（鄭州輕工業(yè)學院 機電工程學院，鄭州 450002）

壓電陶瓷驅(qū)動器（PZT）是利用其逆壓電效應從而實現(xiàn)位移的輸出的執(zhí)行器件。壓電陶瓷驅(qū)動器具有體積小、響應快、集成度高等特點，克服了傳統(tǒng)位移執(zhí)行器精度不足且機構(gòu)復雜等問題。在光學精密工程、微機械系統(tǒng)、MEMS技術等領域都有廣泛的應用[1]。

在高精密定位系統(tǒng)當中，應用較為廣泛的就是壓電陶瓷驅(qū)動器，通過陶瓷兩端施加高電壓，即可實現(xiàn)位移的輸出。但是由于壓電陶瓷本身的遲滯性和蠕變性，極大地限制了其在控制過程中的輸出精度。通過構(gòu)建一個閉環(huán)控制系統(tǒng)，實現(xiàn)對壓電陶瓷的實時控制，相比于傳統(tǒng)的PID控制系統(tǒng)，模糊控制（fuzzy）系統(tǒng)能夠在線整定控制參數(shù)，將PID控制與模糊控制結(jié)合形成模糊PID控制（fuzzy-PID）有更為優(yōu)秀的控制效果。進一步，模糊控制當中較為依賴模糊規(guī)則的制定且模糊控制過程能對PID參數(shù)進行改變，但是模糊控制器并沒有隨著控制過程發(fā)生變化，因此通過對論域的改變，也就是對伸縮因子的改變，從而形成了變論域模糊PID控制，最終應用于壓電陶瓷位移系統(tǒng)。

1 壓電陶瓷定位系統(tǒng)

本文涉及的壓電陶瓷微定位系統(tǒng)，由壓電陶瓷驅(qū)動電源、PZT、定位機構(gòu)、測微儀和數(shù)據(jù)采集卡（NI ELVIS II）構(gòu)成，如圖1所示。采用蘇州博實公司生產(chǎn)的HPV驅(qū)動電源，輸出電壓 （Ui）對PZT（SABS型）進行驅(qū)動，測微儀選取電容測微儀（LVDT型）對輸出位移（Xout）進行測量，最終將測量的數(shù)據(jù)匯入數(shù)據(jù)采集卡當中，通過電腦當中的LabVIEW軟件，對輸入和模擬輸出進行控制。

圖1 微位移系統(tǒng)硬件控制框圖Fig.1 Hardware block diagram of micro-displacement system

2 壓電陶瓷的數(shù)學模型

2.1 壓電陶瓷的原理

壓電陶瓷具有正、逆壓電效應，在施加電壓與作用力的情況下分別輸出位移和電壓。本文主要針對其逆壓電效應，在強電場的作用下，壓電陶瓷內(nèi)部的電介質(zhì)發(fā)生形變，從而產(chǎn)生了位移，其位移大小與電場的大小成正比，壓電系數(shù)與其內(nèi)部壓電陶瓷電荷密度等有關系。因此PZT由于工藝不同，其輸出曲線也不盡相同，經(jīng)過試驗可知，在施加電壓較小時，其輸出曲線呈現(xiàn)線性關系。隨著電壓增加，壓電陶瓷的伸縮效應增加，但同時由于壓電陶瓷的蠕變性和遲滯性，其輸出曲線呈非線性的特點。

2.2 壓電陶瓷電容模型

壓電陶瓷在施加電壓時，由于其內(nèi)部晶體的運動，有蠕變性和遲滯性等特點，因此傳統(tǒng)的數(shù)學模型分析較為繁瑣。壓電陶瓷兩端施加電壓的共振頻率較高，一般高于10 kHz，遠遠大于共振頻率，因此在實際應用當中，壓電陶瓷可以看做電容、電感和電阻的等效電路模型，如圖2所示[2]。

