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(解放軍電子工程學(xué)院，安徽 合肥 230037)

0 引言

多輸入多輸出(Multiple-input Multiple-output，MIMO)雷達(dá)是一種新體制雷達(dá)。作為雷達(dá)研究領(lǐng)域的一個熱點(diǎn)，MIMO雷達(dá)以其多輸入多輸出的特點(diǎn)，在信號形式及系統(tǒng)構(gòu)成的靈活性、易擴(kuò)展性等方面有著自身的優(yōu)勢。MIMO雷達(dá)的概念一經(jīng)提出，便引起了國內(nèi)外學(xué)者的興趣并對其展開了大量的研究[1-9]。文獻(xiàn)[7]最早將互信息(Mutual Information，MI)作為波形優(yōu)化準(zhǔn)則，引入到雷達(dá)的波形設(shè)計(jì)中。此后，基于信息論方法的波形設(shè)計(jì)受到廣泛關(guān)注。文獻(xiàn)[8]從信息論的角度，基于MI與最小均方誤差(Minimum Mean Square Error，MMSE) 準(zhǔn)則對MIMO雷達(dá)正交波形進(jìn)行了研究。文獻(xiàn)[9]研究了有色噪聲背景下MIMO雷達(dá)的最大互信息波形設(shè)計(jì)方法。

目標(biāo)估計(jì)是雷達(dá)的重要任務(wù)之一，目前面向目標(biāo)估計(jì)的自適應(yīng)波形優(yōu)化研究主要是MMSE和MI準(zhǔn)則下的任意波形設(shè)計(jì)理論，但如果考慮實(shí)際雷達(dá)系統(tǒng)的應(yīng)用需求，特別是低信噪比(Signal to Noise Ratio，SNR) 場景下，僅僅針對目標(biāo)估計(jì)性能的波形設(shè)計(jì)不一定能滿足系統(tǒng)對目標(biāo)檢測性能的要求。然而，目標(biāo)檢測性能是雷達(dá)系統(tǒng)進(jìn)行其他探測任務(wù)的重要前提；因此，在針對目標(biāo)估計(jì)的波形優(yōu)化問題中需將目標(biāo)檢測性能作為重要約束條件加以考慮，使雷達(dá)在提高目標(biāo)估計(jì)性能的同時能夠兼顧檢測性能，滿足實(shí)際系統(tǒng)的需求。文獻(xiàn)[10]以檢測性能為約束條件，提出基于凸優(yōu)化和隨機(jī)化方法相結(jié)合的面向目標(biāo)估計(jì)的波形優(yōu)化方法；文獻(xiàn)[11]以目標(biāo)檢測性能和能量作為約束條件，通過混合罰函數(shù)的方法對模型進(jìn)行求解。然而，以上兩種方法都是在白噪聲的背景下研究單輸入單輸出(Single-input Single-output，SISO)雷達(dá)的波形設(shè)計(jì)問題，沒有考慮色噪聲對問題求解的影響，且都是從頻域的角度進(jìn)行分析，將所求優(yōu)化波形從頻域變換到時域時，會帶來性能的下降。本文根據(jù)上述問題，提出了多約束條件下MIMO雷達(dá)自適應(yīng)波形設(shè)計(jì)方法。

1 MIMO雷達(dá)信號模型

假設(shè)MIMO雷達(dá)的發(fā)射陣元和接收陣元個數(shù)分別為P和Q，其系統(tǒng)模型如圖1所示。不失一般性，認(rèn)為此模型為基帶離散時間模型。對于一個距離擴(kuò)展目標(biāo)，用一個v階的有限沖激響應(yīng)(Finite Impulse Response，F(xiàn)IR)系統(tǒng)描述從第p個發(fā)射陣元到第q個接收陣元之間的信號傳輸，則第q個接收陣元的接收波形可以表示為：

(1)

式中，xp(·)表示第p個發(fā)射陣元的發(fā)射信號，g(p,q)(·)表示第p個發(fā)射陣元到第q個接收陣元之間系統(tǒng)的沖激響應(yīng)，nq(·)表示第q個接收陣元的加性噪聲。

假設(shè)L為發(fā)射信號長度，且L>v，則式(1)可表示為以下矩陣-向量形式：

(2)

式(2)中，gp,q=[gp,q(0)…g(p,q)(v)]T，yq=[yq(k)…yq(k+L-1)]T，nq=[nq(k)…nq(k+L-1)]T，[·]T代表轉(zhuǎn)置。另外，Xp為一個包含第p個發(fā)射陣元波形信息的L×M(M=v+1)Toeplitz矩陣，其矩陣結(jié)構(gòu)為：

(3)

(4)

(5)

(6)

綜上可知，接收回波信號與目標(biāo)的MI可表示為[7]：

(7)

式中，h(·)表示信息熵?？紤]矩陣求逆引理：

det(Ir+AB)=det(It+BA)

(8)

