[9].

基于壓縮感知理論的成像方式使得我們可以突破奈奎斯特采樣定理的要求。假設(shè)目標場景的大小為M×N,在距離向和方位向?qū)夭ㄟM行隨機降采樣得較小的K×L矩陣,這樣得到的采樣數(shù)據(jù)將遠小于傳統(tǒng)方法所需的數(shù)據(jù)量,然后利用壓縮感知的方法重建大小為M×N的原始場景。

可以將目標場景的各列σi連接起來形成一個長度為M×N的列向量X:

同樣將回波數(shù)據(jù)各列連起來組成一個長度為K×L的列向量Y:

則處理后的回波數(shù)據(jù)向量Y與場景列向量X的關(guān)系為

式中,N為加性高斯白噪聲,Φ為KL×MN大小的矩陣,它的第i行第j列的元素為

根據(jù)所構(gòu)建的觀測矩陣Φ和降采樣后的回波數(shù)據(jù)Y,可以借助上一小節(jié)所推導出的ADM M算法框架對原始場景進行重構(gòu)。

3 實驗與分析

本節(jié)主要通過仿真實驗驗證混沌序列調(diào)頻信號應(yīng)用于稀疏雷達的可行性。首先給出Bernoulli映射下的混沌序列調(diào)頻信號波形,選定以概率密度函數(shù)ρ(x0)分布在區(qū)間[0,1]上的初值x0,通過式(3)迭代產(chǎn)生Bernoulli序列{xn},Bernoulli混沌序列長度為500,k取值3.7,信號帶寬BW=150 M Hz,采樣率為500 MHz,脈沖持續(xù)時間為20μs,最終得到的信號波形如圖1所示。

圖1 混沌序列調(diào)頻信號波形

由圖1可見,混沌序列調(diào)頻信號具有類隨機性,該特點使得其雷達波形難以辨識。為了驗證信號的相關(guān)特性,選取信號的長度為相關(guān)長度,求得其自相關(guān)、互相關(guān)函數(shù)波形,如圖2所示。

圖2 混沌序列調(diào)頻信號相關(guān)特性

然后給出一維稀疏場景下的仿真結(jié)果。信號為Bernoulli映射調(diào)制的混沌序列調(diào)頻信號,帶寬為150 MHz,脈沖持續(xù)時間為20μs,載頻為1 GHz。所選場景中分布9個不同散射系數(shù)的目標點,如圖3所示。

圖3 原始觀測場景

在回波信號中加入不同強度的加性高斯白噪聲,觀察不同信噪比和采樣率下的一維成像結(jié)果。

從圖4可以看出,在信噪比和采樣率較高的條件下,利用壓縮感知方法對回波數(shù)據(jù)進行處理可以較為完整地恢復原始場景信息,而相同條件下的時域相關(guān)法則由于自身的局限性在旁瓣水平和誤差方面均劣于壓縮感知處理方法。

在采樣率保持一致的前提下,信噪比的降低將惡化各個目標重建的畸變程度;而相同信噪比條件下更低的采樣率則可能導致目標重建位置的錯誤(如圖中圓圈所示)。至于同樣條件下的時域相關(guān)法(信噪比5 dB,采樣率30%),其重建場景的旁瓣已淹沒了主要目標的信息,無法重建原始場景。

為了更加直觀地給出信噪比和采樣率對稀疏重構(gòu)算法的影響,圖5給出了采樣率分別為64%,50%和30%時,在不同信噪比條件下用蒙特卡洛方法畫出的ADMM算法重構(gòu)誤差曲線。

接下來選取大小為30×30的二維場景進行仿真實驗,場景中包含8個幅度隨機的目標,如圖6所示。

圖4 不同采樣率/信噪比條件下的一維仿真結(jié)果對比

圖5 不同SNR下的重建誤差曲線

圖6 二維目標場景

發(fā)射信號為基于Bernoulli映射的混沌序列調(diào)頻信號,帶寬為150 MHz,脈沖持續(xù)時間為20μs,載頻為1 GHz。仿真參數(shù)中斜距設(shè)為15 000 m,方位/距離向分辨率均為2 m,載機速度為150 m/s。在信噪比為20 dB和5 d B的條件下對回波信號進行64%(方位向80%、距離向80%)和30%(方位向50%、距離向60%)隨機降采樣后,基于ADMM方法的混沌調(diào)頻信號稀疏雷達二維成像仿真如圖7所示。

圖7 不同采樣率/信噪比條件下的二維仿真結(jié)果對比

可以看到在信噪比較高的時候,當采樣率滿足一定值時壓縮感知方法能夠準確重建目標場景,隨著采樣率的降低某些弱目標的重建會產(chǎn)生一定程度的畸變,但整體成像結(jié)果較為準確。信噪比的繼續(xù)降低將惡化畸變現(xiàn)象,導致部分反射系數(shù)較弱的目標重建錯誤。

4 結(jié)束語

本文研究了基于混沌調(diào)頻信號的稀疏雷達,建立了其成像模型。仿真實驗證明混沌調(diào)頻信號具有圖釘形的模糊函數(shù)和類噪聲特性,將其運用至稀疏成像雷達可以在降低信號采樣率的前提下對原始場景進行準確重建,并且相比于時域相關(guān)成像法可以抑制圖像的旁瓣。為了克服大目標場景下稀疏成像所帶來的巨大計算量,ADMM算法能在不影響計算精度的前提下對稀疏成像過程并行加速,很好地為分布式稀疏重構(gòu)提供新的思路。后續(xù)工作準備定量評價分布式ADMM算法相比于集中式稀疏算法所帶來的時效性提升。

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