沈榮濤，曹雪靚

(蘭州交通大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，甘肅 蘭州 730000)

一類具有年齡分布和加權(quán)總規(guī)模的周期種群系統(tǒng)的最優(yōu)控制

沈榮濤，曹雪靚

(蘭州交通大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，甘肅 蘭州 730000)

種群動(dòng)力系統(tǒng)的最優(yōu)控制問(wèn)題是控制理論中的一個(gè)重要的研究領(lǐng)域，它對(duì)種群的發(fā)展和控制提供了非常重要的參考價(jià)值?？紤]到加權(quán)總規(guī)模和周期對(duì)種群發(fā)展的影響，本文給出了一類帶年齡結(jié)構(gòu)和周期的種群系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型，其生死率依賴于個(gè)體年齡和加權(quán)總規(guī)模，借助不動(dòng)點(diǎn)原理確立了系統(tǒng)的適定性，應(yīng)用極大化序列法證明了最優(yōu)解的存在性，得到了最優(yōu)解的必要性。

種群規(guī)模；最優(yōu)控制；年齡結(jié)構(gòu)；加權(quán)總量；周期解

由于生物種群生存在周期性的變化環(huán)境中，所以研究周期性變化的種群模型更加符合實(shí)際。不少學(xué)者研究了帶有周期性的種群系統(tǒng)的最優(yōu)控制問(wèn)題，獲得不少成功。文獻(xiàn)[1]和文獻(xiàn)[2]最早講述了年齡種群系統(tǒng)的控制問(wèn)題和穩(wěn)定性分析；文獻(xiàn)[3]討論了具有年齡結(jié)構(gòu)和移民的非線性種群動(dòng)態(tài)的最優(yōu)生育控制問(wèn)題；文獻(xiàn)[4]研究了三種年齡結(jié)構(gòu)的捕食者-食餌系統(tǒng)的最優(yōu)控制；文獻(xiàn)[5]討論了一類非線性種群系統(tǒng)的最優(yōu)控制問(wèn)題，文獻(xiàn)[6]研究了一類周期種群系統(tǒng)的適定性及最優(yōu)控制，該文證明了非線性種群系統(tǒng)周期解的存在唯一性。本文再次基礎(chǔ)上討論下列非線性具有加權(quán)項(xiàng)的周期種群系統(tǒng)的最優(yōu)控制問(wèn)題：

(1)

其中:Q=(0,A)*(0,)，固定常數(shù)A,T分別表示個(gè)體最高壽命和系統(tǒng)演變周期。狀態(tài)變量p(a,t)表示t時(shí)刻年齡為a的個(gè)體數(shù)量，控制函數(shù)u(a,t)代表收獲努力度，S(t)表示t時(shí)刻種群的加權(quán)總量，ω為權(quán)函數(shù)，β，μ表示出生率和死亡率，他們的結(jié)構(gòu)意味著不同年齡的個(gè)體對(duì)種群演化有不同的影響。

本文假設(shè)：

關(guān)于x有二階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，滿足|μx|≤M1,|μxx|≤M1,μ(a,t,S(t))=μ(a,t+T,S(t+T))。(H3)對(duì)任意(a,t,x)∈Q×(0,+)，0≤β(a,t,x)≤M2,β關(guān)于x局部Lipschitz連續(xù)，β(·,·,x)是x的減函數(shù),關(guān)于x有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù),滿足|βx|≤M2,|βxx|≤M2,且β(a,t,S(t))=β(a,t+T,S(t+T))。 (H4)對(duì)任意(a,t)∈Q,0≤ω(a,t)≤M3,M1,M2,M3為常數(shù)。

所謂系統(tǒng)(1)的解是指函數(shù)p∈L(Q)，滿足

不妨假設(shè)u≡0，其他情形同法處理。

1 解對(duì)控制變量的連續(xù)依賴性

p(a,t,S)=b(t-a;S)∏(a,t,a;S),t≥A

。

(2)

(3)

而b(·;S)為下列Volterra積分方程的T-周期解：

(4)

這里：

(5)

K(t,a,:S)=β(a,t,S(t))∏(a,t,a;S)。

(6)

(7)

|b(t;S)|≤M。

(8)

證明 由式(6)，得

由此得：|K(t,a;S1)-K(t,a;S2)|≤L1W(t)。

當(dāng)A+T>t>A時(shí)，由式(4)得：

利用式(5)得 ：

考慮到b的周期性，不妨設(shè)t∈[A,A+T]。根據(jù)Gronwall不等式，得：

2 最優(yōu)性條件

其中q為下列共軛系統(tǒng)的解

(9)

證明：對(duì)?v∈Tu(u*)(U在u*處的切錐)，當(dāng)λ>0充分小時(shí)，u*+λv∈U，因此J(u*+λv)≥J(u*)，即:

(10)

將式(10)的第一式乘以z(a,t)并在(0,A)×(0,T)上積分加上式(10)的第一式乘以q(a,t)在(0,A)×(0,T)上積分，得：

有文獻(xiàn)[7]中定理3.2.5，即知定值的結(jié)論成立。

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Optimal Control of Periodic Population System with Age Structure and Weighted Total Scale

SHEN Rongtao， CAO Xuejing

(Lanzhou Jiaotong University, Lanzhou 730070, China)

s: The optimal control problem of the population dynamics system is an important research field in the control theory, which provides a very important reference value for the development and the control of the population. Considering the effect of the weighted total scale and period on the population development, this paper presents a mathematical model of population system with age structure and period, which the mortality depends on the individual age and weighted total scale, then, the system is established by means of fixed point principle, finally, the existence of the optimal solution is proved by the maximal sequence method, and the necessity of the optimal solution is obtained.

population size; optimal control; age structure; weighted total; cycle

10.3969/j.issn.1674-5403.2017.04.020

O175.1

A

1674-5403(2017)04-0090-04

2017-09-19

沈榮濤(1992-)，男，江蘇泰州人，在讀碩士研究生，主要從事生物數(shù)學(xué)方面的研究.