式中，矩陣A∈r×t，B∈t×r；I和It分別表示維數(shù)為

r和t的單位陣，可得回波與目標(biāo)間的MI表示為：

(9)

式中，IQL表示維數(shù)為Q×L的單位陣。

(10)

式中，P0表示發(fā)射信號功率。

2 波形設(shè)計(jì)方法

由于雷達(dá)在實(shí)際工作場景中往往要同時進(jìn)行目標(biāo)檢測、估計(jì)、識別和跟蹤等多項(xiàng)任務(wù)，而不僅僅局限于一種任務(wù)，因此要求所設(shè)計(jì)的波形能夠使雷達(dá)在某一方面獲得較優(yōu)性能的同時，也能夠滿足其他任務(wù)的基本要求。由于在式(10)中并沒有SNR約束，因此當(dāng)環(huán)境中存在較強(qiáng)干擾、噪聲等影響致使SNR較低時，無法保證設(shè)計(jì)的波形能夠滿足目標(biāo)檢測的要求。因此，在進(jìn)行波形優(yōu)化時還需要考慮SNR的約束。

根據(jù)式(5)，雷達(dá)接收端的SNR為：

(11)

綜上考慮目標(biāo)函數(shù)以及各種約束條件，該優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)表達(dá)形式可表述為：

(12)

式中，r表示滿足檢測性能要求的最低SNR。

2.1 白噪聲假設(shè)下的波形設(shè)計(jì)

(13)

(14)

式中，Z=χU。由于U為酉陣，可以得到tr(χHχ)=tr(ZHZ)。假設(shè)所分析的MIMO雷達(dá)的波形具有正交性，可以得到χHχ為對角陣。同時可知，ZHZ也為對角陣且對角元素非負(fù)。令Q=ZHZ，Qii≥0，?i∈[1,PQM]，此時將Q作為求解變量，式(13)的優(yōu)化問題可表示為：

(15)

式中，由于Q為半正定矩陣，式(15)也就變成了一個半正定規(guī)劃(Semi Definite Program, SDP)問題，該問題有成熟的求解方法，實(shí)際使用中有相應(yīng)的工具箱。設(shè)Qopt為式(15)的最優(yōu)解，則矩陣Z可以表示為[8]:

(16)

其中，Ψ≈LQ×PQM，且列向量之間相互正交，滿足ΨHΨ=IPQM。由此，可以得到白噪聲假設(shè)下所設(shè)計(jì)的優(yōu)化波形為：

(17)

2.2 色噪聲假設(shè)下的波形設(shè)計(jì)

由式(8)和式(9)可知，目標(biāo)函數(shù)可以表示為：

(18)

(19)

log[det(BBH+ILQ)]

(20)

根據(jù)Hadamard不等式[12]，有：

(21)

(22)

因此發(fā)射波形矩陣需滿足：

(23)

式中，Λχ=diag(Λχ,1…Λχ，PQM)；0(QL-PQM)×PQM表示維數(shù)為(QL-PQM)×PQM的全零矩陣。綜述所述，當(dāng)波形矩陣滿足式(23)所示結(jié)構(gòu)時，式(18)所示目標(biāo)函數(shù)取得最大值。此時考慮兩個約束條件的限制，將式(23)代入式(20)和式(12)，則優(yōu)化問題變?yōu)椋?/p>

(24)

其中第1個約束條件為能量約束，第2個約束條件為SNR約束。式(24)是一個SDP問題，可以使用CVX工具箱進(jìn)行有效求解。設(shè)Λχopt為式(24)的最優(yōu)解，則接收回波信號與目標(biāo)的MI最大為：

(25)

此時，可以得到色噪聲下所設(shè)計(jì)的優(yōu)化波形為：

(26)

3 仿真與分析

本節(jié)主要對算法的有效性進(jìn)行驗(yàn)證，主要在MIMO雷達(dá)信號模型下，對多約束條件的波形優(yōu)化問題進(jìn)行仿真分析，仿真實(shí)驗(yàn)如下。

3.1 白噪聲背景下的波形設(shè)計(jì)

接著，考慮SNR約束對估計(jì)性能的影響，假定滿足檢測性能要求的最低SNRr為5 dB,固定接收信號的觀測長度L=80，功率P0在10～100之間變化，則在有無SNR約束條件下優(yōu)化波形以及線性調(diào)頻(linear frequency modulation，LFM)信號的MI隨P0的變化情況如圖4所示，圖4(b)是圖4(a)的放大。從圖4可以看出，在發(fā)射功率較低時，SNR約束條件下優(yōu)化波形的MI明顯低于無SNR約束下的優(yōu)化波形和LFM信號的MI值，這是由于SNR約束對功率分配產(chǎn)生了影響，保證發(fā)射波形能夠達(dá)到限定的檢測門限，因而使得MI無法達(dá)到最優(yōu)值；當(dāng)發(fā)射功率增大后，SNR約束下的優(yōu)化波形的MI值很快超過了LFM信號的MI值；當(dāng)P0>14時，此時優(yōu)化波形在獲得最大MI值的同時也能夠滿足檢測性能的最低要求，SNR約束將不再起作用，即有SNR約束下的MI值與無SNR約束下的MI值相等。

