石方圓, 楊立保， 李翠香

(1.河北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院,河北 石家莊 050024; 2.邢臺(tái)學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息技術(shù)學(xué)院， 河北 邢臺(tái) 054001)

基于帶跳的O-U過程的彩虹期權(quán)定價(jià)

石方圓1, 楊立保2， 李翠香1

(1.河北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院,河北 石家莊 050024; 2.邢臺(tái)學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息技術(shù)學(xué)院， 河北 邢臺(tái) 054001)

文章假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格服從帶跳的Ornstein-Uhlenback(O-U)過程,無風(fēng)險(xiǎn)利率r(t)為時(shí)間的確定函數(shù),波動(dòng)率σ為常數(shù),利用保險(xiǎn)精算方法給出了彩虹期權(quán)的定價(jià)公式。

Ornstein-Uhlenback(O-U)過程;泊松過程;彩虹期權(quán);保險(xiǎn)精算

0 引 言

近年來,隨著全球金融市場(chǎng)的迅猛發(fā)展,期權(quán)在衍生證券中的地位顯得尤為重要,其定價(jià)問題也是金融數(shù)學(xué)的核心問題之一,受到越來越多的國(guó)內(nèi)外學(xué)者的關(guān)注和研究。目前又出現(xiàn)了各類奇異期權(quán),如亞式期權(quán)、復(fù)合期權(quán)、交換期權(quán)、選擇期權(quán)、彩虹期權(quán)[1]等。這些奇異期權(quán)的靈活性和多樣性是常規(guī)期權(quán)所不能比擬的。彩虹期權(quán)就是討論2個(gè)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的最大值或最小值期權(quán)。資產(chǎn)最大值彩虹期權(quán)在到期日T的收益為:

max{ωmax[S1(T),S2(T)]-ωK,0},

資產(chǎn)最小值彩虹期權(quán)在到期日T的收益為:

max{ωmin[S1(T),S2(T)]-ωK,0},

其中,ω=±1。當(dāng)ω=1時(shí)為看漲期權(quán)；當(dāng)ω=-1時(shí)為看跌期權(quán)。

許多金融產(chǎn)品的定價(jià)可以轉(zhuǎn)化為2個(gè)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的最大值或最小值期權(quán)的定價(jià),例如外幣期權(quán)、選擇權(quán)債券等。因此探討彩虹期權(quán)的定價(jià)公式是很有意義的。

文獻(xiàn)[2]假設(shè)股票價(jià)格服從幾何布朗運(yùn)動(dòng),給出了彩虹期權(quán)的定價(jià)公式。股票價(jià)格服從幾何布朗運(yùn)動(dòng),意味著隨著時(shí)間的變化,股票價(jià)格收益率將只朝同一方向變化(上升或下降),然而實(shí)踐證明,股票的期望收益率具有均值回復(fù)性,是不可能隨時(shí)間朝同一個(gè)方向變化的。為克服幾何布朗運(yùn)動(dòng)的缺陷,許多學(xué)者在研究期權(quán)的定價(jià)公式時(shí)假設(shè)股票價(jià)格服從Ornstein-Uhlenback(O-U)過程[3-5]。

另外,在真實(shí)的資產(chǎn)市場(chǎng)中,一些重要事件的發(fā)生會(huì)引起股票價(jià)格產(chǎn)生間斷性跳躍,因此股票價(jià)格包括持續(xù)擴(kuò)散和不持續(xù)跳躍2個(gè)方面。文獻(xiàn)[6]研究了帶有跳擴(kuò)散過程的普通歐式期權(quán)定價(jià)。之后許多學(xué)者給出了一些期權(quán)在跳擴(kuò)散模型下的定價(jià)公式[7-10],其中,文獻(xiàn)[10]得到了跳擴(kuò)散模型下彩虹期權(quán)的定價(jià)公式。

假設(shè)股票價(jià)格服從帶跳的O-U過程將更具有實(shí)際的意義,然而目前關(guān)于這方面的研究很少。因此,本文將考慮標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格服從帶跳的O-U過程的彩虹期權(quán)的定價(jià)。

傳統(tǒng)的期權(quán)定價(jià)方法通常假設(shè)金融市場(chǎng)是無套利、均衡、完備的,這與實(shí)際市場(chǎng)不太吻合。文獻(xiàn)[11]首次提出用保險(xiǎn)精算方法給期權(quán)定價(jià),將期權(quán)定價(jià)問題轉(zhuǎn)化為等價(jià)的公平保費(fèi)問題,無任何經(jīng)濟(jì)假設(shè)。其基本思想是:無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)按無風(fēng)險(xiǎn)利率折現(xiàn),風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)按期望收益率折現(xiàn)。本文將用保險(xiǎn)精算方法給出彩虹期權(quán)的定價(jià)公式。

