張永銳, 程長征

(合肥工業(yè)大學(xué) 土木與水利工程學(xué)院,安徽 合肥 230009)

修補切口應(yīng)力強度因子邊界元法研究

張永銳, 程長征

(合肥工業(yè)大學(xué) 土木與水利工程學(xué)院,安徽 合肥 230009)

切口尖端的應(yīng)力奇異性嚴(yán)重影響了含切口構(gòu)件的使用安全,采用粘貼材料修補切口后必須對修補效果進行評估。文章利用邊界元法對修補切口構(gòu)件進行數(shù)值模擬,運用應(yīng)力法計算切口尖端的應(yīng)力強度因子,分析了修補材料的彈性模量、厚度等參數(shù)對切口應(yīng)力強度因子的影響,評估了含切口構(gòu)件修補后的效果。

切口;應(yīng)力強度因子;幾乎奇異積分;邊界元法

含切口構(gòu)件在結(jié)構(gòu)工程領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用,例如,鋼結(jié)構(gòu)施工過程中需根據(jù)實際要求對板材進行局部的切割、焊接構(gòu)件的焊趾、材料的對接搭接等。切口尖端的應(yīng)力集中導(dǎo)致結(jié)構(gòu)局部力學(xué)性能突變,結(jié)構(gòu)的失效往往起源于切口尖端[1]。應(yīng)力強度因子是表征切口尖端附近應(yīng)力場強弱程度的重要參量,對于含切口構(gòu)件的安全性能進行評估有著重要的意義[2]。對切口進行修補可以有效降低切口尖端的應(yīng)力強度因子的數(shù)值,提高結(jié)構(gòu)的安全性能[3]。切口修補加固的方式也有多種,其中,在開口處粘貼高強度的板材簡單易行。因此,對切口粘貼板材的加固方式進行安全評價也顯得尤為重要。

切口應(yīng)力強度因子的獲取方法主要有實驗法、理論分析法及數(shù)值計算法。文獻(xiàn)[4]提出了平面V形切口雙應(yīng)力強度因子的光彈性實驗研究方法，文獻(xiàn)[5]采用漸近特征展開法分析了平面V形切口塑性應(yīng)力奇異性，文獻(xiàn)[6]采用邊界元法(boundary element method,BEM)分析了幾何特征對含切口構(gòu)件疲勞壽命的影響，文獻(xiàn)[7]采用雜交有限元法分析了熱機載荷下多邊形夾雜角端部的奇異應(yīng)力場。盡管對切口尖端的奇異應(yīng)力分析的文獻(xiàn)較多,但對切口修補及其效果評價的研究卻很少[8]。

邊界元法計算量小，能有效處理應(yīng)力集中問題并可以根據(jù)需要計算任意內(nèi)點的應(yīng)力[9]。本文采用邊界元法計算含修補切口構(gòu)件內(nèi)的應(yīng)力場,再利用應(yīng)力法[10]計算修補切口的應(yīng)力強度因子,研究修補材料的屬性、厚度等參數(shù)對修補切口應(yīng)力強度因子的影響。

1 多域邊界元法

當(dāng)運用邊界元法分析修補結(jié)構(gòu)時,一般是將結(jié)構(gòu)按照材料的屬性劃分為多個子結(jié)構(gòu)(子域),在每個子域內(nèi)分別列邊界積分方程,然后根據(jù)界面協(xié)調(diào)條件,將所列邊界積分方程耦合起來,即采用多域邊界元法。

不失一般性,討論平面內(nèi)含2個子域Ω1和Ω2的雙域結(jié)構(gòu),如圖1所示。在每個子域,二維彈性力學(xué)常規(guī)的位移邊界積分方程為:

圖1 雙域結(jié)構(gòu)

對Ω1域列邊界積分方程(1)式離散后組裝,有

在交界面ΓI上,2個子域?qū)?yīng)點的位移和面力應(yīng)該滿足:

根據(jù)變形協(xié)調(diào)關(guān)系(4)式,(2)式和(3)式可以組合為:

因為界面上的物理量均未知,所以UI、TI始終落在(5)式的左邊,而非交界面上的位移分量U1、U2和面力分量T1、T2,根據(jù)問題的實際情況,如果未知,那么放到(5)式的左邊；如果已知，那么移到(5)式的右邊,最終形成多域邊界元法系統(tǒng)方程組,求解后可以計算出邊界和交界上所有的未知量。

內(nèi)點應(yīng)力邊界積分方程為:

