，，，

1. 中國(guó)航天科工二院 北京無(wú)線電測(cè)量研究所，北京 100854 2. 西安電子科技大學(xué) 雷達(dá)信號(hào)處理國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，西安 710071 3. 中國(guó)人民解放軍63610部隊(duì)，庫(kù)爾勒 841001

隨著中國(guó)月球探測(cè)事業(yè)的發(fā)展，嫦娥工程順利實(shí)施，這標(biāo)志著中國(guó)正在邁入月球探測(cè)大國(guó)的行列。月球資源具有巨大的戰(zhàn)略價(jià)值，是人類社會(huì)長(zhǎng)期可持續(xù)發(fā)展的重要支撐；月球是深空探測(cè)的的前哨站和轉(zhuǎn)運(yùn)站，是人類探測(cè)宇宙、進(jìn)行深空探測(cè)的重要基礎(chǔ)[1]。在地球科學(xué)應(yīng)用方面，為滿足對(duì)全球變化的大尺度觀測(cè)能力的需求，月基對(duì)地觀測(cè)[2]的概念應(yīng)運(yùn)而生。月球作為地球天然的衛(wèi)星，其獨(dú)特的性質(zhì)可為地球的大范圍長(zhǎng)時(shí)間觀測(cè)提供平臺(tái)[3-5]，這是普通星載合成孔徑雷達(dá)(Synthetic Aperture Radar，SAR)[6-10]所不具備的優(yōu)越條件。

由于月基單站SAR的雙程作用距離遠(yuǎn)，回波信噪比低。針對(duì)這個(gè)問(wèn)題，本文對(duì)月地雙基SAR工作模式進(jìn)行研究。月地雙基SAR的工作原理是將發(fā)射天線置于月球表面，用人造地球衛(wèi)星接收地面回波，這種工作模式的優(yōu)點(diǎn)是可以降低人造衛(wèi)星的設(shè)計(jì)和發(fā)射成本，提高人造衛(wèi)星工作能力和使用壽命，相比于月基單站SAR又可以顯著提高信噪比。考慮到月、地、星之間復(fù)雜的相對(duì)運(yùn)動(dòng)會(huì)為成像帶來(lái)困難，本文根據(jù)月、地、星的幾何關(guān)系建立平面直角模型，考慮到由軌道彎曲引入的模型誤差，分析精確的回波二維頻譜。

現(xiàn)有的雙基SAR二維頻譜分析方法有LBF[11]法、級(jí)數(shù)反演法(Method of Series Reversion，MSR)[12]及一系列衍生方法[13-14]等，本文基于MSR原理引入模型誤差，給出精確回波二維頻譜表達(dá)式。在此基礎(chǔ)上提出了一種基于快速后向投影(Back Projection，BP)[15]的成像算法，該算法借鑒快速分級(jí)后向投影(Fast Factorized Back Projection，F(xiàn)FBP)[16]和頻譜融合[17]的處理思路，將傳統(tǒng)的頻域BP[18]算法通過(guò)頻域分塊和頻譜融合方式在滿足精確成像的前提下實(shí)現(xiàn)運(yùn)算的快速化。本文最后理論分析了月地雙基SAR的信噪比表達(dá)式，并通過(guò)點(diǎn)仿真試驗(yàn)驗(yàn)證了模型誤差分析的正確性及所提出算法的有效性。

1 模型描述

月地雙基SAR將發(fā)射機(jī)置于月球表面，利用衛(wèi)星接收地球表面的反射回波，模型如圖1所示。

月球的自轉(zhuǎn)周期和公轉(zhuǎn)周期是一致的，這為月地雙基SAR的長(zhǎng)時(shí)間觀測(cè)提供了可能性。但月球的運(yùn)動(dòng)十分復(fù)雜，除繞地球公轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)外還存在太陽(yáng)及大行星的攝動(dòng)作用。地月模型主要參數(shù)如表1所示，由于地球與月球的自轉(zhuǎn)周期相差較大，該模型忽略月球相對(duì)運(yùn)動(dòng)對(duì)SAR成像的影響，僅考慮地球自轉(zhuǎn)和衛(wèi)星接收機(jī)的運(yùn)動(dòng)。雙基SAR回波信號(hào)表達(dá)式沿用傳統(tǒng)雙基模型[19]：

wr(·)wa(·)

