黃文浩

數(shù)學(xué)三角函數(shù)相關(guān)問題的解答

黃文浩

高中階段三角函數(shù)是需要重點掌握的內(nèi)容，不論是高考中，或是日后的生活中都具有重要的作用。本文從三角函數(shù)的解析式與取值范圍、最值探討和周期性三方面對相關(guān)問題給予解答，以期為廣大高中生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時提供一定的參考，從而進(jìn)一步深化對三角函數(shù)的認(rèn)識與理解。

由于數(shù)學(xué)本身的抽象性特點，高中生在學(xué)習(xí)這部分知識時，理解能力較差，數(shù)學(xué)與物理、化學(xué)等科目的最大不同之處在于，沒有具體的實驗操作，這在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中不能把握知識的本質(zhì)所在。所以，應(yīng)該將理論知識作為基礎(chǔ)，分析出三角函數(shù)的解析式，利用定義去證明函數(shù)的最值與周期性，從而解決相應(yīng)問題。

數(shù)學(xué)三角函數(shù)的解析式

在學(xué)習(xí)三角函數(shù)理論知識的過程中，要重點對公式、性質(zhì)有多方面的了解。確定解析式時，要利用以往學(xué)習(xí)過的基本公式通過不斷地分析與推理，得出新的函數(shù)。遇到數(shù)量較多、容易出現(xiàn)混淆的題目時，首先要在腦海中形成一個特定的知識網(wǎng)絡(luò)，這樣對題目才能有一個整體的分析思路。其次是要保證解題的準(zhǔn)確性，需要仔細(xì)閱讀，找出與題目相符合的函數(shù)性質(zhì)與關(guān)系，從已知條件中明確問題，也可以利用數(shù)形結(jié)合的方式進(jìn)行靈活的解題運算。最后從列出的全部條件中，分析出三角函數(shù)的解析式與取值范圍。

例如：分析觀覽車時，其圓的半徑為4.8米，圓上的最低點與地面之間的距離為0.8米，觀覽車轉(zhuǎn)動的速度為每圈1分鐘。當(dāng)圓心O與A點和地面相互垂直時，以O(shè)A為開始邊，逆時轉(zhuǎn)動到OB，假設(shè)B點到地面的距離高度為h,求出h到θ的函數(shù)解析式？

分析:因為高度h等于0.8+OA+BC=0.8+4.8+OBsinα=5.6+4.8sin(θ-90°），所以得出h與θ之間的函數(shù)解析式為h=5.6-4.8cosθ,且θ的取值范圍大約等于0。單位圓的定義是三角函數(shù)根據(jù)半徑為1的原點進(jìn)行分析計算，逆時針的方向為度量為正角，而順時針的度量是負(fù)角，圖形只的三角式則確定了一個公式，sinθ=1/y,和cosθ=1/x。求三角函數(shù)的解析式有三種辦法:解方程組、分討論以及平移坐標(biāo)，這道題則可以根據(jù)已知條件，進(jìn)行分析討論，依次列出函數(shù)的分析式，分類討論。

數(shù)學(xué)三角函數(shù)的最值探討

求解三角函數(shù)的最值不僅是三角函數(shù)基礎(chǔ)知識的綜合運用，靈活的運用三角公式對函數(shù)進(jìn)行基本的變形，將其中的圖像、概念以及誘導(dǎo)公式全方位的考慮。綜合題型的運用是將三角函數(shù)中的基本性質(zhì)進(jìn)行總結(jié)歸類，這樣不僅方便掌握三角函數(shù)的基礎(chǔ)知識，也能增強(qiáng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。但是就目前高中生的學(xué)習(xí)現(xiàn)狀而言，容易將正弦函數(shù)與余弦函數(shù)之間的性質(zhì)與圖像混淆。所以在實際解題中，應(yīng)該把握題目的本質(zhì)，分析出根本原因，找到合適的公式，從而減低解題難度。

例如熟練地掌握三角函數(shù)的變形公式，要學(xué)會將復(fù)雜的三角函數(shù)簡單化，能夠根據(jù)圖象進(jìn)行函數(shù)性質(zhì)的描述。熟記三角函數(shù)公式，通過不斷的做題模擬，從而掌握三角函數(shù)的變形技巧。例如：三角函數(shù)為y=5sinx+cos2x，求的函數(shù)的最大值?

分析:因為y=5sinx+（1-2sin·x）=-2sin·x+5sinx+1,由 于 sinx大 于 等于1且小于等于-1，所以可以知道，但sinx等 于-1時，x=2nπ-π/2，y的 最小值為-6。當(dāng)sinx等于1時，也就是x=2nπ+π/2，y的最大值是4。這是利用配方法求得函數(shù)的最小值與最大值，其中需要注意的是不能將三角函數(shù)與二次函數(shù)

相互混淆。要正確熟練地掌握三角函數(shù)最值的相關(guān)問題，需要對基本題型有一個大概的了解,這樣既能增強(qiáng)自身的主觀能動性，也能提高學(xué)習(xí)效率。積極主動的預(yù)習(xí)相關(guān)函數(shù)知識，在學(xué)習(xí)的過程中要注意整體的三角函數(shù)系統(tǒng)性問題，高效率的領(lǐng)悟誘導(dǎo)公式的推廣以及應(yīng)用，提升三角函數(shù)的系統(tǒng)性。

數(shù)學(xué)三角函數(shù)的周期性分析

三角函數(shù)的周期性與函數(shù)的奇偶性有著密切的關(guān)系，掌握正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的周期性。數(shù)學(xué)的基本概念在解題中具有重要的作用，也是最基本的思維形式之一，函數(shù)周期的概念是對于函數(shù)f（x）,如果存在一個合理的非零常數(shù)時，使得X的取值定義域內(nèi)的每一個值都會存在f(x+T)=：f（x），那么函數(shù)f（x）就叫做周期函數(shù)，而其中的常數(shù)T則是函數(shù)的周期。

例 如：y=s i n(2 x-π/3)、y=tan(2x-π/3)、y=cos(2x+π/6)和y=tan(4x-π/6),最小函數(shù)為π/2的是?

分析:根據(jù)三角函數(shù)的周期性可以得到正弦、余弦的最小正周期是2π/W,正切型最小周期為π/W，進(jìn)而分析四個選項中的函數(shù)最小正周期。所以y=sin(2x-π/3)、y=cos(2x+π/6)的最小正周期為π，y=tan(2x-π/3)最小正周期是π/2，y=tan(4x-π/6)的最小正周期為π/4。本題主要考查了三角函數(shù)的周期性以及公式的靈活掌握，在同一個角的三角函數(shù)或者是三角函數(shù)的形式就可以求出周期。掌握數(shù)學(xué)函數(shù)中的基本概念，這樣才能理解各種公式與定理，做題時一定要把函數(shù)化解之后再去求值域，通過對實例的具體分析，感受到周期現(xiàn)象的廣泛存在，增強(qiáng)自身的學(xué)習(xí)應(yīng)用意識。

三角函數(shù)作為一種函數(shù)的意義所在，知識結(jié)構(gòu)上可以與基本函數(shù)相互結(jié)合，對于三角函數(shù)處理圖像，也可以利用單位圓作為輔助手段，從而正確的分析問題。我們需要做到的是理解函數(shù)中解析式、最值范圍以及周期函數(shù)等基本題的解決，明白三角函數(shù)并不是一個附屬產(chǎn)品，將其中抽象性的概念具體化，從而促進(jìn)自身的全面發(fā)展。

長沙市麓山國際實驗學(xué)校）