聶本桃

《中位數(shù)與眾數(shù)》是北師大版數(shù)學(xué)教材五年級(jí)下冊(cè)的教學(xué)內(nèi)容，屬于“統(tǒng)計(jì)與概率”領(lǐng)域。學(xué)生在三年級(jí)就已學(xué)過平均數(shù)，理解了平均數(shù)的含義，會(huì)求一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)。本節(jié)課的主要內(nèi)容是讓學(xué)生在具體問題情境中感受數(shù)據(jù)的平均水平可以用不同的量來代表，體會(huì)平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)三者的差別。教學(xué)中重在對(duì)數(shù)據(jù)的分析，以學(xué)生現(xiàn)有知識(shí)“平均數(shù)”為基礎(chǔ)進(jìn)行延伸教學(xué)，又著力于平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)三者的比較與合理應(yīng)用以及一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)的求法。那么如何讀懂教材？如何設(shè)計(jì)活動(dòng)？如何讀懂學(xué)生？采用何種方式？如何讀懂課堂中學(xué)生的困難與精彩？如何讓學(xué)生更明白中位數(shù)和眾數(shù)出現(xiàn)的必要性及其作用？如何設(shè)計(jì)練習(xí)讓學(xué)生更能掌握中位數(shù)和眾數(shù)的求法？

片斷一：創(chuàng)設(shè)情境，提出問題

師：假如你現(xiàn)在剛剛大學(xué)畢業(yè)，在找工作時(shí)你最關(guān)注什么？

生1：工作環(huán)境。

生2：有沒休息日。

生3：工資。

師：是啊，工資的確是人們?cè)谡夜ぷ鲿r(shí)所關(guān)注的一個(gè)條件，我也很關(guān)心工資。

（課件出示兩家公司的“平均工資”，騰飛公司：2000元；前進(jìn)公司：1800元。）

師：你們想到哪家公司去應(yīng)聘，為什么？

生4：想去騰飛公司，那里工資高些。

生5：想去騰飛公司。

……

師：都想去騰飛公司嗎？你們真現(xiàn)實(shí)，哪兒錢多就去那兒！

（學(xué)生開心地笑了。）

師（出示兩家公司的月工資表）：請(qǐng)接著觀察，再給你一次選擇的機(jī)會(huì)，你會(huì)到哪家公司去？為什么？這里的2000和1800分別是騰飛、前進(jìn)公司這兩組數(shù)據(jù)的“平均數(shù)”。為什么騰飛公司所有員工的“平均工資”高于前進(jìn)公司的“平均工資“？

生6：騰飛公司總經(jīng)理和副總經(jīng)理的工資太高了，有5000和3500，比一般員工的工資高得多。

師：是的，由于5000、3500在這組數(shù)據(jù)中太大，從而使得這一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)增大。平均數(shù)不能代表這組數(shù)據(jù)的一般水平。

點(diǎn)評(píng)：以“一個(gè)騙人的平均數(shù)”的情景引入新課，并創(chuàng)造性地使用教材，通過對(duì)比引發(fā)矛盾沖突，極大地激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

片斷二：開放質(zhì)疑，探索新知

師：騰飛公司所有員工工資的“平均工資”不能代表所有員工工資的“一般水平”了，哪個(gè)數(shù)能代表騰飛公司所有員工工資的一般水平呢？為什么？

（小組討論，以小組的形式匯報(bào)。）

組1：1500能代表這組數(shù)據(jù)的一般水平，因?yàn)樗谶@組數(shù)據(jù)的中間。

組2：1200能代表，因?yàn)樗霈F(xiàn)的次數(shù)最多。

師：這兩個(gè)數(shù)都有它特定的名稱呢！請(qǐng)同學(xué)們打開課本第88頁(yè)，讀一讀“認(rèn)一認(rèn)”部分，把重要的詞句做上記號(hào)。

……

師：比較兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)，看哪個(gè)數(shù)據(jù)能代表這組數(shù)據(jù)的一般水平？

