陳志剛，賈濤，陶厚永

0 引言

需求和供給的匹配是供應(yīng)鏈管理中核心問(wèn)題之一[1]。企業(yè)在當(dāng)前時(shí)刻訂貨，然而在未來(lái)時(shí)刻才能收到貨物，因此企業(yè)必須對(duì)未來(lái)的市場(chǎng)需求做出預(yù)測(cè)。企業(yè)可以使用大量數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)未來(lái)的市場(chǎng)需求，如可以觀察相同及類似功能產(chǎn)品的需求、相同特性產(chǎn)品（如大屏幕手機(jī)）銷售情況，市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)狀況走勢(shì)（人們的消費(fèi)會(huì)增加還是減少）等。隨著互聯(lián)網(wǎng)技術(shù)持續(xù)迅速地發(fā)展和大數(shù)據(jù)時(shí)代的到來(lái)，對(duì)于數(shù)據(jù)的挖掘和運(yùn)用已成為影響企業(yè)生產(chǎn)力的重要因素。企業(yè)信息化建設(shè)水平不斷提高，對(duì)市場(chǎng)需求的預(yù)測(cè)也更加精確，使供應(yīng)鏈需求和供給更加匹配，并顯著提高了供應(yīng)鏈運(yùn)作效率[2]，因此在供應(yīng)鏈管理中市場(chǎng)需求預(yù)測(cè)正發(fā)揮越來(lái)越大的作用。然而預(yù)測(cè)始終是不準(zhǔn)確的，從獲取信息的角度看，企業(yè)希望訂貨時(shí)間離銷售開(kāi)始時(shí)刻越近越好[3]。企業(yè)可以通過(guò)向附近的供應(yīng)商訂貨、工人加班和采用更快速的運(yùn)送工具等來(lái)縮短提前期。通常這些手段都需要付出額外的成本，因此在每一時(shí)刻企業(yè)都需要權(quán)衡，究竟是等待在未來(lái)獲得更多的市場(chǎng)需求信息，還是以較低的采購(gòu)成本在當(dāng)前時(shí)刻訂貨。

許多學(xué)者研究了預(yù)測(cè)更新問(wèn)題。Fisher和Raman[4]首先分析兩周期預(yù)測(cè)更新庫(kù)存系統(tǒng)，企業(yè)在第一個(gè)周期開(kāi)始時(shí)以較低的價(jià)格向普通供應(yīng)商訂貨，接著持續(xù)搜集市場(chǎng)需求信息，在第一個(gè)周期末更新市場(chǎng)需求預(yù)測(cè)結(jié)果。在第二個(gè)周期開(kāi)始時(shí)企業(yè)還有一次補(bǔ)貨機(jī)會(huì)，允許以較高的價(jià)格向緊急供應(yīng)商訂貨。企業(yè)需要決策兩個(gè)周期的訂貨策略。Iyer和Bergen[5]進(jìn)一步考慮在第一個(gè)周期末采用貝葉斯方法進(jìn)行預(yù)測(cè)更新，分析了快速響應(yīng)環(huán)境下供應(yīng)商和零售商之間何時(shí)帕累托最優(yōu)，并設(shè)計(jì)了相應(yīng)的協(xié)調(diào)機(jī)制。此后有大量的基于兩周期模型擴(kuò)展研究，如考慮不同庫(kù)存系統(tǒng)中顧客策略行為、采購(gòu)成本隨機(jī)波動(dòng)和零售商之間相互競(jìng)爭(zhēng)等[6-8]。在多周期條件下，Allen和Esopo[9]考慮了企業(yè)存在正常和緊急兩種不同訂貨途徑，采取周期盤(pán)點(diǎn)方式的庫(kù)存模型。Moinzadeh和Nahmias[10]考慮了同樣條件下采用連續(xù)盤(pán)點(diǎn)方式的庫(kù)存問(wèn)題。多周期條件下，存在兩種不同提前期長(zhǎng)度的庫(kù)存模型非常復(fù)雜，大多采用數(shù)值計(jì)算方法，沒(méi)有精確求解算法。Veeraraghavan和Scheller-Wolf[11]首次將模型轉(zhuǎn)換為單變量的仿真問(wèn)題，能夠在數(shù)秒之內(nèi)求得近似解。Hua、Yu和Zhang[12]探討了這類模型解的結(jié)構(gòu)性質(zhì)。很少文獻(xiàn)研究模型中存在三種不同提前期長(zhǎng)度，Sethi等[13]研究了系統(tǒng)中存在快速、中等和正常三種提前期長(zhǎng)度時(shí)最優(yōu)庫(kù)存策略。上述文獻(xiàn)中盡管模型中存在兩種或三種提前期長(zhǎng)度，但提前期都為預(yù)先給定的常數(shù)或隨機(jī)變量，只是在有限時(shí)間點(diǎn)的市場(chǎng)需求預(yù)測(cè)更新。

