本文主要探討使用基爾霍夫定律設(shè)計程序計算任意形狀的石墨烯加上電源后的電流分布，經(jīng)過驗證后發(fā)現(xiàn)，用經(jīng)典方法模擬石墨烯電流分布規(guī)律與用量子物理計算方法得出的電流的整體分布規(guī)律基本一致，為設(shè)計符合要求的石墨烯帶提供重要的參考意義。

近些年來，碳基納米材料備受科學(xué)界關(guān)注，包括零維的富勒烯，一維的碳納米管，二維的石墨烯以及三維的石墨。2010年，諾貝爾獎授予了英國曼徹斯特大學(xué)的科學(xué)家安德烈·海姆和康斯坦丁·諾沃肖洛夫教授，因為其首次通過機械剝離獲得了可以穩(wěn)定存在的石墨烯。石墨烯是碳原子的單原子層，它的基本結(jié)構(gòu)單元是有機物中十分穩(wěn)定的苯六元環(huán)，其電學(xué)性質(zhì)、力學(xué)性質(zhì)及導(dǎo)熱性能等都是已知的材料中最好的，在新能源、新材料、電子元器件、信息技術(shù)、醫(yī)藥及航空航天等多個科技領(lǐng)域獲都有潛在的應(yīng)用價值，是現(xiàn)在最理想的二維納米材料之一。

研究背景

石墨烯有著優(yōu)秀的電學(xué)特性：它是一個零帶隙的半導(dǎo)體，這種特殊的能帶結(jié)構(gòu)使它有著與其他材料不同的傳輸性能，其載流子遷移率可達200 000cm2/V·s。因此其室溫電阻率最低，在電器元件制作方面應(yīng)用前景巨大。但是在制作元器件時經(jīng)常需要印制特殊形狀的石墨烯帶，為了使電流電壓分布更合理，滿足需求，需要在印制前就計算好、設(shè)計好石墨烯帶。本文主要探討使用基爾霍夫定律設(shè)計程序計算任意形狀的石墨烯加上電源后的電流分布，為設(shè)計石墨烯帶提供參考。

研究內(nèi)容

石墨烯結(jié)構(gòu)如圖1所示，電子在石墨烯中定向移動時，正常狀態(tài)下會有阻力的存在，阻力主要來自于碳碳鍵，因此可以把石墨烯看作電路，把原子和碳碳鍵等效為定值電阻，并使用基爾霍夫電流定律和基爾霍夫電壓定律對其進行模擬。

基爾霍夫電流定律（KCL）：在任一瞬間，流向任一節(jié)點的的電流等于流出該節(jié)點的電流。

基爾霍夫電壓定律（KVL）：在任一瞬間，對任一閉合回路，沿回路繞行方向上各段電壓代數(shù)和等于零。

如圖2、圖3所示，以兩個環(huán)和五個環(huán)的石墨烯結(jié)構(gòu)為例進行驗證，將左邊兩點P21、P41的電勢設(shè)為3V，右邊兩點P22、P42的電勢設(shè)為0V，每個鍵的電阻值R設(shè)為1Ω，列出KVL和KCL的方程組，并根據(jù)歐姆定律列出邊界條件方程組，得出的結(jié)果驗證了對稱性。

研究方法

設(shè)計程序主要思路如下。

計算方法

將碳碳鍵的電流設(shè)為未知數(shù)，根據(jù)KVL、KCL和邊界條件列方程。

KVL方程：為了方便計算，把電壓和為零的方程變成電流和為零的方程，當電流從序號小的點流向序號大的點時，我們定義電流值為正，若相反，則電流值為負，每一個正六邊形都對應(yīng)一個KVL方程，所以方程為：

0=（In+Im+……）R （1）

KCL方程：每一個電路中的碳原子設(shè)為一個節(jié)點，以c為節(jié)點，def為與c相鄰的三個節(jié)點，若節(jié)點數(shù)小于三則電流自動為零；流入c的電流設(shè)為負，流出c的電流設(shè)為正，每一個碳原子都對應(yīng)一個KCL方程，所以方程為：