生1：兩組數(shù)據(jù)中中位數(shù)都能代表本組數(shù)據(jù)的一般水平。

生2：第一組數(shù)據(jù)中的平均數(shù)不能代表這組數(shù)據(jù)的一般水平，第二組的平均數(shù)能代表。

師：什么時(shí)候一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)能代表？什么時(shí)候不能代表？

生3：一組數(shù)據(jù)中沒有偏大數(shù)和偏小數(shù)時(shí)可以代表，有的話就不能代表。

生4：第一組數(shù)據(jù)中的眾數(shù)能代表，第二組數(shù)據(jù)的眾數(shù)不能代表。

師：眾數(shù)在什么情況下能代表本組數(shù)據(jù)的一般水平？

生5：出現(xiàn)的次數(shù)相當(dāng)多或者在中間位置時(shí)。

師：看來“平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)”能否代表一組數(shù)據(jù)的一般水平是不固定的，對(duì)嗎？

生6：“平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)”能否代表一組數(shù)據(jù)的一般水平要具體情況具體對(duì)待。

點(diǎn)評(píng)：層層遞進(jìn)、環(huán)環(huán)相扣的設(shè)問使學(xué)生心海波濤翻滾，思維碰撞。同時(shí)，讓學(xué)生小組合作探究出中位數(shù)和眾數(shù)，結(jié)合課本，加深理解，并在對(duì)比分析中深化理解平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)的聯(lián)系與區(qū)別，提高了學(xué)生根據(jù)具體的問題情境選擇合理的統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行分析決斷的能力。這樣教學(xué)突出了重點(diǎn)，突破了難點(diǎn)，提高了課堂效率。

片斷三：分層練習(xí)，獲取方法

1.找眾數(shù)。

師：下面是我昨天了解的你們班上部分同學(xué)的年齡、身高、體重，得到了三組數(shù)據(jù)，請(qǐng)你們找出各組數(shù)據(jù)的眾數(shù)。

年齡（歲）：10 11 12 12 12 11 13

身高（米）：1.30 1.50 1.45 1.50 1.45 1.50 1.45

體重（千克）：26 28 30 39 25 27 34

生1：第一組的眾數(shù)是12，因?yàn)樗霈F(xiàn)次數(shù)最多，三次。

生2：第二組的眾數(shù)有兩個(gè)：1.45和1.50，都出現(xiàn)了三次。

生3：第三組數(shù)據(jù)沒有眾數(shù)。

師：你們發(fā)現(xiàn)一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)個(gè)數(shù)有幾種情況？

生4：有一個(gè)或多個(gè)，也可能沒有。

2.找中位數(shù)。

①出示兩組數(shù)據(jù)，獨(dú)立思考。

3 12 18 25 27

4 9 17 15 6

師：請(qǐng)同學(xué)們找出這兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)。

生1：第一組的中位數(shù)是18，因?yàn)樗谧钪虚g。

生2：第二組的中位數(shù)是17，因?yàn)樗谧钪虚g。

師：大家是否都同意？為什么？

生3：不是17，是9。

師：你們認(rèn)為是哪個(gè)？

生4：是9，因?yàn)橐扰判颉?/p>

②把前面兩組數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)變換后找中位數(shù)（第一組減一個(gè)，第二組加一個(gè)變成偶數(shù)個(gè)）。

3 12 18 25

4 9 17 15 6 13

師：剛才呢？它們的中位數(shù)又是哪個(gè)？

生1：是12。

生2：是18。

生3：是12或者18？

生4：是15，取12和18的平均數(shù)。

師：有了4種答案了。到底是哪個(gè)呢？遇到什么困難啦？

生5：這兩組數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)是偶數(shù)個(gè)，數(shù)據(jù)是奇數(shù)個(gè)時(shí)，它的中位數(shù)好找，數(shù)據(jù)是偶數(shù)個(gè)時(shí)，它的中位數(shù)不好確定。