1 金融市場(chǎng)模型

假設(shè)彩虹期權(quán)中2個(gè)資產(chǎn)價(jià)格滿足如下方程:

dSi(t)=Si(t)[(μi-λiθi-αilnSi(t))dt+

σidBi(t)+φidNi(t)],i=1,2

(1)

其中,μi、λi、θi、αi、σi為常數(shù);B1(t)、B2(t)為相關(guān)系數(shù)為ρ的布朗運(yùn)動(dòng);Ni(t)為資產(chǎn)價(jià)格在時(shí)間段[0,t]內(nèi)隨機(jī)跳躍的次數(shù),它是參數(shù)為λi的Poisson過程;φi為第i種資產(chǎn)價(jià)格跳躍的相對(duì)高度,ln(1+φi)服從正態(tài)分布,即

φ1、φ2、N1(t)、N2(t)相互獨(dú)立且獨(dú)立于B1(t)、B2(t)。

用φij表示第i種資產(chǎn)發(fā)生第j次跳躍時(shí)的相對(duì)高度,假定φi1,φi2,φi3,…為相互獨(dú)立的且與φi同分布的隨機(jī)變量序列,無跳躍發(fā)生時(shí)記為φi0=0。

當(dāng)φ1=φ2=0時(shí),方程(1)為O-U過程;當(dāng)φ1=φ2=α1=α2=0時(shí),方程(1)為幾何布朗運(yùn)動(dòng)。

定義2 執(zhí)行價(jià)格為K,到期日為T的資產(chǎn)最大值彩虹期權(quán)在0時(shí)刻的保險(xiǎn)精算價(jià)格定義為:

資產(chǎn)最小值彩虹期權(quán)在0時(shí)刻的保險(xiǎn)精算價(jià)格定義為:

引理1 假設(shè)資產(chǎn)價(jià)格Si(t)滿足方程(1),則有:

(2)

證明先假定在[0,t]之間沒有發(fā)生跳躍。由Ito公式可得:

d(eαitlnSi(t))=

(3)式兩邊從0到t積分并整理得:

假定只在T1∈[0,t]時(shí)刻發(fā)生了一次跳,則有:

當(dāng)跳的次數(shù)為Ni(t)時(shí),則有:

引理1得證。

引理2 假設(shè)Si(t)滿足方程(1),則資產(chǎn)價(jià)格過程Si(t)在時(shí)間[0,t]上產(chǎn)生的期望收益率為:

證明由(2)式可得:

當(dāng)φi0=0,j≥1時(shí),E[1+φij]=1+θi,則有：

將(5)式代入(6)式中可得:

將(7)式代入定義1中可知,引理2得證。

引理3 假設(shè)(X,Y)為二維聯(lián)合正態(tài)分布的隨機(jī)變量,則有:

其中,I{·}為示性函數(shù);μX、μY分別為X、Y的期望;σX、σY分別為X,Y的標(biāo)準(zhǔn)差;ρXY為隨機(jī)變量X、Y的相關(guān)系數(shù);a、b為常數(shù)。

證明首先證明當(dāng)μX=μY=0,σX=σY=1時(shí),有

E[ecXI{X>a,Y>b}]=

其中,c為常數(shù)。事實(shí)上,經(jīng)計(jì)算可得:

E[ecXI{X>a,Y>b}]=

[(x-c)2-2ρXY(x-c)(y-ρXYc)+

其中

所以(9)式成立。

其次證明(8)式,由于

E[eXI{X>a,Y>b}]=

取c=σX,由(9)式可得(8)式。

引理3得證。

2 彩虹期權(quán)的定價(jià)公式

下面研究資產(chǎn)最大值彩虹看漲期權(quán)的保險(xiǎn)精算定價(jià)。

定理1 假設(shè)Si(t)滿足方程(1),則到期日為T,執(zhí)行價(jià)格為K的資產(chǎn)最大值彩虹看漲期權(quán)在0時(shí)刻的期權(quán)價(jià)值為:

其中

證明因?yàn)?/p>

max{max[A1,A2]-K,0}=

max{A1-K,A2-K,0}=

(A1-K)I{A1>K,A1>A2}+(A2-K)I{A2>K,A2>A1}=

A1I{A1>K,A1>A2}+A2I{A2>K,A2>A1}+

KI{A1

所以

把前3項(xiàng)分別記作Π1、Π2、Π3,下面分別估計(jì)它們。

由(2)式、(4)式可得:

其中

因?yàn)?/p>

?

