龔柏源

解答幾何問題的幾點(diǎn)技巧

龔柏源

幾何問題屬于高中階段數(shù)學(xué)一大難點(diǎn)，其難點(diǎn)在于偶然龐大的計(jì)算量與靈活多變的解題模式。幾何問題很少有固定的解題模式，因此在面臨幾何問題時(shí)候有的學(xué)生感覺頭疼。本文就解決幾何問題的幾點(diǎn)技巧做簡要闡述。

在我國中學(xué)階段，涉及到幾何問題有平面幾何以及立體幾何兩種，高中階段主要是平面幾何的計(jì)算，較少會考到平面幾何的證明，立體幾何則證明題與計(jì)算題都比較常見。關(guān)于解答幾何問題，下面就解答幾何問題的幾點(diǎn)技巧進(jìn)行闡述。

建立適當(dāng)坐標(biāo)系

無論是平面幾何還是立體幾何，解決幾何問題最簡單的方法就是建立坐標(biāo)系，建立坐標(biāo)系后的思路比起傳統(tǒng)的證明方法來要更清晰，因此當(dāng)在思考傳統(tǒng)方法的途徑上有一定問題時(shí)，不妨就將幾何圖形放在坐標(biāo)系中，通過坐標(biāo)系解決該類問題。但在建立坐標(biāo)系時(shí)，要注意確定坐標(biāo)系原點(diǎn)與幾何圖形的關(guān)系。一般說來，是將幾何圖形的某一定點(diǎn)作為坐標(biāo)系原點(diǎn)，這些定點(diǎn)中，又以幾何圖形的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)的最為常見。在解決實(shí)際問題時(shí)候，要根據(jù)實(shí)際問題選擇對應(yīng)的坐標(biāo)系建立方法，不能夠生搬硬套。

例如：拋物線上有兩點(diǎn)P、Q，這兩點(diǎn)的連線必定經(jīng)過拋物線焦點(diǎn)F，拋物線頂點(diǎn)為O，焦點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離為a，試求△OPQ的最小面積。

圖1

解析：該題要直接解答并不容易，因此，考慮以F為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立坐標(biāo)系。同時(shí)，假設(shè)PQ與x軸所形成的夾角為θ，如圖1，因此，就可以建立以θ為未知數(shù)的拋物線方程：k∈Z）。于是，就可以用a來表示|PQ|，可以得到|PQ|=：，通過這樣的表示，再從三角形的面積上入手，可以將三角形面積看作是△POF與△QOF的面積相加，或者直接利用OF與△PQO高的位置關(guān)系，都能夠得到S△POQ的表達(dá)式，最終得到其表達(dá)式為通過三角函數(shù)，就能夠知道當(dāng)：θ=時(shí)，所求三角形的面積取得最小值，這個值為2a2。

在遇到幾何問題時(shí)候，需要根據(jù)問題建立一個適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，如果坐標(biāo)系建立不夠恰當(dāng)，如上題，若以O(shè)點(diǎn)為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，原本方程組就不再適合較好地用未知數(shù)：θ表示，故而在建立坐標(biāo)系時(shí)，要根據(jù)實(shí)際情況建立。

注重?cái)?shù)與形的相互轉(zhuǎn)換

在高中階段的數(shù)學(xué)幾何問題中，數(shù)量關(guān)系與圖形關(guān)系是解決幾何問題的一個重要途徑。在計(jì)算過程中，與高中階段幾何問題牽涉比較大的為參數(shù)方程、韋達(dá)定理、弦長公式等等，這些比較重要的公式定理靈活運(yùn)用到幾何問題當(dāng)中能夠在很大程度上減少計(jì)算量，提高幾何問題計(jì)算的正確率。其中，參數(shù)方程的參數(shù)理解不僅對于利用數(shù)字解決最值問題有很大幫助，同時(shí)在建立坐標(biāo)系、建立數(shù)學(xué)表達(dá)式等方面也很有幫助，韋達(dá)定理主要運(yùn)用到交點(diǎn)橫縱坐標(biāo)的數(shù)量關(guān)系上，弦長公式通常會涉及到利用韋達(dá)定理求兩點(diǎn)橫坐標(biāo)的和值或乘積。

例如：已知拋物線方程y2=2px，（p＞0），有一條通過拋物線焦點(diǎn)的直線y=m-x與拋物線交于兩點(diǎn)，這兩點(diǎn)的距離為2，求p。

12以后，利用韋達(dá)定理去求y1、y2的和與積。得：y1+y2=-2p，y1y2=-p2，因此，將這兩個結(jié)果與弦長的計(jì)算結(jié)果整合到一起，最終

確定定量與變量

在幾何問題中，常常會有定量、定點(diǎn)，變量、動點(diǎn)，著兩種相互對立的點(diǎn)之間一般會要求學(xué)生去尋找他們之間的關(guān)系。遇到這種題型時(shí)候，當(dāng)不存在定點(diǎn)時(shí)，需要構(gòu)造定點(diǎn)，便于研究動點(diǎn)關(guān)系。在實(shí)際解題過程中，定點(diǎn)對于解決問題的幫助十分重大。也就是說，在確定定點(diǎn)時(shí)候需要靈活將定點(diǎn)確定，防止定點(diǎn)向其他動點(diǎn)轉(zhuǎn)換，或防止因?yàn)閰⒖级c(diǎn)的確定不當(dāng)，而造成最終計(jì)算量十分龐大，導(dǎo)致相關(guān)問題的解答出現(xiàn)問題。這里就立體幾何的點(diǎn)線面確定簡析。

例如：如圖2，在正方體ABCD—A1B1C1D1中，正方體各邊棱長為1，線段BD與AC交于點(diǎn)O，M在線段D1O上移動，過M做一條直線與面ACD1垂直，這條直線與平面A1B1C1D1交于點(diǎn)N，求N到點(diǎn)A的最小距離。

圖2

解析：通過傳統(tǒng)方法解決這一類型問題的關(guān)鍵在于找到與A點(diǎn)有最小距離的N點(diǎn)。如圖4，連接B1D1，可以知道N點(diǎn)的軌跡在B1D1上，因此，在△AB1D1中，就將問題轉(zhuǎn)化為A點(diǎn)到底邊B1D1的最小距離，根據(jù)點(diǎn)與線距離關(guān)系可以知道，過A點(diǎn)做底邊B1D1的垂線，這條垂線段的長度就是A點(diǎn)到底邊距離的最小值。通過△AB1D1又能夠知道，這個三角形是一個等邊三角形，因此可以過A點(diǎn)做底邊的垂線三線合一，由此，就能夠得到N點(diǎn)與A點(diǎn)的最小距離

在解決這一類圖形問題時(shí)候，往往都會利用到一個比較特殊的位置關(guān)系，射影，靈活應(yīng)用線與平面構(gòu)成的射影能夠解決諸多立體幾何問題。這道題的關(guān)鍵是將N點(diǎn)所可能的范圍確定了出來，而其中用于確定其移動范圍的是利用了平面之間的位置關(guān)系。

數(shù)學(xué)幾何問題是高中階段常考難點(diǎn)，它的難點(diǎn)往往在計(jì)算與邏輯分析上，對于計(jì)算，只要靈活運(yùn)用韋達(dá)定理以及弦長公式等等，就能夠很大程度縮小計(jì)算量。在邏輯分析上，確定定量與變量的關(guān)系，或建立與幾何圖形適應(yīng)的坐標(biāo)系，都能夠較好對問題進(jìn)行邏輯分析。

長沙市長郡中學(xué)）