李興華+孫陽(yáng)+艾曉輝

摘 要：雙曲守恒型方程的高精度、高分辨率計(jì)算格式的研究一直是計(jì)算流體力學(xué)的熱點(diǎn)問(wèn)題。針對(duì)原WENOJS格式分辨率較低和計(jì)算量偏大的不足問(wèn)題，提出利用簡(jiǎn)單的重構(gòu)數(shù)值通量的方法以提高計(jì)算效率，構(gòu)造了新的簡(jiǎn)單限制器的5階迎風(fēng)型WENO格式。通過(guò)MATLAB軟件的仿真對(duì)LaxWendroff WENOJS格式、LaxWendroff簡(jiǎn)單限制器WENO格式、RungeKutta WENOJS格式、RungeKutta簡(jiǎn)單限制器的WENO格式的實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行了分析，并比較了這四種計(jì)算格式的計(jì)算效率和計(jì)算精度。數(shù)值實(shí)驗(yàn)表明：新格式LaxWendroff簡(jiǎn)單限制器WENO格式在保持原WENO分辨率的前提下，計(jì)算速度有明顯提高，減少了20%的計(jì)算時(shí)間。

關(guān)鍵詞：高精度；WENO；RungeKutta；LaxWendroff；時(shí)間離散

DOI：10.15938/j.jhust.2017.06.026

中圖分類號(hào)： O175

文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A

文章編號(hào)： 1007-2683（2017）06-0134-06

Abstract：The research of high accuracy and high resolution schemes have been a hot topic in computational mathematics. According to low resolution and large amount of calculation of the original WENOJS scheme， we propose a simple new limiter fifth order upwind WENO scheme to reconstruct the numerical flux of the simple structure to improve the computational efficiency. Compared with other efficient high accuracy schemes such as ENO and WENO， it is shown that the computational cost of this scheme is less than that of WENOJS in the same accuracy. By use of MATLAB software， we compared and analyzed computational efficiencies and computational accuracies of LaxWendroff WENOJS scheme， LaxWendroff simple limiter WENO scheme， RungeKutta simple limiter WENO scheme and RungeKutta WENOJS scheme. The numerical results show that the new LaxWendroff simple limiter WENO scheme can improve the computing speed and reduce the computing time by 20% while maintaining the original WENO resolution.

Keywords：high accuracy； WENO； RungeKutta； LaxWendroff； time discretization

0 引 言

雙曲守恒律方程（組）為科學(xué)理論和工程應(yīng)用研究中一類非常重要的偏微分方程（組）?？諝鈩?dòng)力學(xué)、爆炸力學(xué)、流體力學(xué)等許多力學(xué)問(wèn)題的求解都與其密切相關(guān)。由于即使在初始條件充分光滑的條件下，雙曲型守恒律方程的解仍可能出現(xiàn)間斷。因此，為了能夠更加高效地捕捉到間斷，并且避免間斷附近出現(xiàn)數(shù)值振蕩，計(jì)算流體力學(xué)及計(jì)算數(shù)學(xué)等領(lǐng)域一直致力于研究穩(wěn)定高效的數(shù)值計(jì)算方法[1-5]。

低階精度的離散方法可能會(huì)對(duì)許多流動(dòng)結(jié)構(gòu)造成“失真”模擬，不能真實(shí)反映真實(shí)的流動(dòng)現(xiàn)象。高精度格式具有較小的耗散誤差和色散誤差，能夠更準(zhǔn)確地模擬雙曲守恒律方程的時(shí)空多尺度特性，在同樣網(wǎng)格條件下比低階格式能分辨出更加精細(xì)的流場(chǎng)、捕捉到其更細(xì)微的結(jié)構(gòu)變化。然而，高階精度格式也存在不足：求解在間斷處可能出現(xiàn)Gibbs現(xiàn)象即產(chǎn)生偽物理振蕩，從而導(dǎo)致非線性不穩(wěn)定現(xiàn)象。因此，發(fā)展高分辨率、高精度離散格式是計(jì)算流體力學(xué)發(fā)展中的迫切需要，成為計(jì)算流體力學(xué)工作者的一大研究方向[6-10]。

TVD格式的出現(xiàn)，標(biāo)志著計(jì)算流體力學(xué)步入了高精度計(jì)算格式階段，大量高精度計(jì)算格式不斷出現(xiàn)，而WENO格式由于其良好的計(jì)算穩(wěn)定性，已經(jīng)成為一類極為重要的計(jì)算格式。眾所周知，經(jīng)典的WENOJS格式存在分辨率較低和計(jì)算量偏大兩方面問(wèn)題，因此計(jì)算數(shù)學(xué)工作者嘗試對(duì)其改進(jìn)，構(gòu)造了諸如WENOZ、WENOM等很多改進(jìn)格式。根據(jù)文獻(xiàn)[11]的基本思想構(gòu)造的簡(jiǎn)化限制器的5階WENO格式是對(duì)原WENO格式的很好的補(bǔ)充和修正。

在時(shí)間離散方面，本文研究了LaxWendroff型時(shí)間離散格式，其具有較RungeKutta方法更為優(yōu)秀的計(jì)算效率。本文將WENO格式與LaxWendroff型時(shí)間離散相結(jié)合，得到了一種時(shí)空同步離散的新數(shù)值方法——基于LaxWendroff型時(shí)間離散的WENO格式。本文研究可以說(shuō)是對(duì)高精度數(shù)值方法研究方面的有益補(bǔ)充和探索。