師：中位數(shù)只有一個(gè)，且不一定是這組數(shù)據(jù)中的某一個(gè)數(shù)。你們認(rèn)為哪個(gè)同學(xué)說的有道理？

生6：15。

（課件展示偶數(shù)個(gè)時(shí)找中間的兩個(gè)數(shù)的“平均數(shù)”。）

師：第二組的呢？

生7：11。

③找中位數(shù)。

這組數(shù)據(jù)19、23、26、30、A（A不等于其中任何數(shù)）的中位數(shù)可能是幾？

師：有困難了吧，小組討論。

組1：當(dāng)A最大時(shí)，中位數(shù)是26。

組2：當(dāng)A最小時(shí)，中位數(shù)是23。

組3：當(dāng)A<23時(shí)，中位數(shù)是23；當(dāng)A>30時(shí)，中位數(shù)是23時(shí)。

組4：當(dāng)A在最中間時(shí)，中位數(shù)是A。

小組匯報(bào)時(shí)，找五個(gè)學(xué)生拿著上面的五個(gè)數(shù)字片演示，讓學(xué)生更清楚地明白道理，達(dá)到了課的高潮。

點(diǎn)評(píng)：通過有層次、有坡度的練習(xí)，讓學(xué)生通過求眾數(shù)和中位數(shù)，得出眾數(shù)的特點(diǎn)及求中位數(shù)的方法。特別是求中位數(shù)時(shí)，先設(shè)計(jì)一組奇數(shù)個(gè)數(shù)據(jù)，再在其基礎(chǔ)上去掉一個(gè)或者增加一個(gè)使它變成偶數(shù)個(gè)數(shù)據(jù)，注重了學(xué)生思維的延續(xù)性。最后的一個(gè)拓展題，進(jìn)一步激發(fā)了學(xué)生的思維，極大地調(diào)動(dòng)了學(xué)生的積極性。教師對(duì)學(xué)生解題結(jié)果的處理直觀而有趣，將知識(shí)與趣味性融為一體，學(xué)生學(xué)習(xí)興趣盎然，既掌握了中位數(shù)和眾數(shù)的求法，又體會(huì)到數(shù)學(xué)知識(shí)的無(wú)窮魅力，享受學(xué)習(xí)成功的喜悅，將整節(jié)課推向了高潮。

整體分析

1.讀懂教材，創(chuàng)造性地使用教材

新課程理念要求我們用教材教，而不是教教材。教材是提供課堂教學(xué)的素材，讀懂教材是前提，要求教師深鉆教材，弄清教材的重難點(diǎn)，把握教材的關(guān)鍵。這節(jié)課的難點(diǎn)是讓學(xué)生明白平均數(shù)有時(shí)受本組數(shù)據(jù)中偏大數(shù)或者偏小數(shù)的影響，不能代表一組數(shù)據(jù)的一般水平，意識(shí)到中位數(shù)和眾數(shù)出現(xiàn)的必要性，從而找出這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和眾數(shù)，明白用平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)能否代表一組數(shù)據(jù)的一般水平要具體情境具體對(duì)待。重點(diǎn)是找到一組數(shù)據(jù)中眾數(shù)的特點(diǎn)及求中位數(shù)的方法。片斷一中將教材中一個(gè)超市的工資表，巧妙地改成兩個(gè)公司招聘普通員工，通過對(duì)比分析兩組數(shù)據(jù)主動(dòng)獲取本節(jié)課的新知，既激發(fā)了學(xué)生的興趣，又突破了難點(diǎn)。隨后又巧妙地設(shè)計(jì)兩組練習(xí)，水到渠成地突出了本課的重點(diǎn)。

2.讀懂學(xué)生，從學(xué)生的需要出發(fā)

