葛 靜

(淮陰師范學(xué)院 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 江蘇 淮安 223300)

0 引言

考慮到蚊子和鳥(niǎo)都有空間擴(kuò)散的特點(diǎn),Lin等[1]研究了如下均質(zhì)環(huán)境下西尼羅河病毒的自由邊界問(wèn)題

(1)

早期傳染病研究通常假設(shè)環(huán)境是均質(zhì)的, 所研究的模型多數(shù)是僅與時(shí)間有關(guān)的常微分系統(tǒng)[2-3], 隨著研究的不斷深入人們漸漸意識(shí)到空間擴(kuò)散和環(huán)境異質(zhì)性對(duì)疾病傳播有重要的影響[4-6]. 相對(duì)于蚊子而言, 鳥(niǎo)類的擴(kuò)散受環(huán)境影響較為顯著,僅僅考慮恢復(fù)率γh以及死亡率dh和空間x相關(guān). 而且由于蚊子的活動(dòng)范圍相對(duì)鳥(niǎo)的活動(dòng)范圍要小得多,可以忽略不計(jì), 本文主要考慮如下西尼羅河病毒模型:

(2)

1 穩(wěn)態(tài)問(wèn)題解的存在唯一性

考慮問(wèn)題(2)相應(yīng)的穩(wěn)態(tài)問(wèn)題

(3)

接下來(lái),求其平衡解, 由式(3)第中的第1個(gè)方程得

再將上式代入式(3)的第2個(gè)方程得

于是將方程簡(jiǎn)化為

(4)

由變分法可得模型(2)的基本再生數(shù)

容易證明如下性質(zhì), 參見(jiàn)文[2,3,7].

引理1 1-R0與λ1具有相同的符號(hào),其中λ1為如下橢圓問(wèn)題的主特征值

這里ψ(x)>0,x∈Ω為λ1相應(yīng)的特征函數(shù).由上述R0的定義以及[4]中的引理可得如下結(jié)論.

2 結(jié)論

定理1 關(guān)于R0下列性質(zhì)成立.

(a)R0為正數(shù), 且關(guān)于Dh是單調(diào)遞減的;

下面將依據(jù)閾值R0討論問(wèn)題(2)的穩(wěn)態(tài)解的存在唯一性.

定理2 如下論斷成立.

從而

對(duì)上述不等式兩邊在x∈Ω上積分得

而不等式右邊

故

這與條件R0≤1矛盾, 故非負(fù)平衡點(diǎn)只有DFE.

下面證(ii), 當(dāng)R0>1, 由引理1可知1-R0<0, 則如下特征問(wèn)題

要保證εψ是問(wèn)題(4)的下解, 只需

即只要

亦即

因?yàn)椤住琇∞(Ω)=1, 故取

最后用乘乘減積技巧證明染病平衡點(diǎn)的唯一性.

(5)

(6)

式(5)～(6)得

(7)

且在Ω上對(duì)式(7)兩端分別積分有

[1] Lin Z G, Zhu H P. Spatial spreading model and dynamics of West Nile virus in birds and mosquitoes with free boundary[J].J Math Biol,2017,75(6-7):1381-1409.

[2] Jiang J F, Qiu Z P, Wu J H, et al. Threshold conditions for West Nile virus outbreaks[J].Bull Math Biol,2009,71(3),627-647.

[3] Fan G H, Liu J L, Driessche P vanden, et al. The impact of maturation delay of mosquitoes on the transmission of West Nile virus[J].Math Biosci,2010,228(2):119-126.

[4] Allen L J S, Bolker B M, Lou Y, et al. Asymptotic profiles of the steady states for an SIS epidemic reaction-diffusion model[J].Discrete Contin,Dyn Syst Ser A,2008,21(1):1-20.

[5] Ge J, Kim K I, Lin Z G, et al. A SIS reaction-diffusion-advection model in a low-risk and high-risk domain[J].J Differential Equations, 2015,259(10):5486-5509.

[6] 林支桂. 張丹，宋燕，等.一類具有常數(shù)輸入及飽和傳染率的傳染病模型[J].渤海大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2013，34(1)：8-15.

[7] 林支桂. 數(shù)學(xué)生態(tài)學(xué)導(dǎo)引[M].北京: 科學(xué)出版社, 2013.