馬清亮， 楊海燕， 吳旭光

(1.火箭軍工程大學(xué)控制工程系，西安 710025； 2.西北工業(yè)大學(xué)航海學(xué)院，西安 710072)

多項式模糊系統(tǒng)混合H2/H∞控制

馬清亮1， 楊海燕2， 吳旭光2

(1.火箭軍工程大學(xué)控制工程系，西安 710025； 2.西北工業(yè)大學(xué)航海學(xué)院，西安 710072)

對于多項式模糊系統(tǒng)，提出一種具有公共Lyapunov矩陣的混合H2/H∞性能準(zhǔn)則?；诙囗検絃yapunov函數(shù)與平方和分解技術(shù)，推導(dǎo)出多項式模糊系統(tǒng)混合H2/H∞狀態(tài)反饋控制器的存在條件。通過求解一個具有多項式平方和約束的參數(shù)極小化問題，給出了混合H2/H∞模糊控制器優(yōu)化設(shè)計方法。

多項式模糊系統(tǒng)； 混合H2/H∞控制； 多項式Lyapunov函數(shù)； 平方和優(yōu)化

0 引言

多項式模糊模型是在T-S模糊模型基礎(chǔ)上提出的一種用于描述非線性系統(tǒng)的新型模糊模型[1]。傳統(tǒng)T-S模糊模型的后件采用線性方程描述，采用T-S模糊模型，能夠逼近任意光滑的非線性系統(tǒng)。作為T-S模糊模型的推廣，多項式模糊模型在整體結(jié)構(gòu)上與T-S模糊模型類似。由于采用了多項式非線性方程作為模糊模型的后件，因此，運用多項式模糊模型能夠更有效地描述復(fù)雜非線性系統(tǒng)。對于T-S模糊系統(tǒng)，通常采用二次Lyapunov函數(shù)和線性矩陣不等式(LMI)技術(shù)設(shè)計模糊控制器；而對于多項式模糊系統(tǒng)，則采用多項式Lyapunov函數(shù)與多項式平方和(SOS)優(yōu)化技術(shù)設(shè)計模糊控制器，因而能夠降低模糊控制器設(shè)計的保守性[2]。目前，已有學(xué)者針對多項式模糊系統(tǒng)的鎮(zhèn)定控制、魯棒

混合H2/H∞控制是具有H∞性能約束的H2優(yōu)化控制問題。在控制器設(shè)計過程中，混合H2/H∞控制同時考慮系統(tǒng)的H2性能和H∞性能，因而能夠使閉環(huán)系統(tǒng)一方面具有較強的魯棒性，另一方面又獲得優(yōu)良的調(diào)節(jié)性能。對于多項式模糊系統(tǒng)的混合H2/H∞控制問題，目前相關(guān)研究成果尚不多見。

本文在文獻(xiàn)[7]的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步研究多項式模糊系統(tǒng)的混合H2/H∞狀態(tài)反饋控制器設(shè)計問題。首先提出一種具有公共Lyapunov矩陣的多項式模糊系統(tǒng)混合H2/H∞性能準(zhǔn)則；進(jìn)而，基于多項式Lyapunov函數(shù)與平方和優(yōu)化技術(shù)，給出了混合H2/H∞狀態(tài)反饋模糊控制器的存在條件和優(yōu)化設(shè)計方法。

1 問題描述

考慮如下非線性系統(tǒng)

(1)

式中：x(t)∈Rn為狀態(tài)向量；f和g是光滑非線性函數(shù)；u(t)∈Rm是控制輸入；w(t)∈Rp是能量有界的外部干擾；z∞(t)∈Rq是控制輸出。

構(gòu)建描述式(1)非線性系統(tǒng)的多項式模糊模型，第i條模糊規(guī)則如下[1]所述。

Ifz1(t) isMi1and … andzp(t) isMip,then

(2)

對式(2)的多項式模糊模型進(jìn)行反模糊化處理，可得到全局多項式模糊系統(tǒng)

(3)

根據(jù)平行分布補償原理，對于式(3)的多項式模糊系統(tǒng)，可設(shè)計如下形式的狀態(tài)反饋模糊控制器，即

。

(4)

結(jié)合式(3)和式(4)，可得相應(yīng)的閉環(huán)多項式模糊系統(tǒng)為

(5)

。

(6)