所以

因?yàn)?/p>

所以由引理3可得:

從而

S1(0)(1+θ1)m×

同理可得:

綜上,定理1得證。

利用相同的方法可證出其他3種彩虹期權(quán)的定價(jià)公式。

定理2 假設(shè)Si(t)滿足方程(1),則到期日為T,執(zhí)行價(jià)格為K的資產(chǎn)最大值彩虹看跌期權(quán)在0時(shí)刻的期權(quán)價(jià)值為:

證明由于

max{K-max[A1,A2],0}=

max{min[K-A1,K-A2],0}=

(K-A1)I{K>A1,A1>A2}+(K-A2)I{K>A2,A2>A1}=

KI{K>A1,K>A2}-A1I{K>A1,A1>A2}-A2I{K>A2,A2>A1},

類似定理1可得定理2。

定理3 假設(shè)Si(t)滿足方程(1),則到期日為T,執(zhí)行價(jià)格為K的資產(chǎn)最小值彩虹看漲期權(quán)在0時(shí)刻的期權(quán)價(jià)值為:

證明由于

max{min[A1,A2]-K,0}=

max{min[A1-K,A2-K],0}=

(A1-K)I{A1>K,A2>A1}+(A2-K)I{A2>K,A1>A2}=

A1I{A1>K,A2>A1}+A2I{A2>K,A1>A2}-KI{A1>K,A2>K},

類似定理1可得定理3。

定理4 假設(shè)Si(t)滿足方程(1),則到期日為T,執(zhí)行價(jià)格為K的資產(chǎn)最小值彩虹看跌期權(quán)在0時(shí)刻的期權(quán)價(jià)值為:

證明由于

max{K-min[A1,A2],0}=

max{max[K-A1,K-A2],0}=

(K-A1)I{K>A1,A1A2,A2

-A1I{K>A1,A1A2,A2

KI{A1>K,A2>K}+K,

類似定理1可得定理4。

當(dāng)φ1=φ2=α1=α2=0,定理1～定理4的結(jié)果與文獻(xiàn)[1]中的結(jié)果一致。

3 結(jié) 論

對(duì)新型期權(quán)進(jìn)行合理定價(jià)已經(jīng)成為金融數(shù)學(xué)研究的重要內(nèi)容之一。至今為止,很多專家學(xué)者取得了豐碩的研究成果。本文在這些研究的基礎(chǔ)上,在O-U過程下加入跳躍,同時(shí)包含了資產(chǎn)收益率的均值回復(fù)性和跳躍對(duì)期權(quán)價(jià)格的影響,用保險(xiǎn)精算方法給出了彩虹期權(quán)定價(jià)公式。得到的期權(quán)定價(jià)公式擴(kuò)展了文獻(xiàn)[1]中的結(jié)論,而且本文結(jié)論還可以進(jìn)一步擴(kuò)展至多資產(chǎn)最優(yōu)或最差選擇期權(quán)的定價(jià)。另外,還可以在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步考慮利率隨機(jī)的情況。

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PricingofrainbowoptionsunderOrnstein-Uhlenbackprocesswithjump

SHI Fangyuan1, YANG Libao2， LI Cuixiang1

(1.School of Mathematics and Information Science, Hebei Normal University, Shijiazhuang 050024, China; 2.School of Mathematics and Information Technology, Xingtai University, Xingtai 054001, China)

The underlying asset price process is supposed to follow the Ornstein-Uhlenback(O-U) process with jump, the riskless interestr(t)bethetime-dependentfunctionsandthevolatilityofthestockσbeconstant.Thepricingformulasofrainbowoptionsaregivenbyusingactuarialapproach.

Ornstein-Uhlenback(O-U) process; Poisson process; rainbow option; actuarial approach

2016-06-29；

2016-10-11

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11571089)

石方圓(1991-),女,河北邢臺(tái)人,河北師范大學(xué)碩士生;

李翠香(1971-),女,河北磁縣人,博士,河北師范大學(xué)教授,碩士生導(dǎo)師,通訊作者,E-mail:cuixing-li@126.com.

10.3969/j.issn.1003-5060.2017.12.025

O211.6

A

1003-5060(2017)12-1714-05

(責(zé)任編輯張 镅)