利用(6)式可以計算出任意內(nèi)點的應(yīng)力值。

若以G表示切變模量、ν表示泊松比,(1)式和(6)式中積分核的表達(dá)式分別為:

r,n[(1-2ν)δij+2r,ir,j]}

(8)

r,iδkj-r,jδki)+2r,ir,jr,k]

(9)

ν(r,iδjk+r,kδij)-4r,ir,jr,k]+

(1-2ν)(2r,ir,kn,j+δjkni+δijnk)+

2ν(r,ir,jnk+r,jr,kni)-(1-4ν)δkinj}

(10)

當(dāng)修補材料比較薄或者內(nèi)點靠近邊界時,源點y到場點x的距離都非?？拷?即r→0,由于(7)～(10)式中r出現(xiàn)在對數(shù)項或分母中,導(dǎo)致積分方程(1)式和(6)式會出現(xiàn)幾乎奇異積分,常規(guī)的高斯積分會使得計算結(jié)果失真甚至錯誤。文獻(xiàn)[11]采用反復(fù)分部積分的辦法,提出了幾乎奇異積分的正則化算法,本文采用此法來處理修補切口邊界元分析中出現(xiàn)的幾乎奇異積分問題。

2 切口應(yīng)力強度因子的計算

由邊界元法計算出內(nèi)點應(yīng)力場后,可以采用后處理的方法獲得切口的應(yīng)力強度因子。文獻(xiàn)[10]提出了一種計算切口應(yīng)力強度因子的應(yīng)力法。對于單應(yīng)力奇異性的平面問題,在以切口尖端為原點的極坐標(biāo)系(ρ,θ)中,切口尖端附近的應(yīng)力場可表示為:

其中,i=ρ,θ,ρθ;j=ρ,θ,ρθ;K為應(yīng)力強度因子;λ-1為應(yīng)力奇異指數(shù);fij(θ)為應(yīng)力角函數(shù)。令

可將(11)式改寫為:

σij=Aijρλ-1

(13)

對(13)式兩邊取對數(shù),有

ln|σij|=ln|Aij|+(λ-1)lnρ

(14)

在應(yīng)力場(11)式的控制區(qū)域(即ln|σij|與lnρ成斜率為λ-1的直線段)內(nèi)沿θ=θ0方向取若干個點ρk(k=1,2,…,N),分別用邊界元法計算其應(yīng)力值σijk,根據(jù)最小二乘法,有

(15)式取極小值后,進一步運算可得:

由(12)式和(16)式,可以推導(dǎo)出計算應(yīng)力奇異指數(shù)和應(yīng)力強度因子的表達(dá)式分別為:

λ-1=

因為邊界元法引入了幾乎奇異積分正則化算法,可以計算非?？拷锌诩舛?ρk→0)的內(nèi)點的應(yīng)力值,能充分反映切口尖端的奇異應(yīng)力狀態(tài),所以可以運用(18)式計算切口的應(yīng)力強度因子。

3 數(shù)值算例

算例1 單邊切口應(yīng)力強度因子。計算模型如圖2所示。切口板寬w=40 mm,長2d=200 mm,邊緣均布荷載為P=1 MPa,板材彈性模量E1=206 GPa、泊松比ν1=0.3。切口深度a=8 mm,對稱切口的開口角度為2β。

圖2 單邊切口板

采用邊界元法分析，沿著結(jié)構(gòu)邊界離散130個線性單元。沿切口角平分線方向選取內(nèi)點,從距離切口尖端ρ=0.001 mm處開始,等間距取16個內(nèi)點,間距為0.001 mm。由于所取內(nèi)點距離邊界非常近,計算內(nèi)點應(yīng)力值時必須采用幾乎奇異積分正則化算法。獲取內(nèi)點應(yīng)力值后,將這16個點的坐標(biāo)值ρk和應(yīng)力值σijk分別代入 (17)式和(18)式,可求得應(yīng)力奇性指數(shù)λ-1和應(yīng)力強度因子K(單位為N·mm-2-λ)。

為了檢驗本文算法的準(zhǔn)確性,采用有限元法(finite element method,FEM)提供參考結(jié)果。在進行有限元模擬時,采用8節(jié)點平面單元,總單元數(shù)2 113,切口尖端網(wǎng)格劃分的最小尺度為5×10-5mm。應(yīng)力強度因子的邊界元法計算結(jié)果KBEM、有限元法計算結(jié)果KFEM及兩者的相對誤差見表1所列。