實(shí)際中企業(yè)可以自由選擇合適的提前期長(zhǎng)度。Ouyang等[14]研究了可控提前期庫(kù)存模型，模型中不考慮預(yù)測(cè)過(guò)程，企業(yè)同時(shí)決策最優(yōu)訂貨量和提前期長(zhǎng)度使總成本最小。宋華明和馬士華[15]研究了基于可控提前期的協(xié)調(diào)問(wèn)題，Yi和Sarker[16]研究了存在貨架空間約束問(wèn)題。在可控提前期模型中盡管企業(yè)可以預(yù)先決策最優(yōu)提前期長(zhǎng)度，但沒(méi)有考慮預(yù)測(cè)過(guò)程，提前期長(zhǎng)度不能隨著預(yù)測(cè)過(guò)程動(dòng)態(tài)變化。Wang等[17]首先考慮了基于市場(chǎng)需求預(yù)測(cè)過(guò)程的庫(kù)存模型。企業(yè)僅有一次訂貨機(jī)會(huì)，它持續(xù)不斷地預(yù)測(cè)市場(chǎng)需求并選擇合適的時(shí)間點(diǎn)訂貨。假定市場(chǎng)需求預(yù)測(cè)過(guò)程服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)，不考慮訂貨成本，Wang等證明最優(yōu)訂貨時(shí)間為某一固定時(shí)點(diǎn)與預(yù)測(cè)過(guò)程無(wú)關(guān)。Tong等[18]進(jìn)一步考慮企業(yè)不存在訂貨次數(shù)約束和市場(chǎng)需求預(yù)測(cè)過(guò)程為布朗或幾何布朗運(yùn)動(dòng)，證明企業(yè)的最優(yōu)庫(kù)存策略為Basestock策略。

文獻(xiàn)[17]和文獻(xiàn)[18]均假定在每一時(shí)點(diǎn)預(yù)測(cè)值調(diào)整量分布的參數(shù)已知。但實(shí)際中分布的精確參數(shù)值是未知的，得到的是根據(jù)市場(chǎng)需求信息數(shù)據(jù)估計(jì)的參數(shù)（如均值和標(biāo)準(zhǔn)差等）。本文假定預(yù)測(cè)過(guò)程為布朗運(yùn)動(dòng)，企業(yè)可以根據(jù)收集的數(shù)據(jù)獲得市場(chǎng)需求的預(yù)測(cè)值及隨時(shí)間變化時(shí)預(yù)測(cè)值調(diào)整量的方差，運(yùn)用貝葉斯方法預(yù)測(cè)市場(chǎng)需求。建立了基于貝葉斯預(yù)測(cè)更新的報(bào)童模型，分析數(shù)據(jù)對(duì)預(yù)測(cè)市場(chǎng)需求的影響，并給出了企業(yè)最優(yōu)庫(kù)存策略。通過(guò)敏感性分析說(shuō)明采購(gòu)成本和市場(chǎng)需求信息對(duì)庫(kù)存策略的影響。