(1)

式中：t和τ分別為距離快時(shí)間和方位慢時(shí)間；wr(·)和wa(·)分別為距離窗函數(shù)和方位窗函數(shù)；RT(τ)和RR(τ)分別為發(fā)射和接收信號(hào)的斜距歷史；c為光速；α為發(fā)射信號(hào)調(diào)頻率；fc為信號(hào)中心頻率。在這個(gè)模型中，可以假定地球相對(duì)靜止，月面發(fā)射天線和衛(wèi)星接收天線相對(duì)于地面目標(biāo)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度分別為vT和vR，令發(fā)射和接收天線的斜視角為θsqT和θsqR，并假設(shè)月球軌道和衛(wèi)星軌道在同一個(gè)平面內(nèi)，則斜距歷史RT(τ)和RR(τ)可以表示為：

式中：RsT和RsR分別為發(fā)射天線和接收天線在零時(shí)刻到目標(biāo)點(diǎn)的斜距。通過(guò)分析式(1)的二維頻譜，可以在二維波數(shù)域進(jìn)行距離脈壓及距離徙動(dòng)校正，最后用方位匹配濾波實(shí)現(xiàn)方位向聚焦。但衛(wèi)星和月球的運(yùn)行軌道是橢圓形軌道，并且存在月球天平動(dòng)的影響，而式(2)和式(3)建立的基礎(chǔ)是平面直角模型，這會(huì)為模型引入誤差。綜合上述因素，會(huì)導(dǎo)致斜距歷史產(chǎn)生誤差ΔR，體現(xiàn)為一個(gè)受ΔR擾動(dòng)的回波信號(hào)，如式(4)所示。這里需要說(shuō)明的是，擾動(dòng)量ΔR在實(shí)際應(yīng)用中是一個(gè)已知量，因?yàn)楦鶕?jù)已知的月球和衛(wèi)星軌道參數(shù)，可以精確求解以場(chǎng)景任一點(diǎn)為參考點(diǎn)的回波斜距歷程，其中包含了月球天平動(dòng)和章動(dòng)等復(fù)雜運(yùn)動(dòng)，與式(2)和式(3)建立的直角模型進(jìn)行比較即可求得擾動(dòng)量ΔR，并且擾動(dòng)量ΔR在成像場(chǎng)景中是一個(gè)空變量。本文將在該模型下分析含空變誤差ΔR的精確二維頻譜表達(dá)式，從而指導(dǎo)對(duì)回波信號(hào)的精確補(bǔ)償。

表1 地月模型主要參數(shù)Table 1 Main parameters of earth-moon model

2 精確的二維頻譜分析

實(shí)現(xiàn)精確成像的前提條件是得到回波信號(hào)的精確二維頻譜，這需要考慮ΔR對(duì)回波信號(hào)二維頻譜的影響，由于ΔR是一個(gè)空變量，對(duì)于地表P點(diǎn)，可以將ΔR展開(kāi)為三階多項(xiàng)式：

式中：p1，p2，p3為展開(kāi)系數(shù)。同時(shí)將斜距歷史R(τ)=RT(τ)+RR(τ)在τ=0處進(jìn)行泰勒展開(kāi)，保留至三階多項(xiàng)式得到[19]：

其中，

對(duì)式(4)進(jìn)行距離向Fourier變換，得到距離頻域-方位時(shí)域表達(dá)式為：

(12)

式中：fr為距離向波數(shù)譜；Wr(·)為信號(hào)在頻域中的距離向包絡(luò)。第一個(gè)相位項(xiàng)表示斜距歷史的包絡(luò)和相位，第二個(gè)相位項(xiàng)是距離脈壓因子。將式(5)～(11)帶入式(12)，并對(duì)回波進(jìn)行距離脈壓，通過(guò)方位Fourier變換可以得到距離脈壓信號(hào)的二維頻域表達(dá)式：

s′(fr,τ*)·exp(-j2πfaτ*)

(13)

由駐定相位原理(Method Of Stationary Phase，POSP)可知，需要求解式(14)方程以得到駐相點(diǎn)τ*：

其中，令l1=k1+p1，l2=k2+p2，l3=k3+p3。令：

則根據(jù)文獻(xiàn)[12]中的級(jí)數(shù)反演法(Method of Series Reversion，MSR)，駐相點(diǎn)τ*可以表示為關(guān)于y的二次多項(xiàng)式：