0=Ic-e+Ic-d+Ic-f （2）

邊界條件方程：任取一個接入電壓的點與其他接入電壓的點分別連最短路線，并將這一連線帶入歐姆定律，即有g(shù)個接上電壓的碳原子，就有g(shù)-1個方程組，所以方程為：

Uij=（Ii-h+……+Il-j）R （3）

特殊情況說明：當出現(xiàn)石墨烯帶中空時，方程組無法求解。如圖4所示，當石墨烯碳帶中間少一個碳原子（49號）時，也就是少了3個未知數(shù)（電流I48-49，I49-60，I49-38），與

此同時少了3個KVL方程（3個正六邊形的KVL方程）和一個KCL方程（49號碳原子的KCL方程）。這就導(dǎo)致方程組的數(shù)量比未知數(shù)少一個，無法求解。此時需要手動添加一個以原來3個KVL方程的六邊形組合形成的空洞KVL方程（點26，27，37，38，39，48，50，59，60，61，70，71圍成的環(huán)的KVL方程），這樣才能繼續(xù)求解。

使用設(shè)置

點擊選點，將選擇的六邊形涂色，并將六個點的序號輸出，相鄰六邊形的公用點只添加一次，當所需石墨烯的點構(gòu)不成六邊形時，可以手動輸入點。

自動設(shè)置接入電壓的碳原子，高電壓點涂藍色，低電壓點涂綠色，不接電壓的碳原子點涂紅色。

接入電壓的碳原子序號同樣可以手動輸入，并且每個碳原子都可以給定不同電勢。

自動輸出所有鍵的電流大小，再通過電流計算各碳原子的電勢大小。

程序編制

程序的設(shè)計思路

畫圖選點，繪制石墨烯坐標圖（石墨烯帶的長寬，即正六邊形個數(shù)可通過調(diào)節(jié)x、y值調(diào)節(jié)）；

給每個點和正六邊形編號；

設(shè)置程序，點擊正六邊形時，正六邊形自動上色，并將其6個頂點選中；

當關(guān)閉窗口時輸出已選點序號；

計算：

輸入第一部分輸出的碳原子序號，將其安置在已編號的石墨烯坐標圖上，通過計算距離，自動判斷是否連接；

自動將最左端設(shè)為高電勢端并涂為藍色，右端電勢設(shè)為0并涂為綠色；

每一個正六邊形列出一個KVL公式，每個點列出一個KCL公式，任選一電勢點與其他電勢點分別連接，列出n-1個邊界條件方程；

流分布自動解出各個鍵上的電流和各個節(jié)點的電壓。

結(jié)果分析

用程序計算只含兩個六元環(huán)的石墨烯電流分流規(guī)律，石墨烯結(jié)構(gòu)如圖5所示。

結(jié)論與展望

通用性

代碼可以識別.xyz格式的文件，將點自動畫好，并通過計算距離自動連接相鄰碳原子。同時還可以找到不構(gòu)成回路-即電流為零的點，并自動刪除，有利于與量子計算結(jié)果接軌。

可視化

在輸出數(shù)值的同時可以生成電流分布的效果圖，箭頭方向為電流方向，箭頭粗細為電流的相對大小。

研究結(jié)論

請中科院物理所的呂文剛老師使用量子物理的計算方法進行計算，使用的計算公式如下：

經(jīng)對比可發(fā)現(xiàn)，兩者電流分布規(guī)律幾乎一樣。對比數(shù)據(jù)后，發(fā)現(xiàn)誤差在可接受范圍之內(nèi)，電流的整體分布規(guī)律基本一致，所以可以用經(jīng)典方法模擬石墨烯電流分流規(guī)律。

參考文獻

[1]陳永勝，黃毅.石墨烯：新型二維碳納米材料[M].北京：科學(xué)出版社，2015.

[2]王利光，李勇，郁鼎文，等.四端納米分子橋的量子傳輸特征[J].物理學(xué)報，2005，54（1）：233-236.

（作者簡介：丁啟維，北京市第二十中學(xué)。）endprint