然后，進(jìn)一步分析在有無SNR約束下所得到的優(yōu)化波形對應(yīng)的檢測性能，假設(shè)仿真條件不變，有無SNR約束所得波形以及LFM信號對應(yīng)的SNR隨P0的變化情況如圖5所示。從圖中可以看出，在沒有SNR約束下所得波形對應(yīng)的SNR值在P0較低時低于所設(shè)定的門限值，檢測性能較差；在有SNR約束下所得波形對應(yīng)的SNR值在P0較低時也盡可能達(dá)到了門限要求，保證了一定的檢測性能。隨著P0的增大，SNR約束成為了冗余項(xiàng)，不再起作用；而LFM信號的SNR明顯低于優(yōu)化波形的SNR。

最后，分析發(fā)射信號到達(dá)各目標(biāo)散射點(diǎn)處的能量分布情況，假設(shè)發(fā)射總能量在18～55 dB之間變化，其他仿真條件不變 。為方便分析，選取第18,90,120散射點(diǎn)處的能量值以及LFM信號在各散射點(diǎn)處的能量值進(jìn)行對比分析，如圖6、圖7所示。

從圖中可以看出當(dāng)發(fā)射總能量較少時，能量集中在少數(shù)散射點(diǎn)處，大多數(shù)散射點(diǎn)處能量極少甚至沒有能量；隨著發(fā)射總能量的增大，各散射點(diǎn)處的能量值也呈增大的趨勢，并趨近相同。因此，總發(fā)射能量足夠大時，本文優(yōu)化波形在各散射點(diǎn)處的能量分布情況與LFM信號相比將沒有區(qū)別。同時，對比圖6和圖7可以發(fā)現(xiàn)，圖7中第18散射點(diǎn)處的能量值先減小后逐漸增大，這主要是由于在SNR約束下，當(dāng)發(fā)射總能量較小時，發(fā)射波形將大部分能量集中在少數(shù)散射點(diǎn)(如第18散射點(diǎn)處)處，犧牲MI以提高SNR值，達(dá)到檢測門限要求；隨著發(fā)射總能量的增大發(fā)射波形將能量逐漸擴(kuò)散到各散射點(diǎn)處以提高M(jìn)I，之前能量較大的散射點(diǎn)處的能量會有所下降；當(dāng)發(fā)射總能量增大到一定程度后，使得發(fā)射波形可以在獲得最大MI的同時滿足SNR的要求，SNR約束成為冗余條件，此時隨著發(fā)射能量的增大各散射點(diǎn)處的能量值逐漸增大并趨近相同。

3.2 色噪聲背景下的波形設(shè)計(jì)

現(xiàn)假設(shè)噪聲為色噪聲，其功率譜密度如圖8所示，固定發(fā)射功率P0=20，其他仿真條件與3.1相同。圖9顯示了SNR約束下的優(yōu)化波形與LFM信號、目標(biāo)、噪聲功率譜密度采樣。

觀察圖9可知，當(dāng)目標(biāo)PSD高于噪聲PSD時，優(yōu)化波形的功率較高。反之，優(yōu)化波形的功率較低。這表明在色噪聲情況下，基于MI準(zhǔn)則的波形優(yōu)化能夠根據(jù)目標(biāo)和噪聲PSD的相對大小自適應(yīng)地調(diào)整波形的發(fā)射功率，即在目標(biāo)特征較明顯時分配較多功率，反之分配較少功率。同時，可以看出LFM信號功率不隨目標(biāo)和噪聲PSD的大小而發(fā)生改變。

4 結(jié)論

本文提出了多約束條件下MIMO雷達(dá)自適應(yīng)波形設(shè)計(jì)方法。該方法在優(yōu)化設(shè)計(jì)的過程中，考慮到噪聲協(xié)方差矩陣對模型求解的影響，將優(yōu)化模型分為白噪聲和色噪聲兩種情況進(jìn)行分析。首先將衡量目標(biāo)檢測性能的SNR作為重要的約束條件來保證雷達(dá)系統(tǒng)的檢測性能；同時，考慮發(fā)射信號能量有限的約束條件，采用最大化回波信號和目標(biāo)間的MI作為優(yōu)化準(zhǔn)則；通過建模，將該非凸的問題轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)凸問題進(jìn)行求解。仿真結(jié)果表明，本文所提的優(yōu)化波形在滿足系統(tǒng)檢測性能的同時，能最大化目標(biāo)的估計(jì)性能。此外，對于環(huán)境背景中存在相關(guān)雜波情況下的波形優(yōu)化設(shè)計(jì)問題仍需要進(jìn)一步研究。

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