將式(16)帶入式(13)，可以得到解析表達(dá)的距離脈壓信號(hào)二維頻譜：

s(fr,fa)=Wr(·)Wa(·)·

式中：Wa(·)為信號(hào)在頻域中的方位向包絡(luò)；

s(τ,fa)=wr(·)Wa(·)exp{-j2π(θ0fc+

式中：(x,y)為成像點(diǎn)的位置坐標(biāo)，方位匹配濾波2相位因子Φ中包含誤差ΔR的影響。由于月地雙基SAR的發(fā)射、接收天線不同軌，因此回波信號(hào)不具備方位平移不變性，因此成像網(wǎng)格內(nèi)各點(diǎn)對(duì)應(yīng)的λ的方位空變性是需要考慮的因素。頻域BP法[18]通過(guò)對(duì)成像網(wǎng)格內(nèi)各點(diǎn)計(jì)算與其精確匹配的方位濾波器可實(shí)現(xiàn)精確成像，但其運(yùn)算量很大，本文研究通過(guò)頻域子孔徑BP成像及頻譜融合的方法實(shí)現(xiàn)了算法的快速化。

3 頻域子孔徑BP算法及頻譜融合

傳統(tǒng)頻域BP算法[18]需要計(jì)算成像網(wǎng)格內(nèi)所有點(diǎn)的方位匹配濾波函數(shù),并依次進(jìn)行相干積累，這個(gè)過(guò)程為成像帶來(lái)巨大的運(yùn)算量：

exp[j2πΦ(fa,x,y)]dfa

(19)

通過(guò)FFBP的處理思想，利用分解和融合可以實(shí)現(xiàn)成像的快速化。算法的初始階段將方位波數(shù)域數(shù)據(jù)按一定比例劃分為若干子塊，并劃分粗成像網(wǎng)格(xsub,y)，在劃分的過(guò)程中需要對(duì)粗成像網(wǎng)格的間隔進(jìn)行限制，即采樣率需要大于方位頻域子塊的帶寬。對(duì)于第u個(gè)子孔徑，方位波數(shù)譜中心為fau，則(xp,y)點(diǎn)回波信號(hào)通過(guò)方位匹配濾波器組后的輸出結(jié)果：

exp{jΦ[fa,xsub,y]}dfa≈

式中：fa∈[-Δfa/2,Δfa/2]為方位子塊波數(shù)譜表達(dá)式，Δfa為方位波譜寬度；Su(xsub,y)為第u個(gè)子孔徑在粗成像網(wǎng)格成像結(jié)果的時(shí)域表達(dá)式，下一個(gè)步驟中算法將各子孔徑的成像結(jié)果在方位波數(shù)域進(jìn)行拼接，實(shí)現(xiàn)方位波數(shù)譜的融合。對(duì)式(19)進(jìn)行方位Fourier變換，得到第u個(gè)子塊的方位頻譜為：

(21)

算法的最后階段將各子塊數(shù)據(jù)在方位波數(shù)域進(jìn)行融合，這個(gè)過(guò)程是通過(guò)循環(huán)移位和拼接實(shí)現(xiàn)的。由式(21)可知，第u個(gè)子圖像的方位波數(shù)譜中心在fau處，而波數(shù)譜寬度為Δfa，因此譜會(huì)存在折疊。需要將該孔徑的譜循環(huán)移位至fau相對(duì)于全部譜寬Δfa中的位置，各子圖像依次進(jìn)行移位和拼接，可以得到完整的波數(shù)譜，這個(gè)過(guò)程如圖3所示。最后通過(guò)方位逆Fourier變換，可以得到全分辨的成像結(jié)果。

4 信噪比分析

根據(jù)信噪比[20]：

(22)

式中：Pavg為平均發(fā)射功率；G為天線增益；λ為波長(zhǎng)；σ為目標(biāo)截面積；R為雷達(dá)到目標(biāo)的距離；Ls為系統(tǒng)損失；k為玻爾茲曼常數(shù)；T0為標(biāo)準(zhǔn)溫度；F為噪聲系數(shù)；ta為合成孔徑時(shí)間。對(duì)于SAR而言，合成孔徑時(shí)間ta表示為：

