■孫建國(guó)

直線方程中的對(duì)稱問(wèn)題分類解析

■孫建國(guó)

解析幾何中的對(duì)稱問(wèn)題是高考中的“?？汀?，破解這類問(wèn)題的關(guān)鍵是利用轉(zhuǎn)化求解，即將點(diǎn)線位置關(guān)系問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程問(wèn)題求解。下面分類解析，供同學(xué)們參考。

一、點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱問(wèn)題

例 1 過(guò)點(diǎn)P（0，l）作直線l使它被直線ll：2x+y—8=0和l2：x—3y+l0=0截得的線段被點(diǎn)P平分，求直線l的方程。

解：設(shè)直線ll與l的交點(diǎn)為A（a，8—2a）。

由題意知，點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)P的對(duì)稱點(diǎn)B（—a，2a—6）在l2上，代入l2的方程得—a—3（2a—6）+l0=0，解得a=4，即得點(diǎn)A（4，0）在直線l上。

所以由兩點(diǎn)式可得直線l的方程為x+4y—4=0。

評(píng)注：若點(diǎn) M（xl，yl）與N（x，y）關(guān)于點(diǎn)P（a，b）對(duì)稱，則點(diǎn)P是線段MN 的中點(diǎn)。

二、點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱問(wèn)題

例 2 已知直線l：2x—3y+l=0，點(diǎn)A（—l，—2），求點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A′的坐標(biāo)。

解：設(shè)A′（x，y）。

由已知條件可得方程組：

評(píng)注：若兩點(diǎn) Pl（xl，yl）與 P2（x2，y2）關(guān)于直線l：Ax+By+C=0對(duì)稱，則線段PlP2的中點(diǎn)在對(duì)稱軸l上，且連接Pl，P2的直線垂直于對(duì)稱軸l。

三、直線關(guān)于直線的對(duì)稱問(wèn)題

例 3 已知直線l：2x—3y+l=0，求直線m：3x—2y—6=0關(guān)于直線l的對(duì)稱直線m′的方程。

解：在直線m 上取一點(diǎn)，如 M（2，0），則點(diǎn)M（2，0）關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)M′必在直線m′上。

設(shè)對(duì)稱點(diǎn) M′（a，b）。

由題意可得方程組：

又直線m′經(jīng)過(guò)點(diǎn)N（4，3），所以由兩點(diǎn)式得直線m′的方程為9x—46y+l02=0。

評(píng)注：對(duì)于此類問(wèn)題，一般轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱問(wèn)題來(lái)解決。

四、對(duì)稱問(wèn)題的綜合應(yīng)用

例 4 已知光線從點(diǎn)A（—4，—2）射出，到直線y=x上的點(diǎn)B后被直線y=x反射到y(tǒng)軸上的點(diǎn)C，又被y軸反射，這時(shí)反射光線恰好過(guò)點(diǎn)D（—l，6），求線段BC所在的直線方程。

解：作出簡(jiǎn)圖，如圖l所示。

設(shè)點(diǎn)A關(guān)于直線y=x的對(duì)稱點(diǎn)為A′，點(diǎn)D關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn) 為 D′，則 易 得A′（—2，—4），D′（l，6）。由入射角等于反射角可知A′D′所在的直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)B與點(diǎn)C。

圖l

評(píng)注：物理中的光線反射問(wèn)題，一般都可轉(zhuǎn)化為解析幾何中的對(duì)稱問(wèn)題。解決中心對(duì)稱問(wèn)題的關(guān)鍵在于運(yùn)用中點(diǎn)坐標(biāo)公式，而解決軸對(duì)稱問(wèn)題，一般轉(zhuǎn)化為求對(duì)稱點(diǎn)的問(wèn)題。

江蘇太倉(cāng)高級(jí)中學(xué)

（責(zé)任編輯 郭正華）