圖2 壓電陶瓷等效模型Fig.2 Eqivalent model of PZT

由ΣUi＝0，和ΣIi＝ΣIo可得：

此外

即

對式（5）拉普拉斯轉(zhuǎn)換后可得：

由壓電陶瓷本身特性考慮，在施加電場的情況下，壓電陶瓷的輸出位移與其內(nèi)部電荷之間的關系為[3]

即：

根據(jù)簡化后的模型，PZT將其作為一個慣性環(huán)節(jié)的表現(xiàn)，因此可以得到壓電陶瓷自身特性與位移與電壓的關系為

式中：dc為PZT位移轉(zhuǎn)換系數(shù)；τ為工作時慣性環(huán)節(jié)的時間常數(shù)；k為壓電陶瓷疊片的彈性模量。

因此可以得到壓電陶瓷在被施加電壓時的數(shù)學模型為[4]

3 變論域模糊控制器的設計

3.1 模糊PID控制器

PID控制器是工業(yè)工程中應用最為廣泛的控制器，其通過在控制過程中的比例、積分、微分組成控制量，從而對被控對象進行實時控制[5]。

模糊PID控制是將PID控制與模糊控制相結(jié)合，通過對控制過程中的誤差e以及誤差變化率ec的變化的分析，經(jīng)過模糊控制器規(guī)則庫的推理，最終控制比例、積分、微分3個控制參數(shù)的大小，從而實現(xiàn)對目標的實時控制，模糊推理規(guī)則庫的精確程度直接關系推理精度，規(guī)則庫越復雜精確，則輸出變量越精確。

式中：kp0，ki0，kd0是 PID 控制器初始控制變量；Δkp0，Δki0，Δkd0是經(jīng)過模糊推理后的輸出變量。其控制器結(jié)構(gòu)如圖3所示。

圖3 模糊控制器模型Fig.3 Fuzzy controller model

控制器采用雙輸入（e，ec）、三輸出（Δkp0，Δki0，Δkd0）的結(jié)構(gòu)形式，為了計算簡便，將輸入和輸出變量的模糊控制論域同時設定為｛-E，E｝，其推理的模糊子集設定為［NB，NM，NS，ZO，PS，PM，PB］，并給出量化等級。利用Matlab中的模糊推理工具箱，對模糊規(guī)則和模糊語言進行設定，本文只給出Δkp0的模糊控制規(guī)則，如表1所示。

表1 kp0的模糊控制規(guī)則Tab.1 Fuzzy control rule of kp0

模糊推理中有Mamdani法、Larsen法、Zadeh法等，本文采用常見的Mamdani法進行推理，解模糊則采用加權(quán)平均解模糊方法，如下：

根據(jù)系統(tǒng)的實際運行的動態(tài)范圍，e=［emin，emax］，ec=［ecmin，ecmax］，Δkm=［Δkmmin，Δkmmax］。因此論域的變換公式為[6]

式中：Ke、Kec、LK（m）為確定量化因子和比例因子。

3.2 變論域模糊控制器

模糊PID控制器比一般的PID控制器在控制效果上有更優(yōu)秀的表現(xiàn)，但是相比于其他智能控制方法，模糊控制器在控制前期一旦確定控制策略則無法更改，這樣就限制了其自適應控制的能力。李洪興教授最早在1997年提出了模糊控制器的智能“升級”，也就是將控制過程中，控制變量的論域隨著誤差的變化而變化。這樣是為了避免當誤差在較大范圍內(nèi)變化時，論域也會增大，隨之會帶來相對控制規(guī)則的減小、控制精度的降低。而變論域的策略能在控制過程當中實現(xiàn)論域的智能增大或者縮小[7]。

模糊控制的本質(zhì)就是插值器，而變論域的工作方式就是變相地對插值進行加密，變相地增大控制的規(guī)則。其控制原理如圖4所示。

圖4 變論域工作原理Fig.4 Working principle of variable-universe

若模糊控制器的輸入的論域為［-E，E］，輸出的論域為［-U，U］，通過論域伸縮因子α（x）、 β（y），z 則論域變化為［-α（x）E，α（x）E］、［-β（y）U， β（y）U］。