1 WENO5格式

針對(duì)以上兩種WENO格構(gòu)造不同的時(shí)間離散格式，能夠得到不同的數(shù)值方法。針對(duì)雙曲守恒律方程給出了具體的格式構(gòu)造過(guò)程，主要采用如下介紹的兩種時(shí)間離散方法LaxWendroff時(shí)間離散和TVD RungeKutta時(shí)間離散。下面，我們將介紹這兩種常用的時(shí)間離散方法。endprint

2 時(shí)間離散格式

目前雙曲守恒律方程最為常見(jiàn)的時(shí)間離散格式為TVD RungeKutta時(shí)間離散格式，也稱為SSP（strong stability preserving）RungeKutta時(shí)間離散。當(dāng)一階向前Euler迭代下的空間離散格式為TVD時(shí)，所構(gòu)造的全離散格式也TVD的。本文采用的RungeKutta時(shí)間離散格式為三階RungeKutta格式（簡(jiǎn)記為RK3）[12-16]如下：

3 結(jié)果與分析

考慮線性對(duì)流方程和非線性方程兩種類型的方程的數(shù)值求解[17-20]，利用LaxWendroff WENOJS格式、LaxWendroff簡(jiǎn)單限制器WENO格式、RungeKutta WENOJS格式、RungeKutta簡(jiǎn)單限制器的WENO格式四種格式進(jìn)行數(shù)值模擬，研究數(shù)值方法的穩(wěn)定性、收斂性和計(jì)算效率等特性，所采用多的通量分裂為L(zhǎng)axFredrichs通量分裂。

表4和表5分別給出LaxWendroff WENOJS格式、LaxWendroff簡(jiǎn)單限制器WENO格式、RungeKutta WENOJS格式、RungeKutta簡(jiǎn)單限制器的WENO格式計(jì)算結(jié)果。表4為四種格式的L1誤差和精度表，而表5為四種格式的L1誤差和精度表。

具有如下初值u（x，0）=0.5+sin（πx），計(jì)算到t=32π時(shí)刻，邊界條件為周期條件，N=400個(gè)計(jì)算點(diǎn)。此時(shí)在1.2～1.3之間的位置產(chǎn)生了一強(qiáng)激波，圖1和圖2為其計(jì)算結(jié)果。

計(jì)算結(jié)果中簡(jiǎn)單限制器的WENO格式僅僅用到了2-3個(gè)計(jì)算點(diǎn)就可以識(shí)別激波，因此可以斷定簡(jiǎn)單限制器的WENO格式的分辨率要高于WENOJS格式，而計(jì)算時(shí)間上，LaxWendroff時(shí)間離散具有一定的優(yōu)勢(shì)，WENO LW3和SWENO LW3兩種格式的計(jì)算時(shí)間為最少。

4 結(jié) 論

針對(duì)線性和非線性標(biāo)量守恒律方程進(jìn)行了數(shù)值求解。研究了不同初值條件下的，LaxWendroff WENOJS格式、LaxWendroff簡(jiǎn)單限制器WENO格式、RungeKutta WENOJS格式、RungeKutta簡(jiǎn)單限制器的WENO格式的計(jì)算效率和計(jì)算精度。LaxWendroff簡(jiǎn)單限制器WENO格式不但形式簡(jiǎn)單且便于應(yīng)用到CFD代碼中。算例表明，LaxWendroff WENO格式的分辨率與RungeKutta型WENO格式較為接近，而LaxWendroff簡(jiǎn)單限制器WENO格式具有更好的激波及小尺度波分辨率，特別計(jì)算速度提高了WENO5的20%以上。本文從分析標(biāo)量雙曲守恒律方程解的性質(zhì)入手，分析了雙曲守恒律方程自身的特點(diǎn)和原有的WENOJS差分格式的優(yōu)缺點(diǎn)后，提出一種簡(jiǎn)化限制器的WENO格式，新格式較原格式的分辨率有所提高。LaxWendroff時(shí)間離散格式由于其計(jì)算效率方面的優(yōu)勢(shì)，可以作為RungeKutta方法的一種時(shí)間離散改進(jìn)格式。本文研究了四種不同的數(shù)值方法：LaxWendroff WENOJS格式、LaxWendroff簡(jiǎn)單限制器WENO格式、RungeKutta WENOJS格式、RungeKutta簡(jiǎn)單限制器的WENO格式計(jì)算了一維標(biāo)量守恒型方程，并給出了數(shù)值實(shí)驗(yàn)的結(jié)果。數(shù)值試驗(yàn)表明這四種方法均出了高精度高分辨的特性，都具有更好的分辨激波捕捉的能力，在激波間斷處不但保持了陡峭的的形狀，而且沒(méi)有出現(xiàn)偽物理振蕩。我們發(fā)現(xiàn)，對(duì)于同樣的問(wèn)題，LaxWendroff簡(jiǎn)單限制器WENO方法能在更短的時(shí)間和更小的儲(chǔ)存量。當(dāng)然，從數(shù)值實(shí)驗(yàn)的結(jié)果來(lái)看，方法仍有改進(jìn)的空間。未來(lái)需要關(guān)注的主要方面在于：在精度相同的情況下， LaxWendroff型的計(jì)算量要小于RungeKutta，因而更具有效率上的優(yōu)勢(shì)價(jià)值。然而，在推廣到雙曲守恒律方程組時(shí)，需要進(jìn)行張量運(yùn)算這給編程帶來(lái)了一定的困難。下一步作者將試著將推廣到高維守恒律方程方程組問(wèn)題，現(xiàn)公式推到已經(jīng)完成，正在進(jìn)行數(shù)值實(shí)驗(yàn)，以得到較優(yōu)結(jié)果。

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（編輯：王 萍）endprint