對于式(3)的多項式模糊系統(tǒng)，本文研究目標(biāo)是確定模糊控制器式(4)中增益矩陣Ki(x)(i=1,…,r)，使得式(5)的閉環(huán)模糊系統(tǒng)是穩(wěn)定的，同時滿足如下性能指標(biāo)。

2)H2性能：由式(6)定義的系統(tǒng)H2性能指標(biāo)達(dá)到最小。

2 多項式模糊系統(tǒng)混合H2/H∞性能分析

本章在分析多項式模糊系統(tǒng)H2性能和H∞性能的基礎(chǔ)上，提出一種基于公共Lyapunov矩陣的多項式模糊系統(tǒng)混合H2/H∞性能準(zhǔn)則。

2.1 多項式平方和分解

定義1對于多元多項式f(x)，其中x∈Rn，若存在一組多項式g1(x),g2(x),…,gm(x)，使得

(7)

則稱f(x)為平方和(SOS)多項式[7]。

記ΣSOS表示所有平方和多項式的集合。若f(x)∈ΣSOS，則有f(x)≥0成立。

引理1[8]設(shè)f(x)是一個階次為2d的多元多項式，其中,x∈Rn；Z(x)是一個由x的單項式(階次不高于d)構(gòu)成的列向量，則f(x)是SOS多項式的充要條件是存在一個半正定矩陣Q，滿足

f(x)=ZT(x)QZ(x)

。

(8)

引理2設(shè)F(x)是一個次數(shù)為2d的N×N維對稱多項式矩陣，其中：x∈Rn，Z(x)是一個由x的單項式(次數(shù)不高于d)構(gòu)成的列向量，考慮如下3個條件[7,9]：1)F(x)≥0對于?x∈Rn均成立；2)vTF(x)v是SOS多項式，其中，實向量v∈RN與x不相關(guān)；3) 存在一個半正定矩陣Q，滿足vTF(x)v=(v?Z(x))T·Q(v?Z(x))，其中，“v?Z(x)”表示向量v與Z(x)的Kronecker積。則有：1)?2)；2)?3)。

2.2 多項式模糊系統(tǒng)的H2性能準(zhǔn)則

(9)

(10)

(11)

(12)

證明：考慮如下形式的候選多項式Lyapunov函數(shù)

(13)

沿式(5)的無外擾閉環(huán)模糊系統(tǒng)狀態(tài)軌線，對V(x)求導(dǎo)，可得

(14)

根據(jù)引理2，若條件式(10)和式(11)成立，則有

(15)

。

(16)

對式(16)兩邊分別從0到∞進(jìn)行積分，并考慮當(dāng)t→∞時，V(x(t))→ 0，可得

。

(17)

2.3 多項式模糊系統(tǒng)的H∞性能準(zhǔn)則

下述定理給出了多項式模糊系統(tǒng)H∞性能判別方法。

(18)

(19)

(20)

式中：Mij(x)=

證明：采用與本文中的定理1以及文獻(xiàn)[10]中的定理6類似的推導(dǎo)思路，可證得該定理。限于篇幅，略。

2.4 多項式模糊系統(tǒng)的混合H2/H∞性能準(zhǔn)則

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

運用Matlab 平方和優(yōu)化工具箱(SOSTOOLS)以及半定規(guī)劃工具箱SeDuMi，可判定定理3中的所有條件式(21)～式(25)是否成立[11]。

3 多項式模糊系統(tǒng)混合H2/H∞控制器設(shè)計

本章在定理3的基礎(chǔ)上，給出多項式模糊系統(tǒng)混合H2/H∞狀態(tài)反饋模糊控制器的存在條件和設(shè)計方法。

3.1 混合H2/H∞狀態(tài)反饋模糊控制器的存在條件

(26)

(27)

(28)

(29)

。

(30)

證明：令

。

(31)

將式(31)代入式(22)～式 (25)，可得式(26)～式(29)。

3.2 混合H2/H∞狀態(tài)反饋模糊控制器優(yōu)化設(shè)計

引入變量λ，令

。

(32)

根據(jù)引理2和Schur補引理，如果

(33)

成立，式中,v16是與x不相關(guān)的向量，則有式(32)成立。

定理5給出了混合H2/H∞狀態(tài)反饋模糊控制器的優(yōu)化設(shè)計方法。

定理5對于式(3)的多項式模糊系統(tǒng)和給定的標(biāo)量γ>0，如果以下的優(yōu)化問題

(34)

(35)