1 問(wèn)題描述、符號(hào)說(shuō)明及假設(shè)

企業(yè)計(jì)劃在未來(lái)某個(gè)時(shí)刻銷售某種商品。通過(guò)選擇不同供應(yīng)商或運(yùn)作流程企業(yè)可以在整個(gè)計(jì)劃時(shí)期內(nèi)不同時(shí)間點(diǎn)訂貨。由于不同供應(yīng)商產(chǎn)品之間有差異，生產(chǎn)工藝流程不相同和存在訂貨成本等原因，假定企業(yè)僅有一次訂貨機(jī)會(huì)，訂貨量Q＞0。整個(gè)計(jì)劃時(shí)期由N+1個(gè)時(shí)點(diǎn)組成，企業(yè)所有能夠訂貨的時(shí)間點(diǎn)對(duì)應(yīng)時(shí)點(diǎn)1到時(shí)點(diǎn)N，在時(shí)點(diǎn)T=N+1時(shí)，銷售季節(jié)開(kāi)始，銷售開(kāi)始并迅速完成。產(chǎn)品銷售價(jià)格給定為r。在時(shí)點(diǎn)i訂貨時(shí)，訂貨成本為Ai≥0，單位采購(gòu)成本為ci且采購(gòu)成本隨著提前期的縮短而增大，即0＜c1＜c2＜...＜cN＜r。為了簡(jiǎn)化模型假定銷售季節(jié)結(jié)束后剩余產(chǎn)品價(jià)值為零，不考慮折現(xiàn)影響（這些情形簡(jiǎn)單且不影響問(wèn)題性質(zhì)和結(jié)論）。

企業(yè)連續(xù)不斷的收集市場(chǎng)需求信息。N+1個(gè)時(shí)點(diǎn)將計(jì)劃時(shí)期分為N個(gè)時(shí)段。在各時(shí)點(diǎn)市場(chǎng)需求均值為θi。在各時(shí)段上根據(jù)收集的市場(chǎng)需求信息得到相鄰時(shí)點(diǎn)間市場(chǎng)需求的調(diào)整量為 εi，遞推關(guān)系滿足 θt+1=θt+εt。 εt為正態(tài)分布，均值為零，標(biāo)準(zhǔn)差為σt，相互獨(dú)立且與預(yù)測(cè)值和決策過(guò)程無(wú)關(guān)。若當(dāng)前時(shí)點(diǎn)為i，在未來(lái)當(dāng)t≥i時(shí)，εt為隨機(jī)變量，在過(guò)去當(dāng)t＜i時(shí)，εt為隨機(jī)變量的實(shí)現(xiàn)值，是一個(gè)確定值。當(dāng)前時(shí)點(diǎn)為t時(shí)，市場(chǎng)需求均值為θt=θ1+ε1+ε2+...+εt-1。而在時(shí)點(diǎn) t=T 時(shí)，θT即為真實(shí)的市場(chǎng)需求，下文中記真實(shí)的市場(chǎng)需求θT為符號(hào)D。企業(yè)根據(jù)以往的歷史數(shù)據(jù)，可以估計(jì)出所有 σi，i=1，2，...，N的大小。在當(dāng)前時(shí)點(diǎn)t，根據(jù)已知的市場(chǎng)需求信息數(shù)據(jù)可以得到市場(chǎng)需求預(yù)測(cè)值dt。企業(yè)不知道參數(shù)θt的具體值，但可以根據(jù)σt和dt值利用貝葉斯方法估計(jì)參數(shù)θt。在前一時(shí)點(diǎn)t-1，根據(jù)已有數(shù)據(jù)獲得了-θt-1的后驗(yàn)分布（-代表后驗(yàn)分布），結(jié)合已知調(diào)整量εt-1的分布，可以得到-