讀懂學(xué)生就是依據(jù)學(xué)生的興趣，從學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，找到學(xué)生學(xué)習(xí)的生長(zhǎng)點(diǎn)，設(shè)計(jì)有效的活動(dòng)，讓學(xué)生在活動(dòng)中自主、合作、探究出新知。學(xué)生對(duì)找工作時(shí)的待遇問題感興趣，片斷一中就從工資多少入手，激發(fā)認(rèn)知沖突；片斷二中讓學(xué)生小組合作，探究中位數(shù)和眾數(shù)，明白中位數(shù)和眾數(shù)產(chǎn)生的必要性，通過對(duì)比，明白平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)能否代表一組數(shù)據(jù)的一般水平要具體情境具體對(duì)待。片斷三中通過兩組練習(xí)，讓學(xué)生通過求眾數(shù)和中位數(shù)，得出眾數(shù)的特點(diǎn)及求中位數(shù)的方法。求中位數(shù)時(shí)，通過先設(shè)計(jì)一組奇數(shù)個(gè)數(shù)據(jù)，再在其基礎(chǔ)上去掉一個(gè)或者增加一個(gè)使它變成偶數(shù)個(gè)數(shù)據(jù)的方法，使得學(xué)生思維具有延續(xù)性。

3.讀懂課堂，關(guān)注學(xué)生的精彩和困難

課堂中教師可以從哪些方面關(guān)注學(xué)生？關(guān)注的方法有哪些？如何合理判斷學(xué)生的想法？如何實(shí)施合理的教學(xué)對(duì)策？筆者認(rèn)為莫過于兩個(gè)方面：關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)的“精彩”和“困難”。在片斷一中，問學(xué)生“想到哪家公司去應(yīng)聘，為什么？”學(xué)生都說：“想去騰飛公司，那里工資高些。”這時(shí)教師調(diào)侃說“都想去騰飛公司嗎？你們真現(xiàn)實(shí)，哪兒錢多就去那兒！”全班學(xué)生都開心地笑了，教師以其幽默風(fēng)趣的語(yǔ)言，拉近了師生之間的距離，讓課堂變得輕松愉快。在片斷三中，教師在學(xué)生找到中位數(shù)和眾數(shù)時(shí)，在學(xué)生找到偶數(shù)個(gè)數(shù)據(jù)的中位數(shù)時(shí)，在學(xué)生解決出拓展題時(shí)都以熱烈的掌聲給予鼓勵(lì)。在學(xué)生找中位數(shù)和眾數(shù)，以及做拓展題有困難時(shí)，就要求學(xué)生小組合作學(xué)習(xí)：在求偶數(shù)個(gè)數(shù)據(jù)的中位數(shù)時(shí)，學(xué)生出現(xiàn)了三種解法，到底哪一種正確呢？這時(shí)教師加以點(diǎn)撥“中位數(shù)只有一個(gè)，可以不是這組數(shù)據(jù)中的數(shù)”，這使學(xué)生一下就明白了選哪一個(gè)數(shù)作為中位數(shù)最有道理，同時(shí)也知道了求中位數(shù)的方法；做拓展題時(shí)，遇到困難就采用小組游戲的方式，由五個(gè)同學(xué)舉著這5個(gè)數(shù)字卡片，依次變換A的位置，使得解題結(jié)果的處理直觀而有趣，將知識(shí)與趣味性融為一體，學(xué)生學(xué)習(xí)興趣盎然。這樣，關(guān)注學(xué)生的想法，用適當(dāng)?shù)姆椒ㄕ{(diào)味。面對(duì)學(xué)生“精彩”，教師大加贊賞，給予掌聲鼓勵(lì)；面對(duì)學(xué)生困難時(shí)，利用小組合作的學(xué)習(xí)方式和教師引導(dǎo)點(diǎn)撥，使學(xué)生跳一跳也能摘到果子，既激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，增強(qiáng)了學(xué)生學(xué)習(xí)的信心，又體會(huì)到數(shù)學(xué)知識(shí)的無(wú)窮魅力，享受學(xué)習(xí)成功的喜悅，提升了課堂的效率！

（作者單位：恩施市教學(xué)研究和教師培訓(xùn)中心）

責(zé)任編輯 陳建軍