式中：ω為平臺(tái)角速度；δa=Dcosθsq/2為方位向分辨率；D為天線孔徑長(zhǎng)度；θsq為斜視角。目標(biāo)截面積σ表示為：

式中：σ0為地面目標(biāo)的歸一化后向散射技術(shù)；δr=c/2B為距離分辨率；c為光速；B為信號(hào)帶寬；θi為波束入射角。則信噪比為：

對(duì)于月基單站SAR，信噪比表達(dá)式為：

式中：REM為地月距離；ωE為地球自轉(zhuǎn)角速度。

對(duì)于月地雙基SAR，信噪比表達(dá)式為：

式中：RS為衛(wèi)星與散射點(diǎn)的距離；ωS為衛(wèi)星相對(duì)于目標(biāo)點(diǎn)的角速度；θsqR為接收天線的斜視角。在式(27)中，地月距離REM為一個(gè)較大的量。對(duì)于月基單站SAR，信噪比與REM的四次方成反比，而月地雙基SAR的信噪比僅與REM的二次方成反比?？梢?jiàn)與月基單站模式相比，月地雙基模式可以很大程度上改善回波信噪比。

5 合成孔徑時(shí)間分析

由于月地雙基SAR的合成孔徑時(shí)間主要由衛(wèi)星決定，因此可以根據(jù)衛(wèi)星參數(shù)進(jìn)行合成孔徑時(shí)間的計(jì)算。令天線尺寸為D，則天線方位向波束寬度為：

接收回波信號(hào)的衛(wèi)星高度為hs，則衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)的角速度為：

式中：G0為萬(wàn)有引力常數(shù)；M為地球質(zhì)量；Re為地球半徑。則合成孔徑時(shí)間T的表達(dá)式為：

6 仿真試驗(yàn)

本節(jié)通過(guò)點(diǎn)目標(biāo)仿真對(duì)本文算法進(jìn)行驗(yàn)證，仿真參數(shù)如表2所示，發(fā)射信號(hào)選用X波段，接收衛(wèi)星軌道高度設(shè)為1 000 km，根據(jù)開(kāi)普勒方程計(jì)算得到衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)速度為7 350 m/s。月球到地心的距離約為384 400 km，假設(shè)僅考慮地球自轉(zhuǎn)，月球相對(duì)于地球的運(yùn)動(dòng)速度約為27 634 m/s。

表2 仿真參數(shù)Table 2 Simulation parameters

對(duì)于場(chǎng)景中心點(diǎn)，補(bǔ)償軌道彎曲前后的距離徙動(dòng)校正對(duì)比結(jié)果如圖4所示。圖4(a)為平面模型假設(shè)下的結(jié)果，可以發(fā)現(xiàn)距離脈壓信號(hào)存在殘余的彎曲，圖4(b)為本文算法校正后的結(jié)果，不存在跨距離單元的徙動(dòng)。圖5為點(diǎn)目標(biāo)成像的對(duì)比結(jié)果，由于存在殘余包絡(luò)和相位誤差，圖5(a)的圖像無(wú)法聚焦，圖5(b)中本文算法可以實(shí)現(xiàn)點(diǎn)目標(biāo)的聚焦。圖5給出的是場(chǎng)景中心附近點(diǎn)的成像結(jié)果，因此模型誤差ΔR的方位空變性并不明顯。為了說(shuō)明算法對(duì)方位空變誤差的補(bǔ)償效果，圖6給出了方位向50 km處點(diǎn)目標(biāo)的一維方位脈沖響應(yīng)函數(shù)對(duì)比，由于補(bǔ)償了ΔR的方位空變性，本文算法的方位聚焦效果優(yōu)于僅補(bǔ)償場(chǎng)景中心點(diǎn)的算法。

7 結(jié)束語(yǔ)

針對(duì)月地雙基SAR的工作模式，本文詳細(xì)分析回波的精確二維頻譜，提出了一種基于快速后向投影的成像算法。通過(guò)分析可知月地雙基SAR信噪比與地月距離的二次方成反比，相對(duì)于月基單站SAR有顯著提升。通過(guò)X波段點(diǎn)目標(biāo)仿真驗(yàn)證了該方法可以補(bǔ)償由軌道彎曲引起的方位空變模型誤差，說(shuō)明了該方法對(duì)處理月地雙基SAR成像問(wèn)題的有效性。

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