θt的先驗(yàn)分布（用-代表先驗(yàn)分布）。先驗(yàn)分布沒(méi)有包含時(shí)點(diǎn)t-1至?xí)r點(diǎn)t間收集的市場(chǎng)需求信息。企業(yè)根據(jù)收集的市場(chǎng)需求信息在時(shí)點(diǎn)t重新對(duì)市場(chǎng)需求做出預(yù)測(cè)得到dt。根據(jù)新的預(yù)測(cè)值dt采用貝葉斯方法可以得到更精確

2 模型構(gòu)建和求解

2.1 市場(chǎng)需求D和θt的分布

在開(kāi)始時(shí)點(diǎn)1，由于時(shí)點(diǎn)1以前沒(méi)有市場(chǎng)需求預(yù)測(cè)值，因此 θ1=d1，θ1可視為方差為0的正態(tài)分布 N(d1，0)（其中N代表正態(tài)分布）。假設(shè)當(dāng)前時(shí)點(diǎn)為t(t＞1)。在當(dāng)前時(shí)，參數(shù)θt未知。企業(yè)獲得的信息預(yù)測(cè)市場(chǎng)需求值為dt。根據(jù)貝葉斯理論，可得更精確的θt分布（后驗(yàn)分布），其均值和標(biāo)準(zhǔn)差為[5]：有：（1）在前一個(gè)時(shí)點(diǎn)t-1獲得-θt-1的后驗(yàn)分布為正態(tài)分

在當(dāng)前時(shí)點(diǎn) t，預(yù)測(cè)值 di，i=1，2，...，t已知，所有σi，i=1，2，...，N 也已知。根據(jù)遞推關(guān)系可以求得 θt的后驗(yàn)分布 N(-μt，-σt2)。因此在時(shí)點(diǎn)t預(yù)測(cè)市場(chǎng)需求D為正態(tài)。如果企業(yè)不在當(dāng)前時(shí)點(diǎn)訂貨，則需要在時(shí)點(diǎn)t預(yù)測(cè)未來(lái)時(shí)點(diǎn)θt+1的后驗(yàn)分布，根據(jù)遞推關(guān)系式，-μt+1=ρt+1dt+1+(1-ρt+1)-μt。但其中未來(lái)dt+1為隨機(jī)變量。在時(shí)點(diǎn)t預(yù)測(cè)市場(chǎng)需求可以有兩種方法，一種如前述直接預(yù)測(cè)時(shí)點(diǎn)T的市場(chǎng)需求。另一種將預(yù)測(cè)過(guò)程視為兩部分之和，從時(shí)點(diǎn)t至未來(lái)時(shí)點(diǎn)t+1和從未來(lái)時(shí)點(diǎn)t+1至?xí)r點(diǎn)T。第一部分為調(diào)整量εt服從正態(tài)分布N(0，εt)，第二部分為在時(shí)點(diǎn)t+1預(yù)測(cè)市場(chǎng)需求dt+1。兩種方法實(shí)質(zhì)一樣，因此兩部，遞推關(guān)系

從上述預(yù)測(cè)過(guò)程可以看到：（1）在每一時(shí)點(diǎn)預(yù)測(cè)更新后，預(yù)測(cè)精度提高。獲得市場(chǎng)預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)dt后，θt后驗(yàn)分布的標(biāo)準(zhǔn)差為先驗(yàn)分布的 ρt倍，且 ρt＜1；（2）當(dāng)預(yù)測(cè)獻(xiàn)比重1-ρt增大。說(shuō)明當(dāng)前時(shí)點(diǎn)t離銷售季節(jié)開(kāi)始時(shí)越近，預(yù)測(cè)的精度就會(huì)越高，且當(dāng)前時(shí)點(diǎn)的預(yù)測(cè)值對(duì)預(yù)測(cè)的結(jié)果影響更大。（3）由遞推關(guān)系（1）可知，對(duì) θt預(yù)測(cè)時(shí)，每一個(gè)時(shí)點(diǎn)i（i＜t），預(yù)測(cè)值di都對(duì)均值 μt有貢獻(xiàn)，權(quán)重大由于 ρj均為0至1之間，因此過(guò)去時(shí)點(diǎn)i離當(dāng)前時(shí)點(diǎn)t越遠(yuǎn)（i值越?。瑪?shù)據(jù)di占 μt的權(quán)重就越小，對(duì)預(yù)測(cè)的貢獻(xiàn)較小。

