王 丹，李彩霞，徐恭賢

(渤海大學(xué) 數(shù)理學(xué)院， 遼寧 錦州 121013)

一類微生物流加發(fā)酵過程的動態(tài)優(yōu)化

王 丹，李彩霞，徐恭賢

(渤海大學(xué) 數(shù)理學(xué)院， 遼寧 錦州 121013)

研究了甘油生物歧化為1，3-丙二醇的流加發(fā)酵過程。針對甘油生物歧化為1，3-丙二醇過程的流加發(fā)酵系統(tǒng)，建立了在終端時刻是固定值的前提下，以1，3-丙二醇的濃度達(dá)到最大值為目標(biāo)函數(shù)的動態(tài)優(yōu)化模型。采用有限元配置法，將甘油流加生物歧化為1，3-丙二醇過程的狀態(tài)方程轉(zhuǎn)換為代數(shù)方程，進(jìn)而得到模型的NLP(非線性規(guī)劃)形式。運(yùn)用Matlab軟件求解所建立的動態(tài)優(yōu)化模型，并針對所得到的優(yōu)化結(jié)果進(jìn)行分析及討論。

1，3-丙二醇；動態(tài)優(yōu)化；流加發(fā)酵；有限元配置法

1，3-丙二醇是一種非常重要的化工原料，如溶劑、抗凍劑或保護(hù)劑、精細(xì)化工原料以及聚合物單體等[1-2]。與傳統(tǒng)的化學(xué)合成法相比，微生物法具有轉(zhuǎn)化率高、副產(chǎn)物少、環(huán)境污染小等優(yōu)點(diǎn)[3]，但要提高1，3-丙二醇的濃度依然是很難解決的問題。因此，甘油生物歧化生產(chǎn)1，3-丙二醇日益受到關(guān)注。

近年來，越來越多的學(xué)者們熱衷于對甘油歧化微生物生產(chǎn)1，3-丙二醇過程的研究。楊杰通過建立單目標(biāo)和多目標(biāo)動態(tài)優(yōu)化模型，研究了微生物間歇發(fā)酵生產(chǎn)1，3-丙二醇過程的優(yōu)化問題[4]。徐恭賢等對發(fā)酵過程提出新的迭代優(yōu)化策略，并且進(jìn)行優(yōu)化控制的研究[5]。孫亞琴等[6]建立了甘油生物歧化為1，3-丙二醇過程還原途徑酶催化8維非線性動力系統(tǒng)。宮召華等[7]建立了最優(yōu)控制模型，利用不可微優(yōu)化理論得到了最優(yōu)控制問題的最優(yōu)性條件，并證明了最優(yōu)性條件和最優(yōu)性函數(shù)零點(diǎn)的等價性。譚雯心[8]建立了以各代謝物的濃度誤差與斜率誤差之和為目標(biāo)函數(shù)的參數(shù)辨識動態(tài)優(yōu)化模型。文獻(xiàn)[9-12]等基于代謝工程方法對主要產(chǎn)物1，3-丙二醇的生產(chǎn)改善問題進(jìn)行了研究。高群王等[13]提出了一個使主要產(chǎn)物1，3-丙二醇產(chǎn)率達(dá)到最大的穩(wěn)態(tài)優(yōu)化模型。文獻(xiàn)[14-16]研究了甘油連續(xù)生物歧化為1，3-丙二醇過程的多目標(biāo)優(yōu)化問題。徐恭賢等[17]研究了甘油間歇生物歧化過程的動態(tài)優(yōu)化，獲得更高的1，3-丙二醇產(chǎn)率。

本文針對微生物流加發(fā)酵生產(chǎn)1，3-丙二醇過程的動態(tài)優(yōu)化問題，建立與其過程特點(diǎn)相適應(yīng)的動態(tài)優(yōu)化模型，并提出有效的算法求解該模型，結(jié)果表明方法有效。

1 流加發(fā)酵過程的數(shù)學(xué)模型

微生物流加過程的方程式描述如下：

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

t∈[0,tf]

(12)

其中：Cx是生物量(g·L-1)；μ和μm分別是比生長速率及其最大值(h-1)；Cs是底物濃度(mmol·L-1)；CPD，CHAc，CEtOH是產(chǎn)物濃度(mmol·L-1)；t是發(fā)酵時間(h)；qs是底物比消耗速率(mmol·g-1·h-1)；qPD，qHAc，qEtOH是產(chǎn)物比生成速率(mmol·g-1·h-1)；F是甘油流加速率 (L·h-1)；V是反應(yīng)器中液體體積(L)；r是堿的流加速率與甘油流加速率的比。

2 優(yōu)化模型

以終端時刻是固定值為前提，1，3-丙二醇的濃度達(dá)到最大為目標(biāo)函數(shù)，建立如下動態(tài)優(yōu)化模型：

maxf=CPD(tf)

(13)