表1 切口應(yīng)力強度因子邊界元法和有限元法計算結(jié)果比較

由表1可知,邊界元法與有限元法計算結(jié)果的最大相對誤差小于2.5%,從邊界元法和有限元法所用的單元數(shù)來看,邊界元法的計算量遠(yuǎn)小于有限元法。

算例2 修補切口應(yīng)力強度因子。在圖2所示的V形切口板外側(cè)粘貼厚度為h的加固層,結(jié)構(gòu)如圖3所示。

設(shè)定修補層的厚度h=10 mm,修補材料的彈性模量E2=304 GPa，泊松比ν2=0.27。改變切口角度,利用邊界元法計算對應(yīng)的應(yīng)力強度因子K′,并與未粘貼修補層切口的應(yīng)力強度因子K進行對比,計算結(jié)果見表2所列。

圖3 切口外側(cè)修補加固

2β/(°)1030507090K6．8926．9457．0127．1487．304K′3．8143．8853．8844．2104．256(K-K′)/K0．4470．4410．4460．4110．417

由表2可知,粘貼修補層之后切口的應(yīng)力強度因子比粘貼之前有大幅下降,降幅(K-K′)/K最高達(dá)到44.66%,可見粘貼修補層后大大提高了結(jié)構(gòu)的抗裂性能。

為研究不同特性的粘貼材料對修補后切口抗裂效果的影響,保持修補層厚度與板寬比h/w=0.1、切口角度2β=90°不變,改變修補材料的彈性模量,分別計算對應(yīng)修補后切口的應(yīng)力強度因子,結(jié)果見表3所列。

表3 修補材料彈性模量對切口應(yīng)力強度因子的影響

從表3可以看出,在修補層厚度和切口開角不變的前提下,修補材料的彈性模量越大,對應(yīng)的應(yīng)力強度因子越小,說明修補效果越好。但隨著彈性模量比的進一步增大(E2/E1>50),應(yīng)力強度因子減小的幅度逐漸趨于平緩。

選E2/E1=10、2β=90°的切口,研究改變修補材料厚度對切口修補效果的影響,結(jié)果見表4所列。由表4可知,在給定的彈性模量比下,隨著修補層厚度的增大,切口應(yīng)力強度因子逐漸減小,但h/w>0.10后應(yīng)力強度因子的減小幅度不大,因此在該模型下最佳的修補厚度比選0.10。

表4 修補層厚度對切口應(yīng)力強度因子的影響

4 結(jié) 論

本文首先采用邊界元法對含切口結(jié)構(gòu)進行數(shù)值模擬,然后用后處理的方法確定了V形切口尖端的應(yīng)力強度因子;運用單一變量法,通過改變修補材料和基材的彈性模量配比、修補層厚度等參數(shù),建立了多種力學(xué)模型,以對切口修補效果進行分析。

(1) 粘貼修補層之后切口的應(yīng)力強度因子較未修補切口有大幅下降,最高降幅可達(dá)44.66%。

(2) 修補材料的彈性模量越大,修補效果越好,但隨著彈性模量比的進一步增大,應(yīng)力強度因子減小的幅度并不顯著,修補材料與基體材料的最佳彈性模量比為50。

(3) 切口應(yīng)力強度因子隨修補層厚度的增加而減小,但減小幅度隨修補層厚度的增加而放緩,最佳的修補厚度比為0.10。

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Analysisofstressintensityfactorsofrepairednotchcomponentsbyboundaryelementmethod

ZHANG Yongrui, CHENG Changzheng

(School of Civil and Hydraulic Engineering, Hefei University of Technology, Hefei 230009, China)

The stress singularity at the notch tip has seriously threatened the safety of notch components. After pasting a plate to repair a notch component, the repairing effect should be studied and estimated. Herein, the boundary element method(BEM) is applied to modeling the repaired notch component. The stress method is then adopted to calculate the stress intensity factor of the V-notch. The effect of elasticity modulus and thickness of the repairing material on the stress intensity factor of the repaired V-notch is investigated. The repairing effect of the notch component is estimated.

notch; stress intensity factor; nearly singular integral; boundary element method(BEM)

2016-03-09；

2016-05-16

國家自然科學(xué)基金資助項目(11372094)

張永銳(1991-),男,山東日照人,合肥工業(yè)大學(xué)碩士生;

程長征(1979-),男,安徽太湖人,博士,合肥工業(yè)大學(xué)教授,博士生導(dǎo)師,通訊作者,E-mail:changzheng.cheng@hfut.edu.cn.

10.3969/j.issn.1003-5060.2017.12.014

O343.4

A

1003-5060(2017)12-1655-04

(責(zé)任編輯張淑艷)