2.2 模型的求解

（1）時(shí)點(diǎn) N

在時(shí)點(diǎn)N最優(yōu)庫(kù)存策略為basestock策略，當(dāng)-μt＞SN

（2）任意時(shí)點(diǎn)t

在未來(lái)市場(chǎng)需求預(yù)測(cè)值為隨機(jī)變量，因此企業(yè)可能在當(dāng)前或未來(lái)任意時(shí)點(diǎn)訂貨并停止決策。模型為較復(fù)雜最優(yōu)停止問(wèn)題[19]，沒(méi)有通用的遞推計(jì)算方法。將采用數(shù)學(xué)歸納法證明對(duì)于所有的時(shí)點(diǎn)i均存在唯一的Si滿足Ri(Si)=FRi(Si)，且Θ(-μi)函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)。當(dāng)i=N時(shí)，根據(jù)上文假設(shè)成立。假設(shè)i≥t+1時(shí)假設(shè)均成立，若當(dāng)前時(shí)點(diǎn)為t時(shí)企業(yè)不訂貨，則有：

定理1：企業(yè)最優(yōu)庫(kù)存策略為basestock策略，在當(dāng)前時(shí)點(diǎn)t存在且唯一的Sdt，其值與當(dāng)前或未來(lái)的市場(chǎng)需求預(yù)測(cè)值di，i=t，t+1，...，N無(wú)關(guān)。若當(dāng)前市場(chǎng)需求預(yù)測(cè)值dt＞Sdt時(shí)，最優(yōu)庫(kù)存策略為訂貨，訂貨量為 -μt+zt

由式（5）和式（2），Θ(-μt)為單調(diào)遞增函數(shù)且導(dǎo)數(shù)大于正常數(shù)ct+1-ct。Θ(-μt)=0必定存在唯一解St，證畢。根據(jù)遞推式（1），可以得到對(duì)應(yīng)預(yù)測(cè)值dt的訂貨點(diǎn)為：若當(dāng)前市場(chǎng)需求預(yù)測(cè)值dt≤Sdt時(shí)，企業(yè)繼續(xù)等待，直到下一時(shí)點(diǎn)進(jìn)行新的決策。

2.3 采購(gòu)成本和市場(chǎng)需求信息

這里分析采購(gòu)成本和市場(chǎng)需求信息對(duì)企業(yè)決策的影響。探討當(dāng)前時(shí)點(diǎn)為t時(shí)，參數(shù)ci（采購(gòu)成本）和σi（市場(chǎng)需求信息）變化時(shí)對(duì)企業(yè)決策的影響。參數(shù)ci增大時(shí)，若i＞t時(shí)，Rt(-μt)值不變，F(xiàn)Rt(-μt)減小，Θ(-μt)值增大；若i=t時(shí)，類似可得 Θ(-μt)值會(huì)減小；若i＜t時(shí)，過(guò)去的ci對(duì) Θ(-μt)值無(wú)影響。由Θ(-μt)為單調(diào)遞增函數(shù)且Θ(St)=0，可得相應(yīng)的St和Sdt變化趨勢(shì)。參數(shù)σi增大時(shí)，若i≥t時(shí)，未來(lái)時(shí)點(diǎn)i+1的變化可理解為，時(shí)點(diǎn)i+1向前移動(dòng)（遠(yuǎn)離銷售季節(jié)開(kāi)始時(shí)間T），而保持其余時(shí)點(diǎn)不動(dòng)。此時(shí)Rt(-μt)值不變，F(xiàn)Rt(-μt)減小，Θ(-μt)值增大；當(dāng)i＜t時(shí)，由遞推式（1）知Rt(-μt)和FRt(-μt)同時(shí)減小，Θ(-μt)變化不能確定。匯總結(jié)果見(jiàn)表1。