0≤t≤tf

0≤Cx≤5

0≤Cs≤2 039

0≤CPD≤939.5

0≤CHAc≤1 026

0≤CEtOH≤360.9

5≤V≤8

0≤F≤0.9

3 有限元配置法

為了方便敘述，設(shè)x=(x1,x2,x3,x4,x5,x6)T=(Cx,Cs,CPD,CHAc,CEtOH,V)T

f6(x)=F+rF

G(x(tf),tf)=CPD(tf)

u(t)=F

則可將問題(13)表示為下列優(yōu)化問題：

x≤(5,2039,939.5,1026,360.9,VU)T

x≥(0,0,0,0,0,VL)T

(14)

u(t)L≤u(t)≤u(t)U

(15)

(16)

其中：Kx為有限元[ζi,ζi+1]上配置點(diǎn)的個數(shù)。拉格朗日多項式xKx(t)滿足xKx(tij)=xij，uKu(t)滿足uKu(tij)=uij。為了確定拉格朗日多項式xKx(t),uKu(t)的系數(shù)，將其代入狀態(tài)方程中，則可得配置方程：

k=1,2,…,Kx

(17)

k=1,2,…,Ku

(18)

令tik=ζi+Δζiτk, Δζi=ζi+1-ζi,τk∈[0,1]，則可將式(17)、(18)寫為：

k=1,2,…,Kx

(19)

k=1,2,…,Ku

(20)

另外，為了確保狀態(tài)在有限元終端處具有連續(xù)性，相鄰有限元的初始狀態(tài)和終端狀態(tài)需滿足以下條件：

基于上述分析可將動態(tài)優(yōu)化問題(14)轉(zhuǎn)化為如下NLP問題：

i=1,2,…,n,j=0,1,…,Kx

i=1,2,…,n,j=0,1,…,Ku

(21)

i=1,2,…,n,j=1,2,…,Ku

xKx(tij)≤(5,2039,939.5,1026,360.9,VU)T,

xKx(tij)≥(0,0,0,0,0,VL)T

i=1,2,…,n,j=1,2,…,Kx

4 優(yōu)化結(jié)果與分析

本文在Matlab上用其優(yōu)化工具箱求解NLP問題(21)。表1 給出不同的終端時刻下，動態(tài)優(yōu)化問題的最優(yōu)解。如表1所示，隨終端時刻tf逐漸增大，Cx(tf)逐漸減小，最小值為1.79 mmol·L-1；Cs(tf)先逐漸增大，然后減小，在31 h升到最大1 186.68 mmol·L-1；CPD(tf)始終可達(dá)到最大值939.5 mmol·L-1；CHAc(tf)的值先減小，在終端時刻為25 h時，增大至230.63 mmol·L-1，然后逐漸降低；CEtOH(tf)、V(tf)和F的值都是先增大，在20 h到28 h內(nèi)逐漸減小，然后增大，CEtOH(tf)最大可達(dá)到139.99 mmol·L-1，V(tf)在終端時刻為28 h時達(dá)到最大值7.57 mmol·L-1，F(xiàn)最大可達(dá)到0.41 mmol·L-1。

表1 不同終端時刻動態(tài)優(yōu)化問題的最優(yōu)解

圖1～7為終端時刻取20 h時，底物和產(chǎn)物隨發(fā)酵時間t的變化曲線。

圖1 生物量的變化曲線

圖2 甘油濃度的變化曲線

圖3 1，3-丙二醇濃度的變化曲線

圖4 乙酸濃度的變化曲線

圖5 乙醇濃度的變化曲線

圖6 反應(yīng)器中液體體積的變化曲線

圖7 甘油流加速率的變化曲線

5 結(jié)束語

本文針對甘油流加生物歧化生產(chǎn)1，3-丙二醇的過程，研究了其動態(tài)優(yōu)化問題。以終端時刻產(chǎn)物1，3-丙二醇的濃度作為目標(biāo)函數(shù)，提出了動態(tài)優(yōu)化模型，并利用有限元配置法結(jié)合Matlab軟件求解了所提出的優(yōu)化問題。本文通過取不同的終端時刻值，獲得底物消耗和產(chǎn)物生成的變化情況，為實(shí)現(xiàn)甘油流加生物歧化過程的工業(yè)生產(chǎn)優(yōu)化提供了指導(dǎo)。計算結(jié)果表明：終端時刻1，3-丙二醇的濃度可達(dá)到其最大允許值。

[1] 孫亞琴.甘油生物歧化過程酶催化和基因調(diào)控的非線性數(shù)學(xué)模擬與分析[D].大連:大連理工大學(xué)，2010.

[2] 修志龍.1,3-丙二醇的微生物法生產(chǎn)分析[J].現(xiàn)代化工，1999，19(3):33-35.

[3] 徐恭賢，邵誠，錢偉懿.非線性生化過程的優(yōu)化與控制[M].北京:科學(xué)出版社，2015.

[4] 楊杰.一類微生物發(fā)酵過程的動態(tài)優(yōu)化[D].錦州:渤海大學(xué)，2015.