且式(5)的閉環(huán)多項式模糊系統(tǒng)H2性能的上界是λ*。

定理5中的式(34)優(yōu)化問題是一個具有平方和約束條件的參數(shù)極小化問題，即平方和優(yōu)化問題，可運用Matlab SOSTOOLS工具箱進(jìn)行求解[11]。

4 算例仿真

考慮如下非線性系統(tǒng)

(36)

采用扇形非線性建模技術(shù)，建立描述式(36)的非線性系統(tǒng)多項式模糊模型[7]，即

(37)

(38)

相應(yīng)閉環(huán)模糊系統(tǒng)的H2性能的上界λ*=370.502 1，即由式(6)描述的系統(tǒng)H2性能指標(biāo)滿足J2<370.502 1。

為進(jìn)一步驗證本文方法的有效性，分別對本文提出的混合H2/H∞控制方法和文獻(xiàn)[7]中的H∞控制方法進(jìn)行仿真分析與比較。圖1～圖3分別給出了式(36)的非線性系統(tǒng)在H∞模糊控制器以及混合H2/H∞模糊控制器作用下的狀態(tài)變化曲線和模糊控制輸入量變化曲線。

由圖1～圖3可知，H∞模糊控制器以及混合H2/H∞模糊控制器均能使式(36)的非線性系統(tǒng)在干擾作用下保持穩(wěn)定，具有良好的干擾抑制能力。

通過進(jìn)一步計算可知，在H∞模糊控制器的作用下，式(36)非線性系統(tǒng)的實際H2性能為625.483 7；在混合H2/H∞模糊控制器的作用下，式(36)非線性系統(tǒng)的實際H2性能為326.670 2，從而表明與H∞控制相比，采用混合H2/H∞控制方法能夠使系統(tǒng)獲得更好的調(diào)節(jié)性能。

圖1 系統(tǒng)狀態(tài)x1(t)變化曲線Fig.1 Curve of system state x1(t)

圖2 系統(tǒng)狀態(tài)x2(t)變化曲線Fig.2 Curve of system state x2(t)

圖3 模糊控制輸入u(t)變化曲線Fig.3 Curve of fuzzy control input u(t)

5 結(jié)論

本文在分析多項式模糊系統(tǒng)H2性能和H∞性能的基礎(chǔ)上，提出了一種具有公共Lyapunov矩陣的多項式模糊系統(tǒng)混合H2/H∞性能準(zhǔn)則；進(jìn)而，運用多項式Lyapunov函數(shù)與平方和優(yōu)化技術(shù)，給出多項式模糊系統(tǒng)混合H2/H∞狀態(tài)反饋模糊控制器存在條件，并將混合H2/H∞優(yōu)化控制問題轉(zhuǎn)化為一個具有多項式平方和約束的參數(shù)極小化問題，并給出了混合H2/H∞模糊控制器優(yōu)化設(shè)計方法。

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MixedH2/H∞ControlofPolynomialFuzzySystems

MA Qing-liang1, YANG Hai-yan2, WU Xu-guang2

(1.Department of Control Engineering,Rocket Force University of Engineering,Xi’an 710025,China; 2.School of Marine Science and Technology,Northwestern Polytechnical University,Xi’an 710072,China)

A mixedH2/H∞performance criterion with common Lyapunov matrix is proposed for polynomial fuzzy systems.Sufficient conditions for the existence of mixedH2/H∞state feedback fuzzy controller are derived based on the polynomial fuzzy Lyapunov function and Sum-of-Squares (SOS) decomposation technique.The optimalH2/H∞controller design approach is given by solving a parameter minimization problem with SOS constraints.

polynomial fuzzy system; mixedH2/H∞control; polynomial Lyapunov function; sum-of-squares optimization

馬清亮,楊海燕,吳旭光.多項式模糊系統(tǒng)混合H2/H∞控制[J].電光與控制，2017，24(7)：1-6.MA Q L,YANG H Y,WU X G.MixedH2/H∞control of polynomial fuzzy systems[J].Electronics Optics & Control,2017,24(7):1-6.

TP13

A

10.3969/j.issn.1671-637X.2017.07.001

2016-06-28

2017-04-13

國家自然科學(xué)基金(61203007)

馬清亮(1974 —),男,河南商水人，博士，副教授，研究方向為智能控制、非線性控制等。控制以及保性能控制等問題展開研究，并已有較多的研究成果[2-7]。