表1 敏感性分析

表1體現(xiàn)了采購(gòu)成本和市場(chǎng)需求信息對(duì)企業(yè)決策的影響。當(dāng)參數(shù)ci增加時(shí)，若當(dāng)前時(shí)點(diǎn)為t＜i，則未來(lái)期望利潤(rùn)減小，企業(yè)更愿意在當(dāng)前時(shí)點(diǎn)訂貨，St和Sdt減小。若當(dāng)前時(shí)點(diǎn)為t=i，則當(dāng)前期望利潤(rùn)減小，企業(yè)更愿意在未來(lái)時(shí)點(diǎn)訂貨，St和Sdt增大。而在過(guò)去，采購(gòu)成本ci無(wú)影響，St和Sdt不變。當(dāng)參數(shù)σi增大時(shí)，當(dāng)市場(chǎng)需求信息的調(diào)整量εi發(fā)生在當(dāng)前時(shí)點(diǎn)t（t≤i）之后，則當(dāng)前期望利潤(rùn)不變，未來(lái)期望利潤(rùn)減小，企業(yè)更愿意在當(dāng)前時(shí)點(diǎn)訂貨，St和Sdt減小。若εi發(fā)生在當(dāng)前時(shí)點(diǎn)t（t＞i）之前，則當(dāng)前和未來(lái)期望利潤(rùn)同時(shí)減小，St和Sdt變化趨勢(shì)不能確定。

3 結(jié)束語(yǔ)

本文基于貝葉斯預(yù)測(cè)更新的報(bào)童模型，分析企業(yè)如何根據(jù)數(shù)據(jù)運(yùn)用貝葉斯方法進(jìn)行決策。企業(yè)可以在計(jì)劃時(shí)段內(nèi)任意時(shí)點(diǎn)訂貨。離銷售季節(jié)開(kāi)始越近，市場(chǎng)需求預(yù)測(cè)精確度越高，但采購(gòu)成本會(huì)增加。根據(jù)搜集的數(shù)據(jù)建立市場(chǎng)需求的預(yù)測(cè)過(guò)程，分析數(shù)據(jù)對(duì)預(yù)測(cè)市場(chǎng)需求的影響。當(dāng)市場(chǎng)需求預(yù)測(cè)的調(diào)整量為正態(tài)分布且存在訂貨成本時(shí)，建立了基于貝葉斯預(yù)測(cè)更新的報(bào)童模型。證明在當(dāng)前時(shí)點(diǎn)t存在且唯一的Sdt，其值與當(dāng)前或未來(lái)的市場(chǎng)需求預(yù)測(cè)值di，i=t，t+1，...，N無(wú)關(guān)。若當(dāng)前市場(chǎng)需求預(yù)測(cè)值高于Sdt時(shí)，企業(yè)最優(yōu)庫(kù)存策略為當(dāng)前時(shí)點(diǎn)訂貨；否則企業(yè)最優(yōu)庫(kù)存策略為繼續(xù)等待，收集更多市場(chǎng)需求信息在未來(lái)某個(gè)時(shí)點(diǎn)訂貨。分析了采購(gòu)成本和市場(chǎng)需求信息對(duì)企業(yè)決策的影響。未來(lái)進(jìn)一步可以研究更復(fù)雜供應(yīng)鏈環(huán)境中的預(yù)測(cè)更新問(wèn)題，如供應(yīng)商和零售商協(xié)調(diào)問(wèn)題。

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