[5] XU G X，SHAO C，XIU Z L.Optimizing control of bio-dissimilation process of glycerol to 1，3-propanediol[J].Chinese Journal of Chemical Engineering，2008，16(1):128-134.

[6] SUN Y Q，QI W T，TENG H，et al.Mathematical modeling of glycerol fermentation by Klebsiella pneumoniae:Concerning enzyme-catalytic reductive pathway and transport of glycerol and 1，3-propanediol across cell membrane[J].Biochemical Engineering Journal，2008，38:22-32.

[7] 宮召華，馮恩民.微生物批式流加發(fā)酵多階段最優(yōu)控制的最優(yōu)性條件[J].運(yùn)籌學(xué)學(xué)報，2009，13(4):109-119.

[8] 徐恭賢，譚雯心，王佳星.一類微生物間歇發(fā)酵過程的參數(shù)辨識[J].重慶理工大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué))，2016(10):76-80.

[9] KUMAR V，DURGAPAL M，SANKARANARAYANAN M，et al.Effects of mutation of 2，3-butanediol formation pathway on glycerol metabolism and 1，3-propanediol production by Klebsiella pneumoniae J2B[J].Bioresource Technology，2016，214:432-440.

[10] CHEN Z,LIU H J，LIU D H.Metabolic pathway analysis of 1，3-propanediol production with a genetically modified Klebsiella pneumoniae by overexpressing an endogenous ADPH-dependent alcohol dehydrogenase[J].Biochemical Engineering Journal，2011，54(3):151-157.

[11] WISCHRAL D，ZHANG J，CHENG C，et al.Production of 1，3-propanediol by Clostridium beijerinckii DSM 791 from crude glycerol and corn steep liquor： Process optimization and metabolic engineering[J].Bioresource Technology，2016，212:100-110.

[12] HIROKAWA Y，MAKI Y，TATSUKE T，et al.Cyanobacterial production of 1，3-propanediol directly from carbon dioxide using a synthetic metabolic pathway[J].Metabolic Engineering，2016，34:97-103.

[13] 高群王，徐恭賢，王佳星.一類生物過程的穩(wěn)態(tài)優(yōu)化[J].重慶理工大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué))，2015(10):152-158.

[14] ZENG A P，XIU Z L，AN L J.Mathematical modeling of kinetics and research on multiplicity of glycerol bioconversion to 1，3-propanediol[J].Journal of Dalian University of Technology，2000，40(4):428-433.

[15] TAG C G.Mikrobielle herstellung von 1，3-propanediol[D].Oldenburg:University of Oldenburg，1990.

[16] 高群王，李楊，宋一凡，等.一類連續(xù)生物過程的雙目標(biāo)優(yōu)化[J].渤海大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)，2016,37(3):152-158.

[17] 徐恭賢，楊杰.甘油間歇生物歧化過程的動態(tài)優(yōu)化[J].計算機(jī)工程與應(yīng)用，2017，53(10):258-263.

[18] BIEGLER L T.Nonlinear programming:Concepts，algorithm，and applications to chemical processes[M].Philadelphia:SIAM，2010.

DynamicOptimizationforaClassofMicrobialFed-BatchFermentationProcess

WANG Dan， LI Caixia， XU Gongxian

(College of Mathematics and Physics, Bohai University, Jinzhou 121013, China)

The fed-batch fermentation process of glycerol bio-dissimilation to 1, 3-propanediol was studied. A dynamic optimization model with the maximum concentration of 1, 3-propanediol as the objective function was established under the premise that the terminal time was a fixed value for the fed-batch fermentation system with glycerol bio-dissimilation as 1, 3-propanediol. The NLP (nonlinear programming) form of the model was obtained by using collocation on finite elements method to convert the state equation of the glycerol bio-dissimilation to the 1, 3-propanediol process to the algebraic equation. The dynamic optimization model was solved by Matllab software, and the optimization results were analyzed and discussed.

1, 3-propanediol; dynamic optimization; fed-batch fermentation; collocation on finite elements method

2017-06-10

國家自然科學(xué)基金資助項目(11101051，11371071)；遼寧省自然科學(xué)基金資助項目(2015020038)

王丹(1993—),女,黑龍江五大連池人,碩士研究生,主要從事最優(yōu)化方法與應(yīng)用研究，E-mail:844364936@qq.com；通訊作者 徐恭賢(1976—)，男，遼寧莊河人,博士,副教授,主要從事最優(yōu)化方法與應(yīng)用方面的研究，E-mail:gxxu@bhu.edu.cn。

王丹，李彩霞，徐恭賢.一類微生物流加發(fā)酵過程的動態(tài)優(yōu)化[J].重慶理工大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué))，2017(12):116-121.

formatWANG Dan， LI Caixia， XU Gongxian.Dynamic Optimization for a Class of Microbial Fed-Batch Fermentation Process[J].Journal of Chongqing University of Technology(Natural Science)，2017(12):116-121.

10.3969/j.issn.1674-8425(z).2017.12.020

O29

A

1674-8425(2017)12-0116-06

(責(zé)任編輯何杰玲)