因此伸縮因子α、β分別為[8]

式中：λ∈（0，1）；k＞0；0＜τ＜1；K 為比例常數(shù)； β（0）取0。

在變論域模糊控制器中，根據(jù)誤差e以及誤差變化率ec的變化，作用于輸入與輸出量的伸縮因子（α（x）、β（y）），通過伸縮因子的改變，最終作用于模糊控制器的比例因子 （LK（m），m=1，2，3）和量化因子（Ke、Kec）。 控制過程中，由式（16）可知，比例因子增大，則輸出論域增大；量化因子增大，則輸入論域減小，反之亦然。因此變論域模糊控制器的實質(zhì)就是改變控制器的比例因子與量化因子從而得到論域改變的效果，提高控制精度。其控制框圖如圖5所示。

3.3 系統(tǒng)仿真機及結(jié)果

用Matlab中Simulink環(huán)境下分別對壓電陶瓷微位移系統(tǒng)、變論域自適應模塊、模糊PID控制器和傳統(tǒng)PID控制器進行建模。由于Matlab不提供變論域模糊控制箱，因此一般使用S函數(shù)或者使用Simulink獨立對模糊控制模塊進行建模。本文使用Simulink對變論域模塊直接進行建模，如圖6所示。將變論域模糊控制模塊與模糊PID控制器（圖7）結(jié)合，最終形成了自適應模糊PID控制系統(tǒng)。為了避免在建模過程中各部分排布混亂，因此將3種控制器分別整合為子系統(tǒng)，并布局在同一輸出下，如圖8所示，從上至下分別為變論域模糊控制系統(tǒng)、模糊PID控制系統(tǒng)和PID控制系統(tǒng)。

圖5 變論域控制器工作原理Fig.5 Principle of variable-universe controller

圖6 變論域控制模塊Fig.6 Model of variable-universe controller

圖7 模糊PID控制模塊Fig.7 Module of fuzzy-pid controller

圖8 三種控制方法Fig.8 Three kinds of control method

3.4 系統(tǒng)仿真

利用Matlab進行仿真，設定輸入階躍響應為1，仿真時間為10，選用定步長方式，算法選取ode3（bogacki-shampine）。對圖8所示的仿真模型進行仿真，仿真結(jié)果如圖9所示。仿真結(jié)果顯示，3種控制方法達到穩(wěn)態(tài)的時間分別為1.9 s、3.2 s和3.7 s，可以看出隨著時間的增加，變論域控制效果越來越明顯，其曲線的上升速度明顯變快，能夠快速地達到穩(wěn)定狀態(tài)。

圖9 三種控制的方法的階躍響應曲線Fig.9 Step response curves of three control method

在系統(tǒng)為t=6時，加入振幅為0.4、周期為10的干擾信號，設定其占空比為1%，可以看出變論域模糊控制器對干擾的穩(wěn)定效果比模糊PID與PID控制更優(yōu)秀，在擾動發(fā)生開始到恢復穩(wěn)定狀態(tài)時間要比其它2種方法短，具有較好的魯棒性。

4 結(jié)語

變論域模糊PID控制方法將模糊控制器與PID控制器相結(jié)合，不僅僅能夠在線整定比例、積分、微分3個控制參數(shù)，而且還能對模糊控制器的論域進行調(diào)節(jié)，變相地擴大了控制規(guī)則，提高了控制精度。一般在模糊控制器能夠使用的情況，變論域控制系統(tǒng)都能適用，經(jīng)過仿真結(jié)果可以看出，該方法能夠表現(xiàn)出更為優(yōu)良的控制效果，特別是在對于壓電陶瓷這種具有大遲滯性等特點的非線性模型。在面對干擾的情況下，變論域模糊PID控制器也有不錯的表現(xiàn)，抗干擾能力強，具有良好的工程應用前景。

圖10 干擾控制曲線Fig.10 Interfence control curve

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